金融中的算數平均數和幾何平均數到底是怎麼回事？

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關於算術平均數和幾何平均數的概念，我們先看以下這個例子：

如果你是一個基金經理，管理著一支基金，規模是100萬元，今年行情好，到年底的時候漲到了200萬元；然而第二年行情很差，又跌回了100萬元，請問這支基金在這兩年內的平均收益率是多少？

收益率的計算公式：

收益率=（期末價格-期初價格）/期初價格

我們分開計算：

第一年的收益率=（200-100）/100=100%；

第一年的收益率是100%，盈利；

第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；

第二年的收益率是-50%，虧損；

那麼平均收益率該怎麼算呢，一般人可能會把這兩個收益率加起來除以二：

[100%+（-50%）]/2=25%；

也就是說平均收益率有25%，基友一看，那好，你基金經理把25%的收益率給我，我投了100萬，你把25萬給我。

你一看，期初管理了100萬的基金規模，兩年後還是100萬的基金規模，並沒有多出的25萬給基友啊，那這平均收益率難道錯了嗎？

其實不是平均收益率錯了，而是你選用計算平均收益率的方式錯了。

計算平均數，有兩種方式，一種是算術平均數，還有一種是幾何平均數。

算術平均數就是我們上面求均值的方式，也是統計學中最基本、最常用的一種平均指標，是加權計算的，每個數據之間不具有相互影響關係，是獨立存在的。

比如你是手機店的銷售員，星期一你賣了10部手機，星期二你賣了8部手機，星期三你賣了9部手機，星期四你買了11部手機，星期五你賣了12部手機，那麼這一周你平均每天賣的手機數是：

（10+8+9+11+12）/5=10；

你平均每天賣10部手機。

那麼，什麼是幾何平均數呢？

幾何平均數是指n個觀察值連續乘積的n次方根，這麼說好像不太好理解，我們接著舉賣手機的例子：

比如你是手機店的銷售員，上個星期平均每天賣了10部手機，這個星期你的經理給你布置了新的任務指標：星期一在上個星期的基礎上要增加10%的量，星期二在星期一的基礎上再增加12%的量，星期三在星期二的基礎上再增加8%的量，星期四在星期三的基礎上再增加11%的量，星期五在星期四的基礎上再增加9%的量。

那麼，我們分開來計算每天要賣幾台手機：

星期一：=10X（1+10%）=11；

星期二：=11X（1+12%）=12.32；

星期三：=12.32X（1+8%）=13.31；

星期四：=13.31X（1+11%）=14.77；

星期五：=14.77X（1+9%）=16.1；

或者我們可以一步計算：

星期五：=10X1.1X1.12X1.08X1.11X1.09=16.1；

星期一到星期五的增長率就是：

（16.1-10）/10=61%；

既然是求平均率，那麼每個時間段的增長率都是相等的，即：

（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）（1+r）=（1+61%）；

r=10%；

手機銷售的日平均增長率是10%；

介紹完了算術平均數和幾何平均數的概念，我們再來看這篇答案開篇的那個例子：

如果你是一個基金經理，管理著一支基金，規模是100萬元，今年行情好，到年底的時候漲到了200萬元；然而第二年行情很差，又跌回了100萬元，請問這支基金在這兩年內的平均收益率是多少？

我們還是分別算出第一年和第二年的期間收益率：

第一年的收益率=（200-100）/100=100%；

第一年的收益率是100%，盈利；

第二年的收益率=（100-200）/200=-50%；

第二年的收益率是-50%，虧損；

這裡我們不能用算術平均數的方法計算，而應該用幾何平均數的方法計算：

（1+r）（1+r）=(1+100%)(1-50%)；

r=0；

幾何平均數算出來的平均收益率是0%。也就是這兩年沒漲沒跌，符合實際情況，100萬元的基金規模在兩年後還是100萬元。

有些基金公司對外宣稱的平均收益率，都是算術平均收益率，這是不符合行業規範的，因為在算術平均收益率的計算下，如果第一年行情火爆，基金收益翻了好幾倍，即使後面幾年連續虧損，計算出來的也依然是正的收益率，按照規定，應該算幾何平均收益率。

中國古代數學家是用幾何圖形來表示幾何平均數的：

圖中AB為直徑，DD為過直徑的一條垂線，相交AB於C，AC的長度為a，CB的長度為b，設DC的長度為c，我們來計算c的長度：

根據勾股定理：

AD*AD=a*a+c*c；

BD*BD=b*b+c*c；

AD*AD+BD*BD=AB*AB=（a+b）（a+b）=a*a+c*c+b*b+c*c；

2*a*b=2*c*c；

a*b=c*c；

c為a、b的乘積開根號；

除非DD也是直徑垂直於AB，AC=CB=DC，也就是a=b=c，否則c<（a+b）/2；

一般情況下，幾何平均數的值要小於算術平均數的值，只有當期間值相等時，幾何平均數才等於算數平均數。

以上就是對算術平均數和幾何平均數的介紹，希望能為大家的理解提供一點幫助。

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以上文章內容搬運自我的這篇知乎答案：

為什麼在金融領域，用幾何平均來代替算術平均更為嚴謹？這兩個平均數有什麼本質上的不同嗎？?

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