對稱性與拓撲序：新型量子計算機的物理基礎
來自專欄複雜性科學
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導語
凝聚態物理學家正嘗試列舉和分類所有可能的相。如果實現了完整的分類，不僅可以更好地解釋目前為止自然界中已知的相，還可能指引新材料和新技術的發展方向。
編譯：集智翻譯組
來源：http://quantamagazine.org原題：Physicists Aim to Classify All Possible Phases of Matter
在過去的三十年里，凝聚態物理學家發現了物質的相的嶄新領域：相互作用的粒子湧現的集體態（emergent, collective states）。這些新的物質狀態迥異於通常的固態、液態或氣態。這些物相有些已經在實驗室中實現，而另一些只是理論上可能存在。
上世紀80年代關於分數量子霍爾效應（fractional
quantum Hall effect）的實驗表明，在某些情況下，電子大量分裂成分數粒子（fractions of
particles），在時空中留下髮辮般的軌跡。在另一些情況下，電子可以是零質量的集體激發。比如，自旋粒子的晶格變成旋轉的環、分叉的弦的流體，再者，原本處於絕緣狀態的晶體，表面開始導電，即拓撲絕緣體。另外，一種物相在2011年被認為是一種數學可能性的時候，震驚了相關領域的專家。這種物相是一種奇異的、像粒子一樣的「分形子」（fracton），以分形的結構綁定在一起。
分數量子霍爾效應：
https://doi.org/10.1103/PhysRevB.41.7653上文提及的2011年相關研究：https://arxiv.org/abs/1101.1962分形子：分形結構的、集體的量子化振動，是聲子（phonon）的分形結構的類似物。聲子是將平移對稱性應用於薛定諤方程的勢能，平移對稱性是位置平移後保持不變的對稱性，與之相對應，分形結構的自相似性是尺度變化下的不變性。
０．探索所有可能的相
如今，為了發展量子計算機，微軟和其他機構的研究小組正競相將量子信息編碼進這些髮辮狀與環狀的物相。
同時，就在最近，凝聚態物理學家在理解可能產生的不同集體行為背後的模式方面取得了重大進展，目的是列舉和分類所有可能的物相。如果實現了完整的分類，不僅可以解釋到目前為止自然界中已知的所有物相，而且還可能指引新材料和新技術的方向。
在眾多理論物理學家的帶領下，加上數學家的貢獻，研究人員已將大量一維或二維空間可能出現的物相分類，方法是將物質與其拓撲結構聯繫起來。（拓撲，即描述球面、環面等形狀不變性的數學。）
他們也開始探索三維物質在接近絕對零度時可能出現的物相，這是目前研究中的空白地帶。
將量子信息編碼進相：
https://www.quantamagazine.org/videos/how-does-symmetry-shape-natures-laws-2/凝聚態物理學家Michael Zaletel：https://phy.princeton.edu/people/michael-zaletel
「科學家尋求的並非一個特別的物理定律，而是所有可能性的空間。某種程度上，這是更加美麗而深刻的想法。」 普林斯頓大學的凝聚態物理學家Michael Zaletel說，或許令人驚訝的是，所有連續相（consistent phase）的空間本身是一個數學對象，「有著如此令人難以置信的豐富結構，我們認為在一維和二維，它最終與這些美麗的拓撲結構一一對應。」
陳諧（Xie Chen），加州理工學院的凝聚態物理學家。她說，分類計劃的「宏偉目標」是列舉任何特定類型粒子可能產生的所有物相。陳諧手中的莫比烏斯帶是一種奇特的拓撲結構，它只有一個面，一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。莫比烏斯帶的形狀在彎曲、伸縮或任意的形變下保持不變，也即具有拓撲不變性。
哈佛大學教授Ashvin Vishwanath：
http://physics.harvard.edu/people/facpages/vishwanath
在物相的圖景中，「所有的可能性都能夠被有規律的分類，」哈佛大學的 Ashvin Vishwanath 說，「一切似乎都是可以被解釋的」——這又似乎太過巧合，讓他感到困惑。
