中國古代最偉大的數學家
劉徽（大約生於公元250年左右），三國後期魏國人，淄川（今山東鄒平）人。他是中國數學史上一位非常偉大的數學家，也是中國古典數學理論的奠基者之一，在世界數學史上，也佔有傑出的地位。其生卒年月、生平事迹，史書上很少記載。下面從幾個方面來認識一下這位偉大的數學家。 一、數學著作 《九章算術注》 劉徽的數學著作留傳後世的很少，所留之作均為久經輾轉傳抄。他的主要著作有： 1、《九章算術注》10卷，成書於公元263年（《隋書?律曆志》記載：「魏陳留王景元四年（263年），劉徽注《九章》） 《九章算術》是中國古代的一本重要數學著作，作者不祥，它是中國古代演算法的基礎。書中記載了從先秦到東漢的數學成果，共提出了246個數學問題，並給出相應的解法，共分為九大類，分別是： （1）方田：主要是田畝面積的計算和分數的計算，包括三角形、梯形、圓、弧與環形等形狀面積的計算方法，是世界上最早對分數進行系統敘述的著作； （2）粟米：主要是糧食交易的計算方法，其中涉及許多比例問題； （3）衰（讀作「翠」）分：主要內容為比例，算術級數和幾何級數的演算法；
（4）少廣：主要講開平方和開立方的方法； （5）商功：主要是土石方和用工量等工程數學問題，以體積的計算為主； （6）均輸：計算稅收等相關問題，比如繳稅的時間周期，按人口徵稅等； （7）盈不足：雙設法的問題，實質上是已知兩點求通過兩點的直線方程； （8）方程：主要是聯立一次方程組的解法和正負數的加減法，在世界數學史上是第一次出現； （9）勾股：勾股定理的應用。 《九章算術》在許多方面：如解聯立方程、分數四則運算、正負數運算、幾何圖形的面積體積計算等，在當時，都屬於世界先進之列。但原書文字過於簡單，往往只有解法而缺乏證明過程，並且在傳抄的過程中，不可避免地會出現錯誤；所以劉徽為《九章算術》作注，在其中闡明了解題方法的步驟和推導過程，還給出了一些演算法的證明，並糾正了原書中的一些錯誤。而在作注的過程中，他還做出了很多創造性的工作，提出了不少超出原著的新理論。有了劉徽的注釋，《九章算術》才得以成為一部完美的中國古代數學教科書。（劉徽注《九章算術》時年僅30歲左右。） 以《九章算術》代表的中國古代傳統數學，與歐幾里得《幾何原本》為代表的西方數學，代表著兩種迥然不同的體系。《九章算術》著重應用和計算，其成果往往以演算法形式表達。《幾何原本》著重概念與推理，其成果以定理形式表達。從而形成東西輝映、大相徑庭的兩部數學名著。而劉徽和歐幾里得也成為了古代東西方兩大數學體系的代表人物。 公元元年前後，盛極一時的古希臘數學走向衰微，《九章算術》的出現，標誌著世界數學研究中心從地中海沿岸轉到了中國，開創了東方以應用數學為中心佔據世界數學舞台主導地位千餘年的局面。 2、《海島算經》1卷 《海島算經》是劉徽所著的一部運用幾何和三角知識測量「可望而不可即」目標的高、遠、深、廣的數學測量學著作，原名為《重差》（所謂「重差術」便是計算極高和極低的方法），附於劉徽《九章算術注》之後作為第十章。唐代將《重差》從《九章》分離出來，單獨成書，按第一題「今有望海島」，取名為《海島算經》，是《算經十書》(古代國子監算學學習和考試用書) 之一，並且規定《海島算經》的學習期限為三年，是其他算經學習期限的三倍。 現傳版本的《海島算經》是清初編輯《四庫全書》時，戴震從明朝《永樂大典》中重新抄錄出來的，但只剩下九個問題，並且只存劉徽文字，原劉徽作的圖和原劉徽所作的注釋不存。 1、望海島 2、望松生山上
