拓撲相里的拓撲到底有多拓撲

08-11

拓撲相里的拓撲到底有多拓撲

來自專欄日常的數學和物理問題94 人贊了文章

熟悉我的人應該知道，許多年前我就有這個問題了：各種拓撲相、拓撲絕緣體、拓撲 $imes imes imes$ 裡面的「拓撲」究竟是什麼？那時我還是一個對數學有點興趣的物理學生，現在已經變成一個隊物理有點興趣的數學學生了。

事實上我覺得沒人會關心這種事情，至少這幾天上課聽了這麼久，並沒有人談過任何相關的事情。想來也很正常，畢竟這不是一個物理問題，沒有物理學家會關心——物理學家們用了幾百年的微積分，也沒見有人關心嚴格定義之類的事情：在不嚴格的時候大家就用得上好了，那顯然是不需要嚴格的；等到數學家們有了嚴格的定義，那當然好，但是關我什麼事呢，繼續該幹啥幹啥。（當然這兩個事情大概不完全一樣）

這段時間我也一邊（假裝）學物理一邊想這些問題，也算是有些「進展」，打算寫一寫我的想法。然而，其實我深切懷疑，其實很多事情大家早就知道了，只有我一個人不知道而已。這種尷尬的事情就類似於每一個自認為精妙的想法仔細去看其實都是多少年前別人做過的了——其實我一直有一個自認為很強大的「猜想」，但估計等到我進一步學習之後會發現，要不然有很大的問題，要不然別人早就做過了。

一、先瞎扯幾句

言歸正傳吧，來說「拓撲」是什麼。在看到 Berry phase/connection/curvature 或者 Chern number/class 這些概念後，我覺得很自然的反應就是：這裡有個（些）向量叢。這個想法我之前也說過一次：

陳數（Chern number）與卷繞數（Winding number）的區別與聯繫？?

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當然了，這個想法肯定不是我第一個想到的，至少我也見過有文章裡面出現過 vector bundle 這個詞語，還有拿 K-theory 做分類的呢，雖然我其實看不大懂。

所以說應該有人想過了，只是我沒看過而已。我聽說向量叢的想法最早是 Kitaev 就提過了，雖然我至今也不知道他究竟幹了什麼（是周期表那個事情？我不太清楚）——可能隨便想一個什麼事情，然後去問一問 Kitaev，就會發現他早就做過了。

好吧，不管怎樣，至少有一個想法了，而且看起來似乎還挺靠譜。事實上，我一直以來的想法是：每個拓撲相（或者別的什麼）會對應一個數學對象，這個數學對象的某些（拓撲，或者別的什麼）性質刻畫了原先那個系統的物理性質，因此可以用來描述/表徵原來的系統。這個想法之前我也說過一次。

那麼在這裡如何呢？

二、為啥向量叢好

為了方便，這裡再簡單重述一下這個向量叢怎麼來的。

首先有一個（連續/光滑）依賴於參數的哈密頓量 ${H(k)}_{k in M}$ 作用在某個（有限維無限維都沒什麼太大關係的）希爾伯特空間 $mathcal H$ 上，這裡 $M$ 是一個流形，比如布里淵區（環面）。如果對於每個點 $k$ 能級都是非簡併的，即 $H(k)$ 的每個本徵子空間都是一維的，記為 $mathcal H_k^{(n)}$ ，這裡上標的 $(n)$ 用來標記能級，那麼就可以把它們拿出來放到一起成為一個線叢 $mathcal E^{(n)}$ ，每一點的纖維 $mathcal E_k^{(n)} = mathcal H_k^{(n)}$ 。當然了，它們都是平凡叢 $mathcal E := M imes mathcal H$ 的子叢，並且顯然全部直和起來就是這個平凡叢。

然後，平凡叢上的平凡聯絡在這些子叢上自然誘導出了聯絡，簡單計算髮現恰好就是 Berry connection。所以順著算算曲率算算陳類什麼的都沒有問題。（當然了，對一維的要求也不是完全不需的，無非就是線叢變成 rank 更高的向量叢，只要能夠保證維數不會變就行——也就是所謂 non-Abelian Berry phase；為了方便我就只考慮線叢了）