列舉物質的相可能如同「集郵」，「每一張郵票只有一點不同，且不同的郵票之間彼此沒有聯繫」。相反，物相的分類「更像是元素周期表，有很多元素，但元素都可以被劃分入人們可以理解的不同的類。」
儘管對演生粒子的行為進行分類看似並不具有根本的重要性，但包括麻省理工學院的文小剛在內的一些專家卻認為，關於湧現的物相的物理規律表明，基本粒子本身可能是從量子信息糾纏位元的底層網路（underlying network）產生，文小剛稱之為「量子比特海」（qubit ocean）。
例如，一種名為「弦網液體」（string-net liquid）的物相，可以出現在三維的量子比特系統中，具有與所有已知的基本粒子看起來相似的激發。文小剛說，「真正的電子和真正的光子可能只是弦網的漲落。」
譯者註：根據Michael Levin和文小剛的「弦網凝聚」（string-net condensation）理論，普通物質通過粒子凝聚形成有序的物相，拓撲相（topological phase）的形成則是通過弦網凝聚。弦網凝聚為統一三維及更高維的規範玻色子和費米子提供了一種機制。弦的漲落對應規範玻色子（比如光子），弦端則對應費米子（比如電子）。
１．從對稱性到「拓撲序」——一個新的拓撲順序
在這些絕對零度的物相出現之前，物理學家們曾認為，他們已經弄懂了所有的物相。在二十世紀五十年代，只要通過將相變過程描述成一種對稱性的破缺（break of symmetry），就可以解釋當水結成冰時發生了什麼: 液態水在原子尺度上具有旋轉對稱性，即在每個方向上看起來都一樣，而冰中的水分子鎖定在晶體的行和列中。
1982年，事情發生了變化，在超低溫條件下，二維電子氣的分數量子霍爾態（fractional quantum Hall state）這一新的物相被發現。這些奇特的物質狀態，具有分數的電子電荷，沿著系統的邊緣以分數的步伐單向前行。
不同的分數量子霍爾態具有相同的對稱性，因而不能用朗道的對稱性破缺理論來描述，它們代表了一種新的序。
「當時沒有辦法用不同的對稱性來區分這些物相，」 文小剛說，「需要一個新的範式「。在1989年，文小剛想像如同分數量子霍爾態那樣的相，不是出現在平面上，而是在不同的拓撲流形（topological manifold）——比如像球面或環面的表面一樣連通的空間上。
拓撲涉及這些空間全局的、不變的屬性, 不會因局域形變而改變。對一個拓撲學家而言，僅僅通過改變物體表面的形狀，他可以把一個甜甜圈變成一個咖啡杯，因為這兩種物體的表面都有一個孔洞（甜甜圈的中心和咖啡杯的手柄），在拓撲結構上是等同的環面。相反地，他可以任意拉伸或擠壓，但即便是最具可塑性的甜甜圈也會「拒絕」成為一塊餅乾。
文小剛發現，不同的拓撲結構揭示了絕對零度相的新特性。他創造了「拓撲序」（topological order）這一新名詞來描述這些物相的本質。其他理論物理學家也在揭示物質的相與拓撲的聯繫。隨著許多更奇特的物相被發現——事情變得清楚無疑，那就是拓撲與對稱性為分類提供了很好的組織架構。
「拓撲序」論文：http://dao.mit.edu/~wen/pub/topo.pdf
拓撲相（topological phase）只在接近絕對零度時出現，因為只有在如此低的溫度下，粒子系統才能回復到它們最低能量的量子「基態」。在基態，與粒子特性相關的微妙相互作用——在較高溫度下被破壞的效應——將處於全局量子糾纏模式的粒子連接起來。粒子並非只有單獨的數學描述，還是一個更複雜的函數的組成部分。函數同時描述所有粒子，通常是以全新的粒子出現，作為全局的物相的激發。出現的長程糾纏模式是拓撲的，不受局域變化的影響，就像流形中孔洞的數目一樣。
２．根據拓撲結構分類物質的相
考慮系統中最簡單的拓撲相——所謂的「量子自旋液體」——由二維的「自旋」晶格組成，或是由指向上下兩個不同方向的粒子，又或是以某種概率同時指向上下兩個方向的粒子組成。
在絕對零度時，自旋液體中所有自旋向下的粒子形成弦（string of spins），這些弦形成閉合的環。隨著自旋方向量子化地漲落，整個材料中環的圖樣也不斷變化：粒子自旋向下的環合併成更大的環，或者分成較小的環。在量子自旋液體中，系統的基態是所有可能的環形圖樣的量子疊加。
為了理解作為一種拓撲序的糾纏模式，不妨像文小剛所做的那樣，想像量子自旋液體包裹在環面上，一些環圍繞著圓環的孔洞，一些環穿過孔洞。由於這些圍繞孔洞的環，量子自旋液體不是以所有環形圖樣疊加而成的單一基態存在，而是處於四種分立的基態之一，這四種基態對應於環形圖樣的四種不同疊加態。
