差分方程建模

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一、概念

官方解釋：

包含未知函數的差分及自變數的方程。在求微分方程的數值解時，常把其中的微分用相應的差分來近似，所導出的方程就是差分方程。通過解差分方程來求微分方程的近似解，是連續問題離散化的一個例子。

而我認為其實差分方程很簡單，就是一個遞推的關係，序列的某一項定義為前一項的函數，然後一直迭代，就構成了微分方程，當信息符合該特徵的時候，我們就可以用差分方程建模，來解出我們想要的答案。

二、運用

差分方程建模一般用在數據的預測上，根據之前的數據，構造差分方程模型，最後根據規律求得我們想要的答案。接下來來一個例題：

某校一對年輕夫婦為買房要用銀行貸款60000元，月利率0.01，貸款期25年=300月，這對年輕夫婦希望知道每月還多少錢，25年後就可以還清，假設這對夫婦每月可有節餘700元，是否可以去買房呢？

看到這道題，首先我們可以想到，利息是一個迭代問題，每個月都在變化，於是可以想到使用差分方程來解決這個問題，首先我們就要先建立一個差分方程。

若用Ak記第k個月時尚欠的款數，則一個月後（加上利息）欠款，不過又還了x元所以總的款數為

而一開始的借款為A0，所以該問題可用數學表達式表示如下

然後

當這個借貸的模型已經求了出來，接下來就是求解的過程了

現在A0=60000，R=0.01，k=300，利用Maple等數學軟體，容易算得x=632元<700元，這說明該夫婦有買房能力。

差分方程建模沒有寫很多，因為這個其實比較簡單，就是用數學歸納法求模型再求值，或者用模型預測，舉例也比較簡單，高中生都可以隨便做出來，有興趣的可以參考全國大學生數學建模競賽的2009年A題：制動器試驗台的控制方法。

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