那麼這個思路究竟在多大程度上有效呢？

通常看物理的定義，都會涉及到「絕熱地變換」這麼個事情。比如拓撲相的性質，差不多就是「在絕熱地變化哈密頓量，不關閉能隙下保持的性質」。（我似乎不會說這個，但是差不多就是這個意思吧）

於是我自然會問：如果我絕熱地變化我的哈密頓量，像上面那樣構造出來的線叢（們）會怎麼變化呢？（大概理解為，連續地變化哈密頓量，能隙始終不關閉，所以本徵子空間始終是一維的，能夠明確區分出來）

直接回答這個問題似乎不太容易，先來看一個有趣的事情。

我們考慮一下原來那個希爾伯特空間的射影化 $mathrm P(mathcal H)$ ，那麼我們所考慮的一維本徵子空間 $mathcal H_k^{(n)}$ 就是這個射影空間中的一個點。因此有一個自然的映射 $f_{(n)} : M o mathrm P(mathcal H)$ 為 $k mapsto mathcal H_k^{(n)}$ 。現在我宣稱：之前構造的線叢 $mathcal E^{(n)}$ 恰好就是 $f_{(n)}^* mathcal O(-1)$ ，這裡的 $mathcal O(-1)$ 是 $mathrm P(mathcal H)$ 上的 tautological line bundle。

為啥呢？首先 $mathcal O(-1)$ 可以看成 $mathrm P(mathcal H) imes mathcal H$ 的子集，即 ${(p , v) mid v in p}$ 。所以這個拉回叢就是 $f_{(n)}^* mathcal O(-1) = {(k , (p , v)) mid f_{(n)}(k) = p , , v in p}$ 。顯然我可以作映射 $(k , (p , v)) mapsto (k , v)$ 把它嵌入到 $M imes mathcal H$ 裡面去，為 ${(k , v) mid v in f_{(n)}(k) = mathcal H_k^{(n)}}$ ，這就是剛才構造的 $mathcal E^{(n)}$ 啊。

所以只要我認為「絕熱地變化哈密頓量」意味著「同倫地變化這些映射 $f_{(n)}$ 」，那麼得到的線叢就是同構的。換言之我大概需要連續映射 $F_{(n)} : M imes I o mathrm P(mathcal H)$ ，那麼這個事情，大概沒什麼問題，吧，即連續變化的哈密頓量其本徵子空間也是「連續變化」的。

三、一維的拓撲相

現在轉來說另外一個事情，也是最近想到的事情。上面說的向量叢的想法看起來確實很好，但是有一個致命的缺陷：一維的時候怎麼辦？畢竟，一個流形 $M$ 上複線叢的等價類與 $H^2(M ; mathbb Z)$ 一一對應（通過陳類，用指數映射的層的正合列說明），一維的時候這就是零，意味著只有平凡叢了。那麼一維的拓撲相是什麼意思？這一解釋看起來失效了。

我們考慮的哈密頓量是 $H(k) = h_x(k) cdot sigma_x + h_y(k) cdot sigma_y$ ，其中 $k in S^1 = (-pi , pi]$ 。作為例子，有 SSH model，其中 $h_x(k) = A + B cos(k)$ 而 $h_y(k) = B sin(k)$ 。

眾所周知，在 $vert A vert > vert B vert$ 和 $vert A vert < vert B vert$ 是有不同的「拓撲」的，具體可以通過計算 winding number，或者直接畫圖看。可以參考：

winding number 的計算公式是怎麼來的？?

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當然，在這個回答裡面，我也說了，這個 winding number 看起來並不是一個好的量：它似乎並不是一個內稟的刻畫什麼性質的量，這個映射的 winding number 似乎跟這個系統沒有明確的聯繫。

一個可能的聯繫是所謂的 Zaks phase，即繞著布里淵區一圈後的 Berry phase。直接計算（算一般的情況）容易發現，這個相位恰好就是積分計算 winding number 時出現的式子，不過差個 $pi$ 而已。換言之，在 winding number 是奇數或者偶數時，繞一圈出現一個 $-1$ 或者 $+1$ 的因子。

通常大家就解釋到這裡。然而，這個 phase，或者說 holonomy，雖然是一個「規範不變」的量，但卻並不是一個「拓撲」的量，因為它是依賴於具體聯絡的選取的。（比如陳類就是不依賴於聯絡的選取）這個聯絡是哪裡來的呢，是這個線叢作為一個平凡叢的子叢而誘導出來的，可以說並不是內蘊的。

