筆記：只用「第一基本量」的內蘊幾何及初等微幾

08-13

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曲面的數學定義以及第一、第二基本形式

我們知道，2維曲面的標準數學定義是指一個映射 $vec r: Dsubset mathbb{R}^2 longrightarrow mathbb{R}^3\ (u,v) longmapsto egin{pmatrix} varphi(u,v) \ psi(u,v) \ w(u,v) end{pmatrix}$

這種形式下，2維曲面是看成嵌入在 $mathbb R^3$ 中的「曲面」。

原來，公式中的 $(u,v)$ 就可以看成是這個2維曲面S的內蘊坐標，而 $egin{pmatrix} varphi(u,v) \ psi(u,v) \ w(u,v) end{pmatrix}$ 可以看成是曲面S嵌入在3維空間的3維坐標（外蘊坐標）。

就是要首先知道

$varphi(u,v) , psi(u,v) , w(u,v)$

這三個具體表達式（比如拋物面 $[ u , v , u^2+v^2 ]^{T}$ ），然後來研究曲面 $vec r$ 的各種性質。

由多元函數微分學得：

$egin{split} vec{r}(u+ Delta{ u}, v+Delta{v}) - vec{r}(u , v) = &(frac{partial}{partial u}cdot Delta{ u}+frac{partial}{partial v}cdot Delta{ v} ) vec{r} |_{(u , v)} \+ & frac{1}{2 !}(frac{partial}{partial u}cdot Delta{ u}+frac{partial}{partial v}cdot Delta{ v} )^2 vec{r}|_{(u , v)} \+ & cdots \+& frac{1}{k !}(frac{partial}{partial u}cdot Delta{ u}+frac{partial}{partial v}cdot Delta{ v} )^k vec{r} |_{(u , v)} \+ & cdots end{split}$

粗略地說，

曲面 $vec r (u,v)$ 的「第一基本型 $I$ 」對應於

$vec{r}(u+ Delta{ u}, v+Delta{v}) - vec{r}(u , v)$ 保留1階增量，略去高階增量（求 $I$ 大小要對其進行平方）；

曲面 $vec r (u,v)$ 的「第二基本型 $II$ 」對應於

$vec{r}(u+ Delta{ u}, v+Delta{v}) - vec{r}(u , v)$ 略去1階增量，保留2階增量，忽略3階及以上增量（求 $II$ 大小要再點乘單位法向量 $vec{n}:= frac{ vec r_u imes vec r_v } { |vec r_u imes vec r_v |}$ ）。

可以看出，無論是用內蘊坐標還是外蘊坐標，第一基本形式都是2次-微分形式，只是係數不同，也就是說它們的size是一樣的，所以可以指望它們在一定條件下連繫數都相同（這就有點「等距嵌入」的感覺了）。

內蘊幾何

「內蘊幾何」說的是：不需要知道 $varphi(u,v) , psi(u,v) , w(u,v)$ 這三個具體表達式，而僅僅知道第一基本量 $E, F, G$ ，以及曲面上的度量和兩直線內積，去研究推導曲面的各種性質了。

第一基本量的定義

如果只知道2維曲面上的度量（或稱「線素」）

$egin{split} (d ~ vec r)^2=&(vec r_u)^2(du)^2 +2 langle vec r_u,vec r_v angle du dv + (vec r_v)^2 (dv)^2 \ =:& ~ E (du)^2 +2 cdot F (du dv) + G (dv)^2 end{split}$

則可推出該曲面的面積微元表達式為

$dS=sqrt{E G- F^2} du wedge dv$ 。

證：

由面積微元的定義式(局部線性近似代替之後，邊長就是直線，相當於求平行四邊形面積公式)

其中 $heta$ 是向量 $vec r_u , vec r_v$ 之間的夾角，故得夾角餘弦

$cos heta = frac{langle vec r_u,vec r_v angle}{| vec r_u | cdot | vec r_v |} =frac{F}{sqrt{E cdot G}}$ 。

