【一】量子信息基礎

08-11

【一】量子信息基礎

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本專欄著力簡單介紹量子信息，量子糾錯的有關原理，

並使用IBM Q實現一些基礎的量子計算。

參考文獻：

Quantum Information Meets Quantum Matter

Bei Zeng, Xie Chen, Duan-Lu Zhou,Xiao-Gang Wen，arXiv: 1508.02595v4.

Quantum Computation and Quantum Information

Michael A.Nielsen, Isaac L. Chuang.

1.基礎知識

Definition 量子比特

普遍的來說，任何量子比特可以表示為

$|psi angle =alpha|0 angle+eta|1 angle$

其中 $alpha,eta$ 為復係數，並且兩者滿足 $|alpha|^2+|eta|^2=1$ ，由於絕對相位的不可觀測性，我們一般引入相對相位 $varphi$ ，將上式寫為

$|psi angle=cos(frac{ heta}{2})|0 angle+sin(frac{ heta}{2})e^{ivarphi}|1 angle$

量子比特可以表示在Bloch球上。

Definition 密度矩陣

密度算符（density operator）與其對應的密度矩陣（density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態矢量 $displaystyle |psi angle$ 來描述的量子態，混合態則是由幾種純態依照統計概率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 $|psi_i angle$ 的概率分別為 $p_i$ 則這混合態量子系統的密度算符 $displaystyle ho$ 為

$ho=sum_i p_i |psi_i anglelangle psi_i|$

密度矩陣有以下性質：

密度算符是自伴算符: $ho = ho ^{{dagger }}$ .
密度算符的跡數為1: ${displaystyle {hbox{tr}}( ho )=1}$ .
實驗測量可觀察量 $A$ 獲得的期望值為 ${displaystyle langle A angle ={hbox{tr}}(A ho )}$ .
密度算符是非負算符： ${displaystyle 0leq langle phi | ho |phi angle leq 1}$ .
若密度算符平方的 ${hbox{tr}}( ho^2 )=1$ ，則系統為一純態；若密度算符平方的跡 ${hbox{tr}}( ho^2 )<1$ ，則系統為一混合態。

對於一個二維Hilbert空間，規定Pauli操作 $X,Y,Z$ 與單位矩陣 $I$ ，其中

$vec{sigma}=(sigma_x,sigma_y,sigma_z)=(X,Y,Z)$

則這個Hilbert空間一個普遍的量子態 $ho$ 可以寫成

$ho=dfrac{I+vec{r}cdot vec{sigma}}{2}$

其中 $vec{r}=(r_x,r_y,r_z)$ 並且 $r_x^2+r_y^2+r_z^2 leq1$ ，事實上這就是單量子Tomography的基礎。

Definition 複合系統

複合系統的Hilbert空間是其所有子系統的Hilbert空間的張量積。

對於兩個維度分別為 $d_A,d_B$ 的子系統 $A,B$ ，其Hilbert空間分別為 $mathcal{H}_A, mathcal{H}_B$ ，假設其中各自一組正交完備集為

${|i_A angle}:i=0,1,dots,d_A-1, {|m_B angle}:i=0,1,dots,d_B-1$ ，則兩體複合系統的Hilbert空間為 $mathcal{H}_Aotimesmathcal{H}_B$ 。這個空間中任意一個純態 $|psi_{AB} angle in mathcal{H}_Aotimesmathcal{H}_B$ 可以寫成

$|psi_{AB} angle =sum_{im}c_{im}|i_A angle|m_B angle.$

Example 兩體兩維繫統

令二維Hilbert空間 $mathcal{H}_A,mathcal{H}_B$ 具有各自的正交完備基 ${|0 angle_A,|1 angle_A},{|0 angle_B,|1 angle_B}$ , $mathcal{H}_Aotimes mathcal{H}_B$ 的一組正交基可以寫成

${|00 angle,|01 angle,|10 angle,|11 angle}$

因此，任意一個此空間中的量子態可以寫成

$|psi_{AB} angle=c_{00}|00 angle+c_{01}|01 angle+c_{10}|10 angle+c_{11}|11 angle$

