【雜談】探秘時間晶體

08-11

【雜談】探秘時間晶體

來自專欄圓圓若明月139 人贊了文章

這兩天實驗室的成功學弟問了我幾個關於時間晶體的問題，有很多細節我已經忘掉了，結合五月份的筆記簡單總結一下。趁著等待我從西安回來的學弟王沛的時間，整理一下。

科普版本

探尋時間晶體?

mp.weixin.qq.com

前言：自發性對稱破缺

Definition 1.1 自發性對稱破缺

自發對稱破缺（spontaneous symmetry breaking）是某些物理系統實現對稱性的模式。當物理系統所遵守的物理規律具有某種對稱性，而物理系統本身並不具有這種對稱性，則稱此現象為自發對稱破缺。

從量子力學的角度來看，系統中最為關鍵的就是系統的Hamiltonian、態矢量與可觀測量算符。

$hat{H}$ 具有對稱性，觀測量不一定體現對稱性，還要看 $|varphi angle$ 是否具有對稱性,若 $UHU^dagger=H,,U|varphi angle=|varphi angle$ 稱為嚴格的對稱性，若 $UHU^dagger e H$ 稱為對稱性明顯破缺，若 $UHU^dagger=H,,U|varphi angle e |varphi angle$ 稱為對稱性自發破缺。

一個在力學中的例子是

若小球位於瓶底突起頂部的中心位置，顯然體系具有轉動對稱性，然而這並不是體系的能量基態，一個小的擾動就會使小球滾落到勢能最低處，此時為基態，但體系處於基態時候，不再具有轉動對稱性。

在量子場論中，對稱性自發破缺的定義是：儘管體系的拉氏密度 $mathcal{L}$ 具有對稱性，但體系的基態(真空態)是不對稱的。

任何粒子都是對應場的量子，場的基態(又稱真空態)是能量最低的態。有些場，能量最低態對應場的平均值為零；有些場，能量最低態對應場的平均值不為0。

一旦根據物理理解確定了真空態，如 $phi=phi_+$ 。形象的，放了一個小球在 $phi_+$ 處，體系就不再具有對稱性。

Theorem 1.1 Goldstone定理

如果某種連續整體對稱性自發破缺，則一定對應存在零質量的玻色子，稱為Goldstone粒子。

Definition 1.2 Higgs 機制

連續規範對稱性的?發破缺，零質量規範場將獲得質量。

Higgs機制解釋了質量的賦予機制，也可以用於解釋超導、超流等現象。

第一階段：量子時間晶體

晶體是一種典型的對稱性自發破缺的例子，其破缺了空間連續平移對稱性，轉而以晶格的離散平移對稱性（只能按晶格常數的整數倍平移），由於Goldstein定理，連續對稱性自發破缺產生無能隙的Goldstone mode，這就是聲子的起源。

但是另外一方面，Einstein的狹義相對論告訴我們，時間和空間結合起來形成為四維時空，這樣看來，似乎沒有道理不能形成一個時間維度上的晶體，這就是時間晶體最初的想法。Wilczek在2012的一篇文章《Quantum Time Crystals》中詳細論證了它。

Wilczek

首先我們考慮一個問題，什麼是真正的基態？

顯然的，在通常的定義下，基態就是系統能量最低的本徵態。在這種情況下，考慮一個可觀測量 $mathcal{O}(t)$ 的導數

$langle Psi|dot{mathcal{O}}|Psi angle=-ilangle Psi|[mathcal{O},H]|Psi angle$

在基態（作為一個本徵態），顯然有

$langle Psi|[mathcal{O},H]|Psi angle=langlePsi|mathcal{O}H-Hmathcal{O}|Psi angle=0$

即可觀測量的時間導數在基態下是不變的，即基態自身是不發生任何改變。這樣的情況下，還談什麼能隨時間周期變換的時間晶體呢？

事情沒有那麼簡單，我們考慮一個旋轉的帶電粒子環，在磁場下Lagrangian會出現角坐標 $phi$ 的時間一階導數（參見知乎問題）

$L=dfrac{1}{2}dot{phi}^2+alpha dot{phi}$

廣義動量 $pi_phi$ 為

$pi_phi=dot{phi}+alpha$

Hamiltonian為

$H=dfrac{1}{2}(pi_phi-alpha)^2$

根據Heisenberg對易關係，很容易猜測動量算符的形式為

$pi_phi=-ipartial_phi$

考慮角變數的周期性邊界條件，自然地將出現系統本徵態的形式 $|l angle=e^{ilphi}$ ，其中 $l$ 是整數，因此，對於這些態，有

$langle l|dot{phi}|l angle=l-alpha$

$langle l|H|l angle=dfrac{1}{2}(l-alpha)^2$

對於能量最低態，一定要求 $(l_0-alpha)$ 的值最小，但是如果 $alpha$ 的值不是一個整數,那麼將會發生一件驚人的事情，這個系統的基態動量 $pi_phi$ 不為 $0$ ！基態是運動的，這就與我們之前所討論的相矛盾了。這個事情起源於 $phi$ 自身是個多值函數，比如考慮構造單值函數算符 $mathcal{O}=e^{ikphi}$ ，系統的動量依然為 $0$ .