所以

$| vec r_u | cdot | vec r_v |cdot sin heta =sqrt{E} cdot sqrt{G} cdot sqrt{1-(frac{F}{sqrt{E G}})^2} =sqrt{E G-F^2}$

證完

這個曲面面積微元公式和「數學分析」中推導的公式完全一致！

推導的從頭到尾都沒用到曲面的具體表達式 $[ varphi(u,v) , psi(u,v) , w(u,v) ]^{T}$ 。如果先知道 $varphi(u,v) , psi(u,v) , w(u,v)$ 各自的表達式，當然可以算出 $E, F, G$ ，不過前者條件比後者要強。

以上這件事情可以推廣到N維空間。

Riemann幾何

測地線與變分法Euler-Lagrange方程

「測地線方程」的導出就只需知道第一基本量（Riemann度量） $(g_{ij})$ 即可，其中 $egin{pmatrix} g_{11} g_{12} \ g_{21} g_{22} end{pmatrix} := egin{pmatrix} E F \ F G end{pmatrix}$ 這是張量記號。

直接利用「變分」理論，將「Euler-Lagrange方程」代入弧長泛函對應的能量泛函 $frac{1}{2}int_{I}sum_{mu, u}g_{mu u} dot{x}^{mu} dot{x}^{ u} ds$ 中即可。

這裡 $g_{mu u}=g_{mu u}(x^1,cdots , x^{N})$ ，而 $x^{i}=x^{i}(s)$ 。

得測地線方程為：

$ddot{x}^{i}+ sum_{k, j}(Gamma_{jk}^i imes dot{x}^{k} imes dot{x}^{j}) =0, i=1, cdots , N.$

以3維空間 $mathbb{R}^3$ 中的曲面為例，即 $N=2$ 。則 $(x^1,x^2)$ 是曲面映射 $vec{r}(x^1,x^2)$ 的自變數。再設 $x^1,x^2$ 都是弧長參數 $s$ 的函數，即 $x^1(s),x^2(s)$ ，而且 $dot{x}^{i}，ddot{x}^{i}$ 分別指 $frac{d}{ds}(x^{i}(s)), frac{d^2}{ds^2}(x^{i}(s))$ 。這裡 $Gamma_{jk}^i$ 是Christoffel記號（克氏符），與 $(g_{ij})$ 有直接關係。

再次重申，以上的所有推導只用到了第一基本量 $(g_{ij})_{2 imes 2}$ ，並不需要知道曲面的具體表達式 $vec{r}(x^1, x^2)=[varphi(x^1,x^2) , psi(x^1,x^2) , w(x^1,x^2)]^{T}$ 長什麼樣。

就如「泛函分析」經常用「距離」的本質屬性——「三角不等式」來推導結果，而並沒有用到距離函數 $ho(x,y)$ 的具體表達式。

內蘊幾何只需要第一基本量

另外，「測地線方程」的左端項被稱為「測地曲率」 $mathcal{k}_g$ ，換句話說，測地線就是曲面 $S$ 上滿足「測地曲率為0」的曲線。將 $mathcal{k}_g$ 沿著曲面 $S$ 上一條簡單、封閉曲線 $C$ 積分，再利用Green公式，即可得到著名的「Gauss-Bonnet」公式！

==========================2017/10/28======================

「測地線」還和曲面上的「平行移動」有聯繫。

曲面上的「Levi-Civita平移」可以定義為：移動過的軌跡線上的各個點「切向量」之間夾角保持不變。夾角餘弦由「內積」定義，「內積」由「第一基本量」定義。歸根結底，「平行移動」就是由「第一基本量」 $g_{ij}$ 決定了。

Euler-Lagrange方程與測地線方程的推導

Euler-Lagrange方程的形式推導：

Euler-Lagrange方程的形式推導

套用「E-L方程」推導曲面「測地線表達式」的具體算例，

該算例來自

【理解黎曼幾何】3. 測地線 - 科學空間|Scientific Spaces?