（當然，也可以堅持認為我們要考慮一個整體，所以這個線叢具體是怎樣作為平凡叢的子叢也是重要的。這也是一個想法，我覺得也很有說服力，但是我下面要做一些別的事情，看起來可能更好）

四、對稱性和等變向量叢

現在我打算給一個可能的解釋，它可能有用也可能沒用，但是顯得很有趣，也很拓撲。

考慮布里淵區上的一個對稱性，或者說 $mathbb Z_2$ -作用——當然，這隻需要給出一個 involution 即可——為 $k mapsto -k$ 。因而這個群作用有兩個不動點 $k = 0 , pi$ ，我們可以把這個對稱性稱為「空間反演對稱性」。

當然這是不夠的，我們記 $P = sigma_x$ ，那麼這個哈密頓量具有「空間反演對稱性」就意味著（或者說，定義為） $P H(k) P^{-1} = H(-k)$ 。當然，為什麼要干這個事情，什麼引導我來考慮這個，這裡就不具體說了，大概是 Bernevig 講的內容和文章給了很多啟發吧。

有這個對稱性意味著 $h_x(-k) = h_x(k)$ 以及 $h_y(-k) = -h_y(k)$ ，顯然 SSH model 是滿足這個對稱性的。對稱性的顯然推論是：如果 $vert psi(k) angle$ 是 $H(k)$ 的本徵向量，那麼 $P vert psi(k) angle$ 是 $H(-k)$ 的本徵向量，且兩者有相同的本徵值。於是，這給出了一個 $mathcal H_k^{(n)} o mathcal H_{-k}^{(n)}$ 的同構。

如果放到向量叢層面上來看，這就給出了一個 $mathcal E^{(n)}$ 上的 involution，因而可以看成其上的一個 $mathbb Z_2$ -作用。更進一步，這還是一個 $mathbb Z_2$ -等變向量叢（equivariant vector bundle），即投影 $pi : mathcal E^{(n)} o M$ 與群作用是交換的。

換言之，現在的線叢已經不止是線叢了，而是擁有了新的結構；這類似於在向量空間上裝備了群作用，那麼自然可以想像，原先平凡的東西也可能裝備了不平凡的結構。

所以這裡可能有些什麼樣的等變線叢呢？記 $X$ 為 $S^1$ 裝備了 $k mapsto -k$ 的 $mathbb Z_2$ -群作用，我們首先要分類其上的 $mathbb Z_2$ -等變線叢。

第一個辦法是直接強行算，因為線叢總是平凡的，所以就看 $X imes mathbb C$ 上可能有什麼樣的等變線叢結構。經過一番不太複雜但可能有點麻煩的計算，總共只有四種。前面已經說了有兩個不動點，而易見不動點上的纖維自然有一個 $mathbb Z_2$ -表示，這有兩種可能：平凡表示和不平凡的那個表示；因此兩個不動點上一共有 $2 imes 2 = 4$ 種可能的組合。容易驗證它們都可以實現成某個等變的線叢，而且通過計算髮現這完全刻畫了 $X$ 上的等變線叢。也可以通過計算張量積來得到這個 equivariant Picard group 的結構，因為張量積在不動點上的表示顯然就是原先表示的張量積，故容易得到這個群就是 Klein group，或者說 $mathbb Z_2 imes mathbb Z_2$ 。

第二個辦法是計算 equivariant cohomology $H_G^2(X ; mathbb Z)$ ，跟普通的情況一樣，等變線叢的同構類通過 equivariant Chern class 和這個群是一一對應的（雖然我其實不太清楚這個事情）。把 $X$ 分別去掉兩個不動點得到兩個開集 $U$ 和 $V$ ，它們都是 $mathbb Z_2$ -不變的，所以直接 Mayer-Vietoris 可以得到長正合列：

$egin{CD} H_G^1(U cap V) @>>> H_G^2(X) @>>> H_G^2(U) oplus H_G^2(V) @>>> H_G^2(U cap V) end{CD}$