但是這個起碼告訴我們一個事情，基態的定義並不顯然，必要有更深的推敲。Wilczek在一段論述得到結論：一個系統的基態除了能量最低原則，還需要可觀測性。

此後Wilczek提出了一個孤子模型，考察有相互作用的 $N$ 粒子排列成的圓環，其間距為 $a$ ，Hamiltonian寫作

$H=sum_{j}dfrac{1}{2}(pi_j-alpha)^2-dfrac{lambda}{N-1} sum_{j e k}delta(phi_j-phi_k)$

在平均場近似下，我們得到了單粒子的Schroedinger方程

$dfrac{1}{2}dfrac{partial psi}{partial t}=dfrac{1}{2}(pi_phi-alpha)^2 psi -lambda|psi|^2psi$

先考慮 $alpha=0$ 的情況，做變換 $psi(phi,t)=e^{-ivarepsilon t}psi_0(phi+eta)$ , $psi_0(phi)=r ext{dn}(rsqrt{lambda}phi,k^2)$ ， $varepsilon=-r^2lambda(1-dfrac{k^2}{2})$ ，解出來的波函數是這樣的一坨東西：

其中 $ext{dn}$ 是JocabiDN函數，本身就是一種擬周期函數。

在 $alpha e 0$ 的情況下，令 $psi_l(phi,t)=e^{-ilphi} ilde{psi}_l(phi+(l+alpha)t,t)$ ，將原Schroedinger方程化為

$ifrac{partial ilde{psi}}{partial t}=frac{1}{2}(-ipartial_phi)^2 ilde{psi}-lambda| ilde{psi}|^2 ilde{psi}+frac{(l+alpha)^2}{2} ilde{psi}$

這就是最終粒子所滿足的波函數的方程。

簡單的說，Wilczek的量子時間晶體就是一類在基態下自發性時間對稱破缺的，永不停止的、具有周期的系統，因為它在時間上具有周期性，故名量子時間晶體。

第二階段：從非平衡態到Floquet系統的離散時間晶體

然而，Wilczek這位由於QCD漸進自由屬性獲得2004年Nobel物理學獎大佬，被人懟了。

Watanabe和Oshikawa兩位來自日本的物理學家，在2015年在arxiv上掛上了自己的論證過程《Absence of Quantum Time Crystals》，與此同時，Patrick Bruno提出了時間晶體的NO-GO Theorem。他們的論述表明了一點：熱力學平衡態中，Wilcezk的時間晶體無法形成。

Watanabe和Oshikawa認為，時間晶體如果真的是一個真正意義上的「晶體」，它必定具有長程有序的特性（晶體的普遍特性）。而且，由於日常的晶體是處於熱力學平衡態的，所以他們從平衡態開始論證，定義局域序參量 $hat{phi}(vec{x},t)$ ，長程有序的特性告訴我們，必有有

$lim_{V oinfty}langle hat{phi}(vec{x},t) hat{phi}(vec{x},0) angle o sigma^2 e 0$

另外一種等價的形式是，將序參量在空間內積分，以描述空間內的整體性質

$hat{Phi}=int_V d^d x hat{phi}(vec{x},0)$

則上述規則等價於

$lim_{V o infty}langle hat{Phi}^2 angle/V^2 o sigma^2 e 0$

於是定義關聯函數 $lim_{V oinfty}langle hat{phi}(vec{x},t) hat{phi}(vec{x},0) angle o f(vec{x}-vec{x})$

那麼對於時間維度就有

$lim_{V o infty}langle hat{phi}(vec{x},t) hat{phi}(0,0) angle o f(t)\$

或者寫為

$lim_{V oinfty} langle e^{ihat{H}t}hat{Phi}e^{-ihat{H}t}hat{Phi} angle/V^2=f(t)$

其中 $f(t)$ 是非平庸的周期函數，如果這個條件強一點，就能夠形成時空晶體

$lim_{V oinfty} langle e^{ihat{H}t}hat{Phi}_{vec{G}}e^{-ihat{H}t}hat{Phi}_{vec{G}} angle/V^2=f(t)_{vec{G}}$

即關聯函數 $f(t)_{vec{G}}$ 同時是時間和空間的周期函數。

時間上的長程關聯函數

Watanabe和Oshikawa證明了，在有限溫度下，在熱力學極限 $V o infty$ ，關聯函數 $f(t)$ 將會變為有限常數，因此，時間晶體在平衡態下不成立。

