規範場的Faddev-Popov量子化

08-11

規範場的Faddev-Popov量子化

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這篇文章寫給了解一些正則形式的量子場論和一點點路徑積分、但是還不知道規範場是如何量子化的同學。這篇文章唯一的目的就是完全從物理的角度詳細地講講Faddev-Popov量子化方法，所以有些地方甚至會走入技術細節。但是詳細地了解一下技術細節也沒什麼不好。Faddev-Popov量子化算是比較基本的形式化的技巧，在規範場論做量子化的時候、弦論中將世界面上的度規固定成unit gauge或者conformal gauge的時候都用到了這個技巧。一般來說，當有冗餘的對稱性的時候，我們就會採取Faddev-Popov方法來固定一種情形。

（這篇文章可能很無趣。我寫這篇文章的motivation是，我後面想介紹一下閉弦的單圈振幅。如果想不藉助共形場論、modular transformation、Riemann-Roch定理等一堆結論並且講得形象一點的話，就得從點粒子的單圈出發，然後過渡到弦的單圈。點粒子的結果的推導需要用到Faddev-Popov方法來做規範固定。）

這裡為了簡便，就考慮電磁場。非阿貝爾規範場中自由場的部分和這裡類似，不同的地方會在最後的comments里指出。度規還是約定為(+1, -1, -1, -1).

一個自由的規範場的路徑積分為

$intmathcal{D}Aexp{imathcal{S}}=intmathcal{D}Aexp{iint d^4x-frac{1}{4}F^{mu u}F_{mu u}}$

其中 $F_{mu u}=partial_{mu}A_{ u}-partial_{ u}A_{mu}$ 是電磁場的場強張量。積分 $int mathcal{D}A$ 表示對所有的矢量場 $A^{mu}$ 的構型（configuration）進行求和，每一種構型的權重為經典作用量。注意，這裡的求和包含了不滿足經典運動方程的那些場。這些不滿足經典運動方程的場可以理解成量子效應。也就是說，我們把所有的可能的量子漲落按照一定的權重加起來。

我們先來看看，為什麼na?ve的路徑積分失效了。

自由的電磁場的作用量

$mathcal{S}=int d^4x -frac{1}{4}F^{mu u}F_{mu u}=int d^4x-frac{1}{2}(partial_{mu}A_{ u}partial^{mu}A^{ u}-partial_{mu}A_{ u}partial^{ u}A^{mu})$

進行分部積分，得到

$mathcal{S}=int d^4 xfrac{1}{2}A_{mu}(partial^2g^{mu u}-partial^{mu}partial^{ u})A_{ u}.$

這裡對規範場做Fourier變換

$A_{mu}(x)=int d^4 A_{mu}(k)e^{-ikcdot x},$

（這裡為了公式寫起來方便，我就不把Fourier係數寫成 $ilde{A}_{mu}(k)$ 了。那樣實在是太麻煩了。）由於規範場是實的，所以我們有額外的限制

$A_{mu}^{*}(x)=A_{mu}(x) ightarrow A_{mu}^{*}(-k)=A_{mu}(k) .$

這個Fourier變換將作用量變為

$egin{aligned} mathcal{S}&=int frac{d^4k}{(2pi)4}int frac{d^4p}{(2pi)4}int d^4x frac{1}{2}A_{mu}(k)e^{-ikcdot x}(-p^2g^{mu u}+p^{mu}p^{ u})A_{ u}e^{-ipcdot x}\ &=int frac{d^4p d^4k}{(2pi)^4}delta^4(p+k)frac{1}{2}A_mu(k)(-p^2g^{mu u}+p^{mu}p^{ u})A_{ u}(p)\ &=int frac{d^4k}{(2pi)^4}frac{1}{2}A_mu(k)(-k^2g^{mu u}+k^{mu}k^{ u})A_{ u}(-k)\&=int frac{d^4k}{(2pi)^4}frac{1}{2}A_mu(k)(-k^2g^{mu u}+k^{mu}k^{ u})A^{*}_{ u}(k)end{aligned}$