Definition N-qubit計算基底

對於N-qubit的系統，一共 $2^N$ 個以長為 $N$ 二進位字元串的標記的基底 ${|x_N x_{N-1} dots x_1 angle}$ ，其中 $x_i in {0,1}$ 。這組 N-qubit的系統Hilbert空間的基底稱為計算基底（Computational basis）。

事實上，在許多情況下，我們可觀測的系統僅有整個量子系統之中的一個子系統，這就要引入約化密度算符，其對應的數學操作為矩陣的偏跡，這套理論是Dirac在1930年提出的。

Definition 約化密度算符

對於系統 $A,B$ ，其密度矩陣分別為 $ho_A, ho_B$ ，若已知Hilbert空間中的態矢量 $|psi_{AB} angle$ ，則可以得到系統 $A,B$ 的密度矩陣

$egin{aligned} & ho_A=tr_B |psi_{AB} anglelanglepsi_{AB}|=sum_ilangle m_B|psi_{AB} anglelanglepsi_{AB}|m_B angle=sum_i c_{im}c^*_{in}|i_A anglelangle j_A|\ & ho_B=tr_A |psi_{AB} anglelanglepsi_{AB}|=sum_ilangle i_A|psi_{AB} anglelanglepsi_{AB}|i_A angle=sum_i c_{im}c^*_{in}|m_B anglelangle n_B| end{aligned}$