《海島算經》 3、南望方邑 4、望深谷 5、登山望樓 6、南望波口 7、望清淵 8、登山望津 9、登山臨邑 這九個問題的所有計算都是用籌算進行的。 《重差》和《九章重差圖》是陳子（公元前六、七世紀的中國數學家）測日法的推廣。 《海島算經》所提及的「重差術」是透過對事物對象的反覆觀測（第一、三、四問要觀測兩次，第二、五、六、八問要觀測三次，第七、九問要觀測四次），在不引入三角函數的情況下，劉徽藉助於相似勾股形的比例關係將中國古代的「重差」理論進一步發展，從而計算出精確的結果，同時展示了兩者的演化歷程，這標誌著中國古代數學家在測量技術及理論方面達到了新的高度。 《中國數學史大系》一書中評價《海島算經》：「使中國測量學達到登峰造極的地步。 3、《九章重差圖》l卷 《九章重差圖》記錄了《九章算術》注及《重差》中的圖形，及是一本圖冊。劉徽以後，學習和研究《九章算術》的人要把圖冊和書相配合，直至宋代圖冊失傳。 4、《魯史欹器圖》1卷 《魯史欹器圖》出現在隋朝，為「儀同劉徽注」，此劉徽可能為數學家劉徽，這個問題在中國古代數學史上不同看法。 （3、4的看法，節選自吳文俊主編，《中國數學史大系》第三卷第二編） 二、數學成就 劉徽的數學成就大致為兩方面： 1、清理中國古代數學體系並奠定了它的理論基礎，這方面集中體現在《九章算術注》中，它實已形成為一個比較完整的理論體系： ①在數系理論方面 用數的同類(是指用同一度量單位『即法，即現在分數中的分母』所得之數，後劉徽又在正負數的概念中用同類來指正數)與異類（即實，即現在分數中的分子，後也指負數）闡述了通分（劉徽概之為「齊同以通之」 ，即現在分數運算、比較時，把分母相乘以達到分母相等，即得到「同」）、約分（用各分數的分母除「同」而得各分數的率，用「率」乘各分子即得「齊」，「齊」就可以比較了），這樣就可進行分數的四則運算，以及繁分數化簡等的運算。 （比如 ，「同」即為 ，各分數的「率」即為 ， ， ，直接用它們乘以 、 ， ，即得到相應的「齊」 ，然後就可進行計算、比較） 在少廣章開方術的注釋中，他從「開之不盡」的意義出發，論述了無理方根的存在；並且為了開方運算的方便而「以面命之」 ，即從幾何的觀點出發，在「量之不盡」時用線段（如 ，用正方形的對角線表示）來表示無理方根。並創造了用十進位小數來表示無理數的立方根。他是世界上最早提出十進位小數概念的人。 另外，他還方程章中正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則。（劉徽注中的正負數的定義是「今兩算得失相反，要令正負以名之」。另外，中國古代數學家在用算籌解方程時，一般用紅色的算籌來代表正數，黑色的算籌來代表負數；也有用三角形算籌代表正數，四邊形算籌代表負數的。） 【算籌的發明和十位進位的創立】 古代的象牙算籌 中國古代有一句諺語，叫做「運籌策帷幄之中，決勝於千里之外」。其實，籌策的本意是指中國古代的一種計算工具----算籌，又稱運算元，在中國歷史上曾經使用了幾千年之久，直到明代以後才被算盤所替代而退出歷史舞台。 根據史書的記載和考古材料的發現，古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細的小棍子，一般長為13-14厘米，直徑2至4毫米，多用竹子製成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料製成的，大約二百七十幾枚為一束，放在一個布袋裡，系在腰部隨身攜帶。需要記數和計算的時候，就把它們取出來，放在桌上、炕上或地上都能擺弄。 算籌是在結繩記數、契刻記數等記數方法的歷史發展中逐漸產生的。它最早出現在何時，現在已經不可查考了，但至遲到春秋戰國，算籌的使用已經非常普遍了。 那麼怎樣用這些小棍子來表示各種各樣的數目呢？ 古代的數學家們創造了縱式和橫式兩種擺法，這兩種擺法都可以表示1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數碼。下圖便是算籌記數的兩種擺法： 古代算籌記數的擺法 那麼為什麼又要有縱式和橫式兩種不同的擺法呢？這就是因為十進位制的需要了。所謂十進位制，又稱十進位值制，包含有兩方面的含義。其一是「十進位」，即每滿十數進一個單位，十個一進為十，十個十進為百……；其二是「位值制」，即每個數碼所表示的數值，不僅取決於這個數碼本身，而且取決於它在記數中所處的位置。如同樣是一個數碼「2」，放在個位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我國商代的文字記數系統中，就已經有了十進位值制的蔭芽，到了算籌記數和運算時，就更是標準的十進位值制了。 