數與數系

08-14

數與數系

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說到數字, 其實有好多蠻好玩的東西, 比如現在通用的數字被稱之為阿拉伯數字, 其實是古代印度人的發明, 然後印度被阿拉伯(穆斯林)給侵略佔領, 通過阿拉伯人和阿拉伯文帶到歐洲, 然後近代歐洲在科學與技術上狂飆, 於是乎, 印度的東西變成了阿拉伯的.

另一個有趣的東西是0, 0很早就被發明了, 不過他對自然數的擴充(這可是一個里程碑事件, 一個極其偉大的發明)的萌芽應該也是古代印度人, 然而真正被接受可能要到很晚了. 在中國, 0(零, 〇)也一直在不被納入計數的正統, 它的出現更多的是用以表示"虛無"之類的概念, 以及在表示諸如1005(一千零五)的時候用以佔位, 從而, 漢字中需要更多的漢字來表示整個計數系統, 這其中包括了十, 百, 千, 萬, 億等等. 也許是到了鴉片戰爭以後, 在中國被迫學習了現代科學的時候, 才接受了0的概念.

說道古代中國, 中華文明的璀璨倒也不是吹出了的, 雖然0這個玩意兒沒有在中國被搞出來, 不過呢, 中國古代的計數也算髮達, 比如那個可以拿來吹牛屄的八卦(萊布尼茨受此啟發把二進位用到了計算機上, 存疑, 故為八卦), 不過二進位倒也真實存在. 《易傳》中有句"易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦", 然後傳說中封神演義的周文王周武王還把八卦擴充到64卦,從現在來看, 這就是二進位計數. 當然, 沒有後人繼續進一步發展成為完整的二進位體系, 反而成為了占卜的工具, 用以忽悠古代的帝王將相和平民百姓, 進而成為現演義, 武俠, 仙俠小說的素材, 惜哉. 此外, 被普遍用以計時的十二進位, 以及與十進位結合的天干地支曆法, 在古代中國因皇權和農業的需要, 也被發展的很好. 不過, 這些都只是一些零星的亮點, 並沒有被發展稱一個統一的數學體系.

真正發展稱現代數學體系的, 還是得順著從古典希臘以來的數學發展軌跡來看. 這個體系從自然數開始, 定義了一系列的計算規則, 包括加法和乘法, 以及相對應的交換律, 結合律和分配律等.其基本定理是:

$a + b = b + a$ ,
$(a+b)+c = a + (b+c)$ ,
$a imes b = b imes a$ ,
$(a imes b) imes c = a imes (b imes c)$ ,
$a imes (b+c) = a imes b + a imes c$ .

從自然數的加法和乘法開始，自然而然的會遇到相應的逆運算，比如１＋１＝２，那如果我有兩個東西（比如蘋果），你拿走了一個，我還剩下１個，就是加法的逆運算減法了：　２－１＝１．　有了減法，就會遇到兩種情況：２－２＝０，　以及２－３＝－１，到此就產生了整數．而為了使得整數也符合上述的基本運算規則的，我們只需要定義 $(-1) imes (-1) = 1$ 即可．到此，看起來暫時沒啥問題了，因為整數在加法和減法中是封閉的，也就是說任何整數相加和相減都是整數．整數對於乘法來說也是封閉的，然而，當在解決乘法的逆運算除法時，整數遇到了第一個壁壘，它不再是封閉的了．例如有兩個梨的時候，孔融和曹操各分的一個，雖然孔融分到的梨小一些，由於他不太愛吃梨，也還沒啥矛盾．但是碰到只有一個蘋果，孔融想吃，曹操也想吃，在整數裡面沒法把一個蘋果分給兩人，於是乎曹操就把孔融殺了，自己拿走了那個蘋果，造成了個悲劇．這時候，擴充整數到有理數，孔融那一把刀把蘋果分為二，每個人分得 $frac{1}{2}$ 個蘋果，悲劇就解決了．當數擴充到有理數的時候，整個四則運算（加減乘除）無論如何計算，都還是有理數．這個被擴充的有理數,可以是整數,或者能夠由整數的比(除法)來表示.