如圖７所示，基態A是偶數的環圍繞孔洞、偶數的環穿過孔洞的所有可能的環形圖樣的疊加。基態B有著偶數的環圍繞孔洞、奇數的環穿過孔洞；基態C和D分別對應於奇數-偶數，奇數-奇數的纏繞。
不管系統處於哪個基態中，這個態是穩定的，即使環形圖樣存在局域漲落。
例如，如果自旋液體有偶數的環圍繞環面的孔洞，兩個環可能接觸而合併成一個不再圍繞孔洞的環。環的數量減少了兩個，但仍然是偶數。按照Z2拓撲不變數分類（奇偶分類），只有奇數和偶數兩種拓撲上不等價的結構，因此，系統的拓撲序不變。系統的基態不受局域變化的影響，具有拓撲不變性。
未來的量子計算機可以利用這種不變的性質。具有四個不受局域形變（local deformation）或環境干擾（environmental error）影響的拓撲基態，「提供了一種存儲量子信息的方法，因為位元可以存在於基態，」 Zaletel解釋說，他曾研究過自旋液體和其他量子相的拓撲性質。像自旋液體這樣的系統並不真的需要環繞一個環面以擁有拓撲保護的基態（topologically protected ground state）。研究人員最喜歡的對象其實是Toric 編碼（Toric code），這是加州理工學院的凝聚態理論物理學家 Alexei Kitaev 在1997年從理論上構建的一種物相，並在過去的十年里在實驗上實現。Toric 編碼是一種拓撲量子糾錯碼（topological quantum
error correcting code），是定義在二維自旋晶格上的穩定子碼（stabilizer code）的例子。凝聚態理論物理學家 Alexei Kitaev：
http://iqim.caltech.edu/profile/alexei-y-kitaev/
Toric編碼應用周期性邊界條件，自旋粒子形成的環本質上能夠從系統的邊緣移出，並從相反的一側重新進入，允許它們環繞系統，就像圍繞環面孔洞的環一樣，因而Toric編碼具有平移不變性，可以存在於平面上，並且仍然保持存在於環面上的多個基態。「我們知道如何在環面上的基態特性之間進行轉換，也知道粒子的行為。」Zaletel說。
自旋液體還可以形成其它物相，在其中，自旋粒子並不形成閉合的環，而是形成分叉的弦的網狀結構，這就是弦網液體。根據文小剛的理論，從三維的量子比特海開始，自旋液體「能產生粒子物理的標準模型」。
３.相的宇宙——一維、二維與三維
2009年和2010年，幾個小組的研究完成了對一維有「能隙」物質相的分類，例如粒子鏈。有能隙相（gapped phase）的基態具有如下特性：最低能量態足夠地遠離高能量態，或者說與高能量態存在能隙，所以系統穩定地處於最低能量的基態。只有有能隙量子相具有明確的粒子形式的激發。無能隙相（gapless phase）如同漩渦狀的物質迷霧或者量子湯一般，在相的圖景中，很大程度上仍然是未知的領域。
一維玻色子鏈只有一個有能隙的拓撲相。這個物相是普林斯頓大學的理論物理學家Duncan
Haldane首次研究的，他因為數十年關於拓撲相的工作，與David Thouless和J. Michael Kosterlitz一起獲得了2016諾貝爾獎。自旋鏈在兩端產生半自旋粒子。一維費米子鏈具有兩個有能隙的拓撲相。這些一維粒子鏈的拓撲序不是源於長程量子糾纏（long-range quantum entanglement），而是來自作用於近鄰粒子之間的局域對稱性（local symmetry）。
它們被稱為「對稱性保護拓撲相」（symmetry-protected topological phase），對應於「上同調群的余圈」（cocycle of the cohomology group）。在群論中，上同調（cohomology）是一種對拓撲空間賦予代數不變數的方法，是對余圈（cocycle）等數學對象的抽象研究。上同調群的余圈是一種類似於流形中的孔洞數量的不變數。
二維空間的物相更為豐富和有趣。它們可以具有與量子糾纏的長程模式相關的拓撲序，如自旋液體中環形圖樣的漲落，這被一些專家認為是「真正的」拓撲序。
在過去的幾年中，研究人員已經證明，這些糾纏模式對應於被稱為張量範疇（tensor
category）的拓撲結構, 它列舉了物體可以融合或編織在一起的不同方法。馬德里康普魯滕塞大學（Complutense University of Madrid）的David Pérez-García說，「張量範疇提供了一種描述粒子以一致的方式融合或編織的方法。」David Pérez-García教授簡介：