我們可以把這個式子看成一個離散的求和

$sum_{k}A_{mu,k}B_{kk}^{mu u}A^{*}_{ u,k}$

其中

$B^{mu u}_{kk}=frac{1}{2}(-k^2g^{mu u}+k^{mu}k^{ u})$

於是中間的那一堆可以看成是一個對角矩陣的 $kk$ 分量。在計算自由場的傳播子(兩點關聯函數)的時候，我們需要用到這個「矩陣」的逆。但是，這個矩陣並不是可逆的：當規範場是一個pure gauge term，即 $A_{mu}(k)propto k_{mu}$ 時， $k_{mu}(k^2g^{mu u}-k^{mu}k^{ u})=0$ . 這說明這個對角矩陣作用到這個態上的本徵值是0，從而這個矩陣的一些對角元是0。有對角元是0的對角矩陣當然是不可逆的了。這就產生了問題。

（把作用量寫成

$mathcal{S}=int frac{d^4k}{(2pi)^4}frac{1}{2}(-k^2g^{mu u}+k^{mu}k^{ u})left(Re A_{mu}(k)Re A_{ u}(k)+ImA_{mu}(k)Im A_{ u}(k) ight)$

的形式，更容易看出這個無窮維矩陣是個對角矩陣。）

還有另一個角度，也可以看到這個積分出了問題。pure gauge term會讓作用量為0，從而路徑積分中的權重因子 $exp{{imathcal{S}}}$ 為+1。另一方面，規範變換 $A_{mu}(x) ightarrow A_{mu}(x)-ipartial_{mu}alpha(x)$ 在動量空間的對應為 $A_{mu}(p) ightarrow A_{mu}(p)+p_{mu}alpha(p)$ , 可見這個規範變換把pure gauge term變成pure gauge term。由於規範變換的存在，我們在路徑積分中，對所有可能的 $A_{mu}(p)$ 求和時，會無窮多次地把pure gauge term的貢獻加進來，從而發散。這個發散和真空漲落造成的發散不一樣。真空圖的發散並不是真發散：我們把所有真空圖都加起來，它們就會變成一個指數因子，從而不是真正的發散（這個可以參考Peskin的4.4節，尤其是(4.51)和(4.52)之間的部分）；但是這一項它就是發散的，造成發散的原因是我們把同一種物理構型（physical configuration）加了無窮多次。（出現這種情況的原因是，規範變換不改變物理構型，但是會改變規範場。這導致我們對所有的規範場求和的時候把同一種物理構型加了無窮次。）

事實上，第二種角度已經提供了解決這個問題的辦法。我們只要固定了規範，只加不能通過規範變換聯繫起來的那些規範場就行了。整個路徑積分就會變成一個在某種特定規範上的積分再乘上對規範選擇的積分——後者對於物理體系沒有影響，所以肯定是一個發散的因子。這樣我們就把發散的因子抽取出來了。

（這個思想和Lebesgue積分很像。原先的路徑積分是Riemann積分，不管三七二四一，遇到什麼加什麼；我們想做的是把路徑積分變成一個類似Lebesgue的積分，先把同一數值（這裡「同一數值」就是「滿足同一規範」）的抽出來加起來，再去加別的。）

我們首先要做的就是進行規範固定。常用的規範是Lorentz規範 $partial_{mu}A^{mu}=0$ . 我們將這個規範記成 $partial_{mu}A^{mu,alpha}:=G(A^{alpha})$ ，其中 $A^{mu,alpha}$ 表示的是對應不同的物理構型的場 $A^{mu}$ 的規範變換 $A^{mu}+frac{1}{e}partial^{mu}alpha$ 。向路徑積分中插入一個 $delta$ 函數

$1=int mathcal{D}G(A^{alpha})delta (G(A^{alpha}))=int mathcal{D}alpha(x)frac{delta G(A^{alpha})}{delta alpha}delta (G(A^{alpha}))=int mathcal{D}alpha(x)detleft(frac{delta G(A^{alpha})}{delta alpha} ight)delta (G(A^{alpha}))$

其中變數變換帶來的雅克比行列式形式上可以寫為

$detleft(frac{delta G(A^{alpha})}{delta alpha} ight)=detleft(frac{delta(partial_{mu}A^{mu}+(1/e)partial^2alpha)}{deltaalpha} ight)=det(frac{1}{e}partial^2),$

