AMC 8 | 第七講：很社會的平行四邊形與它的小弟們

來自專欄 AMC 美國數學競賽11 人贊了文章

這是圖解數學的第7篇。

「圖解數學」系列介紹

「圖解數學」系列用學生看起來最為直觀的圖形，載12期，來講解SAT/ACT/AMC8平面幾何的考點，並提供中英文對照。

本期要點：

1. 平行四邊形邊於角

2. 平行四邊形面積關係

3. 長方形

4. 菱形

平行四邊形，大家肯定都很熟悉，但是你知道嗎？它可是好幾位小弟的大哥，只有跟大哥搞好關係，你才能和各位小弟友好相處。

四邊形可以分三類：

①兩組對邊都不平行的：這種一般比較難，暫不研究

②只有一組對邊平行的：叫做梯形 （trapezoid）

③兩組對邊都平行：叫做平行四邊形（parallelogram），咱們現在就來具體說說它

由對邊平行這個定義出發，我們很快就能推出它的另一些基本性質：

①對邊相等

②對角相等

③對角線互相平分

以上三條性質都可以用全等三角形來證明。

下面我們來看一個課內不常接觸到的性質，對角線長度和邊長的關係：

觀察上圖，我們發現，四條邊長的平方和等於兩條對角線的平方和。

當你知道平行四邊形兩條對邊和其中一條對角線的長度的時候，就能用這個性質快速算出另一條對角線長度。

這個性質最簡單的推導是用餘弦定理來計算兩條對角線長度，兩式相加得出。

我們知道，平行四邊形的面積是底乘高，這個公式是怎麼推導出來的呢？

觀察上圖我們可以發現，無論平行四邊形是什麼形狀的，我們總可以剪下黃色的三角形，把它拼到綠色三角形的地方，這樣平行四邊形的面積就可以用長方形面積公式——長乘寬來算了。

如上圖，平行四邊形被兩條對角線分成四個三角形，上下兩個三角形全等，左右兩個三角形也全等，有趣的是，雖然上面的三角形和右邊的三角形不全等，但它們面積一樣。

證明方法可以是：CA=AF， D 到底邊 CA 和 AF 的距離也相等，於是兩三角形面積相等。

一般情況下，平行四邊形兩條對角線是不相等的，但通過調整，使得兩條對角線長度相等，大家來想想會發生什麼呢？

觀察圖形變化，我們發現，當對角線相等的時候，平行四邊形恰好變成了長方形！所以，矩形是平行四邊形的第一個小弟。

這個性質可以由全等三角形證明，它對應兩條定理：

①對角線相等的平行四邊形是矩形

②矩形的對角線長度相等

以上兩條互為逆定理。

一般情況下，平行四邊形兩條對角線是不垂直的，但通過調整，使得兩條對角線垂直，大家來想想會發生什麼呢？

觀察圖形變化，我們發現，當對角線垂直的時候，兩條鄰邊長度就相等了，平行四邊形恰好變成了菱形（rhombus）！所以菱形是平行四邊形的第二位小弟。

這個性質依然可以由全等三角形證明，它對應兩條定理：

①對角線垂直的平行四邊形是菱形

②菱形對角線相互垂直

以上兩條互為逆定理

最後說一句，如果一個圖形既是矩形又是菱形，那麼它就是我們最常見的正方形了。正方形平行四邊形的第三位小弟。

今天你學習了《圖解數學》的第七講，下次你再見到矩形、菱形、正方形，你們就知道：哈哈哈，你們都是平行四邊形的小弟。

恭喜你，又解鎖了一個新章節。下次我們學習全等三角形。