http://www.mat.ucm.es/imi/People/Perez_Garcia_David.htm
下文提及的2010年的相關研究：https://arxiv.org/abs/1010.3732
Pérez-García及其他研究人員試圖從數學上證明，對於二維有能隙拓撲相的已知分類是完備的。他在2010年幫助完成了一維情況的分類——至少在人們普遍認為的假設之下，即這些物相總是被量子場論很好地近似。量子場論的數學描述把粒子的環境看成是平滑的。
Pérez-García說，「人們推測，張量範疇將涵蓋所有的二維相，但目前還沒有從數學上證明。當然，如果能證明這些並非全部的物相，那就更有趣了。奇特的事物總是有趣的，因為其中蘊涵著新的物理，而且可能有用。」
無能隙量子相代表了另一個可以探索的、充滿可能性的領域，然而這些複雜的物質迷霧始終難以被現有的理論方法描述。麻省理工學院的凝聚態物理學家Senthil Todadri說，「粒子的語言是無用的，我們正面臨最大的挑戰。」
凝聚態物理學家Senthil Todadri：
http://web.mit.edu/physics/people/faculty/todadri_senthil.html
無能隙量子相是尋求理解高溫超導的主要障礙。它們還阻礙了量子引力研究人員「it from qubit」（一切源自量子比特）的運動，這些研究人員認為，不僅基本粒子，包括時空和引力，都來源於某種底層量子比特海中的糾纏模式。馬里蘭大學的理論物理學家Brian Swingle說，「在it from qubit中，我們花費了大量時間研究無能隙量子相，因為根據現階段的理解，引力正來源於此。」 一些研究人員試圖利用數學對偶將量子湯的圖像轉換成高一個維度的等價的粒子描述。對此，Todadri說，「一切應該以探索的精神來看待。」
在三維空間進行著甚至更為熱情的探索。已經清楚的是，當自旋或其他粒子從自身所在的鏈條或平面脫離，並填滿真實的三維空間時，會出現難以想像的量子糾纏模式。「到目前為止，在三維空間，有些東西逃脫出了張量範疇的圖像。這種激發十分奇怪，超出了我們現有的理論框架。」Pérez-García說。
４．Haah編碼 （The Haah Code）
最瘋狂的三維相出現在七年前。加州理工大學一位有天賦的研究生，Jeongwan Haah在計算機上搜索尋找「 夢想編碼」方案時，發現了這個物相。這個物相的量子基態是如此穩定，即使在室溫下，也可以用來安全地進行量子存儲。
為此，Haah不得不求助於三維物質。在二維拓撲相（如toric編碼）中，一個重要的錯誤來源是「弦算符」（stringlike operator）：對系統的擾動導致新的自旋弦意外地形成。這些弦有時會圍繞環面孔洞形成新的環，使環的數量從偶數變為奇數或者相反，將toric 編碼轉換為其它三個量子基態之一。因為弦不受控制地增長，並環繞物體，專家們認為，在二維空間不可能實現好的量子存儲。
Haah編寫了一個演算法來搜索三維相，以避免通常的弦算符。計算機給出了17種確切的解答方案，接著他開始親自研究：其中四種物相被證實沒有弦算符，當中對稱性最高的那個現在被稱為Haah 編碼。
Haah 編碼對於量子存儲有潛在的用途，但也非常怪異。加州理工大學的凝聚態物理學家陳諧回憶起她聽聞這個消息時的情景，那個時候離Haah令人迷惑的發現只有一兩個月，她還是一名研究生，「每個人都非常震驚，我們不知道拿它怎麼辦。而現在多年過去了，情況一直如此。」
Haah 編碼的數學形式相對簡單：一個兩項的能量公式的解，描述了立方晶格中與八個最近鄰相互作用的自旋粒子。然而生成的物相超出了我們想像力的極限，Todadri 說。
Haah 編碼的特點是類似粒子的實體，分形子（fracton）。分形子是非液態的，且固定在晶格的位置上，不同於量子自旋液體中的環形圖樣。只有當晶格的位點構成分形模式時，粒子（在分形晶格中是分形子）才能在這些位點之間跳躍。也就是說，為了使分形子交換位置，必須向系統，比如連接四個分形子的正四面體的每個角注入能量；但是當系統放大的時候，原本看似只是點狀的角會隨之放大，成為一個小的正四面體，必須向這些小正四面體的每個角也注入能量。在更精細的尺度上，會看到更小的正四面體，如此層層深入，直到晶格最精細的尺度。