有理數的出現，在一般的生活中，差不多夠用了，但也只是差不多而已．這是由於，在某些時候，比如求單位長度為１的正方形的對角線的時候，又一個悲劇產生了．計算長度為１的正方形的對角線長度的時候，可以使用勾股定理，假設對角線的長度為 $a$ ,則根據勾股定理,有 $1^{2} + 1^{2} = a^{2}$ , 也就是說 $a^{2}=2$ (我們現在知道, $a=sqrt{2}$ ),在古典時期的希臘,因為發現了這個a不是一個有理數(也就是它不能有整數通過四則運算來表示)而被淹死( 好可憐啊). 這類不是有理數的數, 在後來被稱之為無理數. 有理數和無理數一起組成了實數.

發展到實數階段, 在康托啊,戴德金啊, 羅素啊, 歐拉啊, 高斯啊之類的(反正後面這些人比較有名), 大概就是風平浪靜了一陣子, 實數的性質也被不斷的挖掘, 比如實數是不可數的, 也就是任何兩個實數之間,都有無窮個實數. 然而, 數學界也是no zuo no die的典型, 非得搞個大新聞啥的. 在解二次方程的時候, 遇到一些無解的就跳過去了, 記得在還沒學到複數的時候, 對於二次方程有個判別式 $b^{2}-4ac$ <0的時候, 直接給個結果無解就好了. 然而, 當解三次方程的時候, 出現了個大新聞了, 複數在中間計算過程中是不能忽略的了. 比如Tartaglia發現的Cardano方法解三次方程 $x^{3}+px+q=0$ , 其中的一個解是 $x=sqrt[3]{ -frac{q}{2}+ sqrt{Delta} } + sqrt[3]{ -frac{q}{2} - sqrt{Delta} }$ , 其中 $Delta = frac{q^{2}}{4} + frac{p^3}{27}$ . Tartaglia在搞這個的時候就發現了個矛盾的地方, 一個明顯有解的方程, $Delta$ 竟然是負數. 比如一個經典的例子 $x^{3} - 15x -4 = 0$ , $Delta = -121$ . 很明顯對負數求開平方無意義, 但又很明顯的是, 4就是這個方程的解.這時候假設 $i=sqrt{-1}$ 的話,這個問題就解決了: $x=sqrt[3]{2+11i}+sqrt[3]{2-11i}=4$ ,因為 $(2+i)^{3}=2+11i$ , $(2-i)^{3}=2-11i$ . 本著使用主義的態度, 根據不管黑貓白貓的原則, 大家慢慢的接受了 $i=sqrt{-1}$ 這個概念. 當大家接受了之後,竟然發現, 好處大大的, 於是乎, 實數就擴展到了複數. 到此, 大家忽然間發現, n次代數方程( $x^{n} + a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}=0$ , 其中n為正整數, 係數a可以是實數或者複數)有n個解, perfect!!!

跟數相關的概念, 還有兩個要順帶提一下,就是如果一個數是某個n次代數方程的解的話, 那麼它就是代數數, 否則就是超越數(超越代數方程的數). 比如有人因之而死的 $sqrt{2}$ 是一個無理數, 同時它也是個代數數, 因為他是 $x^{2} -2=0$ 的解. 然而, 另一個跟它相關的數 $2^{sqrt{2}}$ 則不是代數數, 可就這麼簡單的一個東東, 難倒了的可不止一代人. 另外兩個超級有名的超越數(超越數必然是無理數, 反過來則不一定)是 $pi$ 和 $e$ , 他們之間有個神奇的聯繫, 就是名揚四海的公式 $e^{ipi}+1=0$ .

不知不覺, 關於數, 瞎扯了很長了, 最後推薦一個很好看的紀錄片《數學的故事》. 內容很贊, 適合所有層次的人看哦.

題圖本人所拍的照片, 經過特殊處理阿拉丁神燈, 紀念把阿三的好處給掠奪了的阿拉伯數字. 後續有空寫寫, 怎麼通過深度學習, 把照片變得很"神".