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電壓和電流的有效值

08-13
電壓和電流的有效值

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有效值在相同的電阻上分別通過直流電流和交流電流，經過一個交流周期的時間，如果它們在電阻上所消耗的電能相等的話，則把該直流電流（電壓）的大小作為交流電流（電壓）的有效值。(引自百度百科)

電壓有效值

我們常說的市電電壓220V，其實是指電壓有效值。

交流電正弦電壓表達式： U_{max} imes sin(omega t) = U_{max} imes sin(2pi ft)

直流電電壓是一個不變值： U

所以一個周期做的功，根據上述定義有下面關係式：

int_{0}^{T}frac{(U_{max}sin(omega t))^{2}}{R} dt = frac{U^{2}}{R} imes T

消去 R 可得 int_{0}^{T}(U_{max} imes sin(omega t))^{2}dt = U^{2} imes T

積分部分求解

int_{0}^{T}(U_{max} imes sin(omega t))^{2} dt = F(T) - F(0)

F 原函數求解

F(t) = int_{}^{}(U_{max} imes sin(omega t))^{2} dt

= int_{}^{}(U_{max})^{2} imes (1 - (cos(omega t))^{2}) dt

= int_{}^{}(U_{max})^{2} imes (1 - (frac{cos(2omega t) + 1}{2}))dt

= frac{1}{2} imes (U_{max})^{2} imes int_{}^{}(1 - cos(2omega t)) dt

= frac{1}{2} imes (U_{max})^{2} imes (t - frac{1}{2omega} imes sin(2omega t))

因此

int_{0}^{T}(U_{max} imes sin(omega t))^{2} dt = F(T) - F(0)

= frac{1}{2} imes (U_{max})^{2} ((T - frac{1}{2omega} imes sin(2omega T)) - (0 - frac{1}{2omega} imes sin(2omega imes 0)))

= frac{1}{2} imes (U_{max})^{2} (T - frac{1}{2omega} imes sin(2omega T))

= frac{1}{2} imes (U_{max})^{2} (T - frac{T}{2 imes 2 imes pi} imes sin(2 imes 2 imes pi imes frac{1}{T} imes T))

= frac{1}{2} imes (U_{max})^{2} imes T

frac{1}{2} imes (U_{max})^{2} imes T = U^{2} imes T Rightarrow U= sqrt{frac{1}{2}} imes U_{max}

也就是說，電壓有效值 U 是交流電電壓峰值 U_{max} 的 sqrt{frac{1}{2}} 倍

電流有效值

I = I_{max} sin(omega t)

int_{0}^{T}(I_{max}sin(omega t))^{2}Rdt = I^{2}RT

依上述電壓步驟同樣可以求出電流有效值為 I = sqrt{frac{1}{2}}I_{max}


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