這種分形行為意味著Haah 編碼永遠不會「忘記」組成它的底層晶格，也永遠無法用一個平滑的晶格描述來近似，如量子場論當中那樣。此外，Haah 編碼的基態數量隨著底層晶格的規模增長，這是絕對的非拓撲性質。（拓撲結構，比如一個環面，伸展後仍然是一個環面，並不隨尺度改變。）
Haah 編碼的量子態非常安全，因為一個完全命中所有晶格位點的「分形算符」（fractal operator）不太可能隨機出現。專家表示，可實現的Haah 編碼版本將具有很大的技術層面的意義。
Haah相也激發了理論思考。Haah一直在促進事情的發展。2015年，他和麻省理工學院的兩名合作者發現了現在被稱為「分形子模型」（fracton model）的一類物相的許多實例，這是Haah 編碼較為簡單的類似物。（這個族的第一個模型，Chamon模型，是由波士頓大學的Claudio Chamon於2005年引入的。）
從那以後，陳諧和其他人一直致力於研究這些分形子系統的拓撲結構，其中一些系統允許粒子在三維體積範圍內沿著線或平面移動，這或許有助於對概念的理解，或者更容易在實驗中實現。
Hahh實例研究：
https://arxiv.org/abs/1505.02576模型引入：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.94.040402陳諧後續研究：https://arxiv.org/abs/1712.05892更易在實驗室實現的系統：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.119.257202
Haah 編碼「正在為奇特的的事物敞開大門，」 陳諧說，「這說明我們對三維和更高維度所知是多麼少！因為我們對正在發生的事情還沒有系統的圖像，可能有很多東西等待著我們去探索。」
還沒有人知道Haah編碼及其類似方法在可能的物相的圖景中處於什麼位置，或者這個可能性的空間有多大。據Todadri說，人們已經在對最簡單的有能隙三維相的分類方面取得進展，但是在完整的分類計劃能夠開始之前，需要對三維的相進行更多的探索。他說，很清楚的是，「當有能隙物質相的分類在三維空間開始時，將不得不面對Haah最先發現的這些怪異的可能性。」
許多研究人員認為，新的分類概念，甚至全新的框架，對於捕捉Haah 編碼的分形性質，以及揭示三維量子物質的所有可能性可能是必要的。
文小剛說，「需要新的理論，新的思維方式。」他認為，對於長程量子糾纏的非液態模式，我們或許需要新的圖像。「我們有一些模糊的想法，但沒有非常系統的數學去實現。我們可以感覺到它大概是什麼樣子，卻仍然缺乏詳細的系統。然而這令人興奮。」
參考譯名列表
fracton 分形子
Toric code Toric 編碼
Haah code Haah 編碼
stringlike operator 弦算符
gapless phase 無能隙相
gapped phase 有能隙相
symmetry-protected topological phase 對稱性保護拓撲相
topologically protected ground state 拓撲保護基態
chiral spin liquid phase 手性自旋液體相
CZX halozeotype state CZX halozeotype 態
Abelian fractional Quantum Hall state 阿貝爾分數量子霍爾態
spin liquid 自旋液體
string-net condensation 弦網凝聚
string-net liquid 弦網液體
quantum order 量子序
topological order 拓撲序
topological phase 拓撲相
cocycle 余圈
cohomology group 上同調群
tensor category 張量範疇
topological quantum error correcting code 拓撲量子糾錯碼
stabilizer code 穩定子碼
翻譯：梁金
審校：黃金龍、陳星強原文：https://www.quantamagazine.org/physicists-aim-to-classify-all-possible-phases-of-matter-20180103/
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