spaces.ac.cn

變分法算測地線1—— by 蘇劍林【理解黎曼幾何】3. 測地線

變分法算測地線2—— by 蘇劍林【理解黎曼幾何】3. 測地線

曲線論大意

給定空間曲線C

$vec r: I subset mathbb{R}^1 longrightarrow mathbb{R}^3\ s longmapstoegin{pmatrix} x(s) \ y(s) \ z(s) end{pmatrix}$

弧長參數下，曲線C的單位切向量、主法向量、次法向量形成一副「正交標架」，也稱 Frenet 標架。

切向量：

$alpha:=frac{d ~vec r(s)}{ds}=frac{ dot r(t) }{| dot r(t) |}$

主法向量：

$eta:=frac{ ddot{r}(s) }{ | ddot{r}(s) | }=frac{ dot{alpha} }{ | dot{alpha} | }$ ，曲率定義為 $kappa(s):=|ddot{r}(s)|$

次法向量：

$gamma:=alpha imes eta= frac{ dot{r}(s) imes ddot{r}(s) }{ | dot{r}(s) imes ddot{r}(s) | }$ ，撓率定義為 $au(s)=<gamma , ~dot{eta} >$

曲線論基本定理大致是說：取弧長參數條件下，給定曲率、撓率。則空間曲線C的形狀就確定了，位置可以平移。

證明的方法是直接利用「常微分方程存在性、唯一性定理」。

外微分與活動標架法及應用

活動標架 ${ vec{r};~e_1,~e_2,~e_3}$ 的「無窮小位移（關於 $Delta r,~ Delta e_i$ ）方程」實際上就是活動標架的「微分方程」。

先待定係數 $omega_i,~ omega_i^j$ ，列出標架的微分方程組，也稱為「活動標架的運動方程」

$egin{split} left{egin{array}{ll} dr := sum_{i=1}^{3}{omega^i~e_i} , ~w^isim (u,du).\ de_i:= sum_{j=1}^{3}{omega_i^j~e_j}, ~i=1,2,3.~w^j_i sim (u,du). end{array} ight. end{split}$

由於 $<e_i,~e_j>=delta_{ij}$ ，可推出

$omega_i^j+ omega_j^i=0.~Rightarrow~ omega_1^1=omega_2^2=omega_3^3=0.$

微分方程是否可積？可積條件就是「Frobenius可積性條件」

$left{egin{array}{ll} d(d ~r)=0, \ d(d~e_i)=0. end{array} ight.$

這個「可積性條件」就是對「活動標架的運動方程」等號兩邊用「外微分運算元」作用導出的，任何一個「k次-微分形式」被「外微分運算元」作用2次及以上都得0（好像叫「Poincare lemma」），對r外微分2次、對標架外微分2次就分別導出Gauss方程、Codazzi方程。

微分方程的可積性條件在曲面論中又叫作「活動標架的結構方程」。

例子

空間曲線的弧長參數活動標架就是Frenet 標架 — ${ vec{r}(s);~e_1(s),~e_2(s),~e_3(s)}$ 。

$e_1:=frac{d ~ r}{ds},~ e_2:=frac{d ~ e_1}{ds}div left|frac{d ~ e_1}{ds} ight|,~ e_2:=e_1 imes e_2 .$

代入活動標架的無窮小位移方程就可得到 Frenet 方程。容易驗證曲線論Frenet微分方程是完全可積的，也就是它自動滿足「結構方程」，所以它不需要「結構方程」這個附加條件。

從以上推導可以看出「活動標架法+外微分運算元」的威力，它把曲線論、曲面論的標架微分方程納入到統一框架下研究，可以說是它們的推廣抽象。曲線論中的標架即切向量 $dot r$ 、主法向量 $ddot r$ 和次法向量 $dot r imes ddot r$ 分別對應於曲面論中 ${r_u,~r_v, ~r_u imes r_v }$ 。曲線論「Frenet 微分方程」對應於曲面論中「自然標架運動方程」(就是涉及到 Christoffel 記號 $Gamma_{alphaeta}^{gamma}$ 的那個方程組)。