然而以上的論證是在正則系綜中做的，在巨正則系綜（允許粒子流的存在）中，他們證明了關聯函數與系統的化學勢有關

$f(t)=f_mu e^{-iqmu t}$

因此在非平衡態下，時間晶體是可能成立的。

這一構想終於在Dominic V. Else等人手中實現，他們提出了Floquet Time Crystals，隨後又被稱為Discrete Time Crystals（離散時間晶體），並最終稱為了能被實驗驗證的時間晶體版本。

首先我們要提這個Floquet系統，Floquet系統是一類動力學系統的稱呼，起源於數學家Floquet對一類微分方程的研究

$dot{x}=A(t)x$

其中 $A(t)$ 是一類周期為 $T$ 的連續性周期函數，Floquet證明了，這種方程具有一種正規形式它給定了一變換 $y=Q^{-1}(t)x$ ，其中 ${displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$ ，用以來轉變周期至有常數及實係數的傳統線性系統。它的一種三維推廣是Bloch定理。

對於量子Floquet系統，可以證明未來的解具有所謂Floquet模式的性質，即

$Phi_{alpha}(x,t)=Phi(x,t)exp(inomega t)=Phi_{alpha n}(x,t)$

具有相鄰的准能級結構 $varepsilon_alpha ovarepsilon_alpha=varepsilon_alpha +nhbar omega$

Floquet系統中的時間晶體

這一現象在2016年下半年被N. Y. Yao以及其合作者Monroe在鐿離子阱中實現，他們將其稱為離散時間晶體（Discrete Time Crystal）。

離散時間晶體，1609.08684

實際上，這個時候的時間晶體理論，已經與Wilzeck最初所構想大有不同了，但是物理學的軌跡正是這樣，一個最初的構想，可能和你最後做出來的完全不一樣。這也是物理迷人的一點。

另一條道路：經典時間晶體

與量子時間晶體一同推出來的，還有一種途徑，稱為經典時間晶體。

經典時間晶體是指在基態下依然保有運動的不含時經典系統，Wilzeck的學生Alfred Shapere和Wilzeck通過類比空間晶體，構造出來了它的Hamiltonian。

通過自發性對稱破缺，可以構造這樣的依賴於角坐標 $phi$ 的勢能

$V_1(phi)=-kappa_1 dfrac{dphi}{dx}+dfrac{lambda_1}{2}(dfrac{dphi}{dx})^2$

$V_2(phi)=-kappa_2 (dfrac{dphi}{dx})^2+lambda_2 (dfrac{dphi}{dx})^4$

現在我們將空間導數替換為時間導數，可以構造出如下的Lagrangian

$L_1(phi,dot{phi})=-kappa_1 dot{phi}+dfrac{lambda_1}{2}dot{phi}^2$

$L_2(phi,dot{phi})=-dfrac{kappa_2}{2} dot{phi}^2+dfrac{lambda_2}{4}dot{phi}^4$

由於Lagrangian不含時，可以構造能量函數。

$E_1(phi,dot{phi})=dfrac{lambda_1}{2}dot{phi}^2$

$E_2(phi,dot{phi})=-dfrac{kappa_2}{2}dot{phi}^2+dfrac{3lambda_2}{4}dot{phi}^4$

Classical Time Crystal Hamiltonian

這樣系統的Hamiltonian是有奇點的，可以看到，動量 $p$ 為 $0$ 的時候能量並非最小，系統能量最低的基態，具有動量，我們又得到了基態在運動的系統。

可這種運動究竟是什麼樣的呢？

在Wilzeck和Shapere在2017年的文章《Realization of 「Time Crystal」 Lagrangians and Emergent Sisyphus Dynamics》中，他們模擬出一種Sisyphus Dynamics，即西西弗斯動力學，像神話裡面的西西弗斯王，將巨石推至山頂，而每次到達山頂後巨石又滾回山下，如此永無止境地重複下去。

Sisyphus Dynamics

後記

時間晶體真的是太有趣了。

參考文獻

[1]Classical Time Crystals, Alfred Shaper and Frank Wilczek2, arXiv:1202.2537v2.

[2]Generalized Floquet theory for open quantum systems, C. M. Dai, Hong Li, W. Wang, and X. X. Yi, arXiv:1707.05030v1.

[3]Absence of Quantum Time Crystals, Haruki Watanabe and Masaki Oshikawa, arXiv:1410.2143v3.

[4]Quantum Time Crystals, Frank Wilczek, arXiv:1202.2539v2.

[5]Floquet Time Crystals, Dominic V. Else, Bela Bauer and Chetan Nayak, arXiv:1603.08001v4.

一個令人興奮的事情是，所有「浮在空中「的事情都將隨著科學的推進而塵埃落地，在弗洛凱系統被接受的同時，非平衡的時間晶體也被獨立的證明存在。在2016 年，普林斯頓大學的一個小組與位於德國德累斯頓的馬普所複雜物理系統研究組展示了包含耗散的弗洛凱系統可以弔詭般地產生具有時間周期性的相位(Phys. Rev. Lett. 116 250401).

特别致謝給我這段靈感的OO.