2. 經典概率論中的關聯

一個約定：對於系統裡面僅有兩個獨立事件A和B，我們習慣性的用兩個人觀測的結果來代替，這兩個人有約定成俗的名字，Alice和Bob。

假定Alice的觀測的所有結果（樣本空間）為 $Omega$ ，其中包含 $d_A$ 種可能，即

$Omega={omega_i,i=0,1,dots,d_A-1}$

同理定義Bob的觀測的所有結果為 $Lambda$ ，其中包含 $d_B$ 種可能，即

$Lambda={lambda_i,i=0,1,dots,d_B-1}$

那麼整體的樣本空間就是 $Omega 與 Lambda$ 的積，記為 $Omega imes Lambda$ ，包含 $d_Ad_B$ 種可能

$Omega imes Lambda={(omega_i,lambda_m),i=0,1,dots,d_A-1,m=0,1,dots,d_B-1}$

聯合概率分布滿足

$p_{AB}(omega_i,lambda_m)geq0;$

$sum^{d_A-1}_{i=0}sum^{d_B-1}_{m=0}p_{AB}(omega_i,lambda_m)=1.$

且滿足

$p_A(omega_i)=sum^{d_B-1}_{m=0}p_{AB}(omega_i,lambda_m)；$

$p_B(omega_i)=sum^{d_A-1}_{m=0}p_{AB}(omega_i,lambda_m).$

並定義條件概率分布

對於Bob觀測到 $lambda_m$ 的情況，Alice觀測到 $omega_i$ 的概率為

$p_{A|B}(omega_i,lambda_m)=dfrac{p_{AB}(omega_i,lambda_m)}{p_B(lambda_m)}$

對於無關聯情況下的聯合概率分布，以下幾個命題是等價的：

Bob的觀測結果與Alice的觀測結果無關
Alice的觀測結果與Bob的觀測結果無關
聯合概率分布等於Alice與Bob觀測的概率分布的乘積，即

$p_{AB}(omega_i,lambda_m)=p_A(omega_i)p_B(lambda_m),forall i,m ;$

Dinfiniton 關聯函數

首先定義期望

$E(X)=sum^{d_A-1}_{i=0}p_A(omega_i)X(omega_i)$

以及聯合期望

$E(X,Y)=sum_{yin Y}sum_{xin X}p(x,y)xy$

系統的關聯函數定義為

$C(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)$

註：在相變——重整化群理論中，我們也曾經引入關聯函數

$g(i,j)=langle O_iO_j angle-langle O_i anglelangle O_j angle$

顯然的，對於無關聯的系統

$C(X,Y)=0$

Definition Shannon』s Entropy

熵是對隨機變數的比特量和順次發生概率相乘再總和的數學期望，即

$H(X,Y)=-sum_{xin X}sum_{yin Y} p(x,y)log p(x,y);$

一般常用的概念還有交互信息，

$I(X:Y)=sum_{yin Y}sum_{xin X}p(x,y)logigg{(}dfrac{p(x,y)}{p(x)p(y)}igg{)}$

可以看出，其兩者具有關係：

$egin{aligned}I(X:Y) &=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\ &=H(X)-H(X|Y)\ &=H(Y)-H(Y|X)\ &=H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)end{aligned}$

3.量子糾纏

Definition Schmidt分解

對於兩子系統構成系統，其純態可以表為

$|psi_{AB} angle=sum_{i=1}^{n_s}sqrt{lambda_i}|varphi_{i_A} angle|phi_{i_B} angle$

其中 $lambda_i>0$ ， $sum_ilambda_i=1$ ， $n_sleq min(d_A,d_B)$ ，且 $lambda varphi_{i_A}|varphi_{j_A} angle=langle phi_{j_B}|psi_{i_B} angle=0$ . $n_s$ 稱為Schmidt數。

我們可以定義關聯投影測量

$P_{i_A,m_B}=|varphi_{i_A} anglelanglevarphi_{i_A}|otimes |phi_{m_B} anglelanglephi_{m_B}|$

它能返回一個關聯分布

$p_{AB}(i,m)=langlepsi_{AB}|P_{i_A,m_B}|psi_{AB} angle.$

此時兩子系統 $A,B$ 可觀測量 $hat{O}$ 的關聯函數定義為

$C(O_A,O_B)=langle O_A otimes O_B angle-langle O_Aotimes I_B anglelangle I_Aotimes O_B angle$

Definition 兩系統無關聯純態

一個系統 $|psi_{AB} angle$ 是無關聯的，當且僅當

$|psi_{AB} angle=|psi_A angle otimes |psi_B angle$
對於任意的可觀測量 $O_A,O_B$ ， $C(O_A,O_B)=0$

其中我們將 $|psi_{AB} angle=|psi_A angle otimes |psi_B angle$ 稱為直積態。

Definition 可分離態

一個系統 $ho_{AB}$ 是可分離態，當且僅當

$ho_{AB}=sum_i p_i|varphi_{i_A} anglelanglevarphi_{i_A}|otimes|phi_{i_B} anglelanglephi_{i_B}|$

其他的，都被稱為糾纏態。

Theorem CHSH不等式

CHSH不等式是Bell不等式的推廣。

考慮兩子系統 $A,B$ 構成的系統， $a,c$ 為對系統 $A$ 局部測量的結果，其值可能為 $pm1$ ， $b,d$ 為對系統 $B$ 局部測量的結果，其值可能為 $pm1$ 。對於經典隨機變數，有

$v(a)v(b)+v(a)v(d)+v(c)v(b)-v(c)v(d)=pm2$

其中 $v(x)$ 是隨機變數的值，是 $pm1$ 中的一個。CHSH不等式定義為

$|langle ab angle +langle ad angle+ langle cb angle- langle cd angle |leq 2sqrt{2}$

對於量子系統，令 $a,b,c,d$ 為Bloch球上一單位矢量，測量其投影有

$egin{aligned} &|langlesigma_A mathbf{n}_asigma_B mathbf{n}_b angle+langlesigma_A mathbf{n}_asigma_B mathbf{n}_d angle+langlesigma_A mathbf{n}_csigma_B mathbf{n}_b angle-langlesigma_A mathbf{n}_csigma_B mathbf{n}_d angle\ &leq sqrt{2(|mathbf{n}_b+mathbf{n}_d|^2-|mathbf{n}_b-mathbf{n}_d|^2)}\ &leq 2sqrt{2} end{aligned}$