按照中國古代的籌算規則，算籌記數的表示方法為：個位用縱式，十位用橫式，百位再用縱式……這樣從右到左，縱橫相間，遇零則置空，以此類推，就可以用算籌表示出任意大的自然數了。由於它位與位之間的縱橫變換，且每一位都有固定的擺法，所以既不會混淆，也不會錯位。毫無疑問，這樣一種算籌記數法和現代通行的十進位制記數法是完全一致的。 中國古代十進位制的算籌記數法在世界數學史上是一個偉大的創造。把它與世界其他古老民族的記數法作一比較，其優越性是顯而易見的。古羅馬的數字系統沒有位值制，只有七個基本符號，如要記稍大一點的數目就相當繁難。古美洲瑪雅人雖然懂得位值制，但用的是20進位；古巴比倫人也知道位值制，但用的是60進位。20進位至少需要19個數碼，60進位則需要59個數碼，這就使記數和運算變得十分繁複，遠不如只用9個數碼便可表示任意自然數的十進位制來得簡捷方便。中國古代數學之所以在計算方面取得許多卓越的成就，在一定程度上應該歸功於這一符合十進位制的算籌記數法。 馬克思在他的《數學手稿》一書中稱十進位記數法為「最妙的發明之一」，確實是一點也不過分的。 ②在籌式演算理論方面 先給「率」以比較明確的定義，又以遍乘、通約、齊同等三種基本運算為基礎，建立了數與式運算的統一的理論基礎。 他還用「率」來定義中國古代數學中的「方程」，即現代數學中線性方程組的增廣矩陣。 如方程章第一問： 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？ 【古代解釋】答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一， 中禾一秉，四斗、四分斗之一， 下禾一秉，二斗、四分斗之三。 方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。 【現代解釋】解：設上、中、下禾每秉各有x、y、z斗，則據題意可列成聯立一次方程組 其術文演算過程可以用矩陣的知識表示如下： 綜上：上、中、下禾每秉各有 ， ， 斗。 ③在勾股理論方面 劉徽勾股證明 逐一論證了有關勾股定理與解勾股形的計算原理，建立了相似勾股形理論，發展了勾股測量術，通過對「勾中容橫」與「股中容直」之類的典型圖形的論析，形成了中國特色的相似理論。 ④在面積與體積理論方面 用出入相補、以盈補虛的原理及「割圓術」的極限方法提出了劉徽原理，並解決了多種平面幾何圖形、空間幾何體的面積及體積計算問題。這些方面的理論價值至今仍閃爍著餘輝。 2、在繼承的基礎上提出了自己的創見。這方面主要體現為以下幾項有代表性的創見： ①「割圓術」與圓周率 他在《九章算術 圓田術》注中，劉徽創造了「割圓術」，並用「割圓術」證明了圓面積的精確公式，在得到圓面積公式的過程中又準確的求解了圓周率（即π），並給出了計算的過程。他首先從圓內接六邊形開始割圓，每次邊數倍增，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14，稱為「徽率」（有些書上提到說：劉徽算到3072邊形的面積，得到π=3927/1250=3.1416，但是，經論證，這個結果應該是祖沖之用劉徽的方法得到的，據《中國數學史大系》）。劉徽在割圓術中提出的"割之彌細，所失彌少，割之又割以至於不可割，則與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作。 劉徽割圓術 而根據他提出的方法，大約兩百年後，祖沖之父子突破性地把圓周率計算到了小數點後的第七位。 ②劉徽原理 在《九章算術》陽馬術注中，他在用無限分割的方法解決錐體體積時，提出了關於多面體體積計算的劉徽原理。 ③「牟合方蓋」說 在《九章算術》開立圓術注中，他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性，並引入了「牟合方蓋」這一著名的幾何模型。「牟合方蓋」是指正方體的兩個軸互相垂直的內切圓柱體的貫交部分。 ④重差術 在白撰《海島算經》中，他提出了重差術，採用了重表、連索和累矩等測高測遠方法。他還運用「類推衍化」的方法，使重差術由兩次測望，發展為「三望」、「四望」。而印度在7世紀，歐洲在15～16世紀才開始研究兩次測望的問題。 《海島算經》望海島圖 如《海島算經》第一問望海島： 今有望海島，立兩表，齊高三丈，前後相去千步，令後表與前表三相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末三合。從後表卻行一百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末三合。問島高及去表各幾何？ 【古代解釋】答曰：島高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。 術曰：以表高乘表間為實；相多為法，除之。所得加表高，即得島高。求前表去島遠近者：以前表卻行乘表間為實；相多為法。除之，得島去表裡數。 古代所用的長度單位有里、丈、步、尺、寸；１里＝180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。 【現代解釋】分析：望海島二次測量示意圖由於前表去島的距離不能直接測量，劉徽用同樣高度的表桿前後測量，表桿與地面垂直，人眼貼地，望表桿頂和島上山頂對齊，這時測得人眼和前表桿的水平距離叫「前表卻行」(DG=123步)；再將表桿往後移動，兩表桿間距稱為「表間」(DF=1000步)，依法測出「後表卻行」FH=127步。 解：設島高為AB，前表桿離島的距離為BD 已知表高CD=3丈=5步，前表卻行DG=123步，後表卻行FH127步，則相多為FH-DG=4步，表間為DF=1000步， 因為： ， 所以： , 所以： 即 所以： 所以： , 帶回，得 所以：得島高 步 尺 前表去島遠近 步 尺 三、貢獻和地位 劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生。他雖然地位不高，但人格高尚。劉徽思想敏捷、方法靈活，既提倡推理又主張直觀，他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人。劉徽治學態度嚴肅，為後世樹立了楷模。在求園面積公式時，在當時計算工具很簡陋的情況下，他開方即達12位有效數字。他在注釋「方程」章節18題時，共用1500餘字，反覆消元運算達124次，無一差錯，答案正確無誤，即使作為今天大學代數課答卷亦毫無遜色。 他善於在深入實踐的基礎上精鍊出一般的數學原理, 並解決了許多重大的理論性問題。後人把劉徽的數學成就集中起來, 認為他為我國古代數學在世界上取得了十個領先, 它們是: 1、他最早提出了分數除法法則； 2、他最早給出最小公倍數的嚴格定義； 3、他最早應用小數； 4、他最早提出非平方數開方的近似值公式； 5、他最早提出負數的定義及加法法則； 6、他最早把比例和三數法則結合起來 (若 , 則 ) ； 7、他最早提出一次方程的定義及其完整解法； 8、他最早創造出割圓術, 計算出圓周率即「徽率」 ； 9、他最早用無窮分割法證明了圓錐體的體積公式； 10、他最早創造「重差術」, 解決了可望而不可及目標的測量問題。 經他注釋的《九章算術》影響、支配中國古代數學的發展1000餘年，成為東方數學的典範之一，在劉徽的《九章算術注》之後中國古代數學才真正形成了自己的理論體系。 同時，中外學者對《海島算經》的成就，也給予很高的評價。《海島算經》的英譯者和研究者，美國數學家弗蘭克?斯委特茲說：「直到文藝復興時期，西方測量學才差強達到《海島算經》水準。中國在數學測量學的成就，超越西方約一千年。」 因此，他的工作對中國古代數學發展產生了深遠影響，為我國古代數學的發展做出了重要的貢獻，並且在世界數學史上也確立了崇高的歷史地位。當代數學史學家李迪說：「劉徽是中國歷史上最偉大的數學家
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