這裡都是整係數，簡記 $G = mathbb Z_2$ 。由於 $mathbb Z_2$ 在 $U cap V$ 上的作用是自由的，所以 $H_G^{ullet}(U cap V) cong H^{ullet}(U cap V / mathbb Z_2) cong H^{ullet}({ ext{pt}})$ ，所以兩端都是零，中間的映射是同構。而 $U$ 和 $V$ 都是等變地可縮到不動點上的，所以也就是一個點的等變上同調，即 $H^2(B mathbb Z_2 = mathbb R mathrm P^{infty}) cong mathbb Z_2$ 。故 $H_G^2(Z) cong mathbb Z_2 oplus mathbb Z_2$ ，跟上面的結果一樣。

好吧，那這跟之前的哈密頓量有什麼關係呢？上面已經看到了，這個 $mathbb Z_2$ -等變線叢的結構只需要看兩個不動點 $k = 0 , pi$ 上是什麼表示即可。換言之，比如看 $k = 0$ 這個點，如果 $vert psi angle$ 是 $H(0) = h_x(0) cdot sigma_x$ 的正本徵值的本徵態——注意對稱性要求 $h_y(0) = 0$ ——那麼應有 $sigma_x vert psi angle = pm vert psi angle$ ，這個正負號就決定了這個表示。

顯然，如果 $h_x(0) > 0$ ，這裡應該取正號；如果 $h_x(0) < 0$ ，這裡應該取負號。對於負本徵值的情況，恰好是反過來的。因此，仔細考慮兩個點的情況，容易發現只有兩種可能：如果 $h_x(0)$ 和 $h_x(pi)$ 同號，那麼得到的兩個線叢，其中一個是兩個點都是平凡表示，另外一個是兩個點都是非平凡表示；如果異號，那麼得到的兩個線叢都是一個點平凡表示一個點非平凡表示，但它們恰好不同。

當然了，這兩種情況直和起來都是相同的「平凡」等變向量叢，群作用就是由 $P = sigma_x$ 給出來的。簡單看一看第一等變陳類 $c_1^G$ ，它也只有上述兩種分解。

於是到這裡就非常「拓撲」地說明了這兩個相的「拓撲」到底哪裡不一樣：它們對應的 $mathbb Z_2$ -equivariant line bundles 確實就是不一樣。跟原來的情況類似，我們可以用 equivariant Chern class 來區別它們——唯一的問題是這裡似乎沒法用一個數來表示了。

好的，那麼這和之前的 winding number 有什麼關係呢？我們已經看到了這兩個相完全由 $h_x(0)$ 和 $h_x(pi)$ 的符號是否相同來決定，然而這就是那個 winding number 的奇偶性。回憶 winding number 的奇偶性其實就是某個映射的 mapping degree modulo $2$ ——之前的某個回答有說到過——然後我們假定 $1$ 或者 $-1$ 是 regular value，那麼只需要看它們的原像的數目的奇偶性即可。由於有對稱性，所以 $k$ 被映到 $1$ 或者 $-1$ 當且僅當 $-k$ 被映到 $1$ 或者 $-1$ ，所以對 $k eq 0 , pi$ 來說，就完全沒有貢獻，都被抵消了。所以這個奇偶性就看 $0$ 和 $pi$ 被映到 $1$ 還是 $-1$ ，因此結論是：如果它們符號相同，那麼這個 mapping degree modulo $2$ 就是零，反之就是一。

這就完全解釋了以前的「拓撲判據」在我現在的體系中是什麼情況。

五、最後再扯幾句

這篇文章大概說了兩件事：一是向量叢這種想法跟原先物理的定義是否相符合，看起來似乎還行；二是向量叢這個想法有時候還不足夠，也許要加一點對稱性考慮 equivariant 的情況，比如一維的時候就似乎解釋得還不錯。

然而不管怎樣吹得天花亂墜都不能改變一件事：這其實沒啥用。說到底這還是自娛自樂的一個玩具，沒什麼實用性。

不過還有很多可以玩的：比如 Kane-Mele index 那個 $mathbb Z_2$ 的到底是啥？（說到 $mathbb Z_2$ 那大概會猜是 Stiefel-Whitney class，但這裡不是實向量叢；裡面出現了 Pfaffian，大概會猜跟 Euler class 有關，但仍然不是實的，並且似乎也不 $mathbb Z_2$ 了）再比如，time reversal 又是怎麼回事？（最大的問題是它是 anti-unitary 的，所以再用 equivariant bundle 來看就有些奇怪了；不過也許可以當成實向量叢，那麼前面的猜測大概可以用）

總之，看起來還有很多有趣的事情。