可見其真的與 $alpha(x)$ 的選取無關，於是可以作為常數提到積分外面去。原路徑積分變為

$detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A^{alpha})).$

對積分變數 $A^{mu}$ 做一次平移 $A^{mu}(x) ightarrow A^{mu}(x)+frac{1}{e}partial^{mu}alpha(x)$ , 積分測度和作用量在這個平移下不變，上式變為

$detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A)).$

算到這一步，雖然得到的形式已經相當好看了，但是我們不會算這個形式的積分。我們唯一會處理的只有指數上是二次型的積分。所以我們這裡要用一個技巧，將不滿足這個規範的部分重新引入（這樣就得到了一個二次型）。

我們選取一個新的規範 $partial_{mu}A^{mu}=omega(x)$ , 其中 $omega(x)$ 是一個任意的實函數，但是不依賴於 $alpha(x)$ . 顯然我們可以用這個新的規範重複上面的推導。這表明，

$detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A))=detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A)-omega(x)).$

更進一步，我們可以得到

$egin{aligned} &detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A))\ =&Cdetleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A))+(1-C)detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A)-omega(x)). end{aligned}$

其中第二行可以理解成一個概率分布：一個只在 $G=0$ 和 $G=omega$ 處不為0，在其他地方都為0的分布。在這種理解下，上式又可以寫成

$egin{aligned} &detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A))\ =&detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aintmathcal{D}Omegaleft(Cdelta(Omega)+(1-C)delta(Omega-omega) ight)exp{imathcal{S}}delta(G(A)-Omega). end{aligned}$

事實上，我們也可以使用其他的分布

$egin{aligned} &detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A))\ =&N(xi)detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aintmathcal{D}omegaexp{-iint d^4 xfrac{omega^2}{2xi}}exp{imathcal{S}}delta(G(A)-omega). end{aligned}$

其中 $N(xi)$ 是一個歸一化常數， $xi$ 是任意的實數。這個分布 $exp{-iint d^4 xfrac{omega^2}{2xi}}$ 和正態分布很像，區別在於這裡多了一個 $i$ . 引入這個 $i$ 的目的是為了讓作用量在受到這一項的修正後，仍然是厄米的。（這些額外的常數並沒有任何影響，因為我們在算關聯函數的時候，最後都會除掉真空到真空的振幅，而這兩個常數在分子分母上都有，所以都消掉了。這一點從生成泛函的角度更容易看出來。）

我們交換積分的順序，先積掉 $omega$ ，得到

$egin{aligned} &detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{imathcal{S}}delta(G(A))\ =&N(xi)detleft(frac{1}{e}partial^{2} ight)int mathcal{D}alpha(x)int mathcal{D}Aexp{-iint d^4 xfrac{A_{mu}^2}{2xi}}exp{imathcal{S}}. end{aligned}$

可見拉氏量會受到一個修正

$mathcal{L} ightarrow-frac{1}{4}F_{mu u}F^{mu u}-frac{A_{mu}^2}{2xi}$

受到修正的作用量變為

$mathcal{S}=int d^4xfrac{1}{2}A_{mu}(partial^{2}g^{mu u}-left(1-frac{1}{xi} ight)partial^{mu}partial^{ u})A_{ u}$

此時，中間的無窮維矩陣就是可逆的了。在動量空間更容易看出這一點。做Fourier變換，中間的矩陣正比於

$p^{2}g^{mu u}-left(1-frac{1}{xi} ight)p^{mu}p^{ u}$

容易發現，這個矩陣滿足

$left[p^{2}g^{mu u}-left(1-frac{1}{xi} ight)p^{mu}p^{ u} ight]left[frac{1}{p^2}g_{mu ho}-(1-xi)frac{p_{mu}p_{ ho}}{p^2} ight]=delta_{ ho}^{ u}$

只要我們不作死地取 $xi=infty$ , 這個逆矩陣（光子傳播子）

$frac{1}{p^2}g_{mu ho}-(1-xi)frac{p_{mu}p_{ ho}}{p^2}$

就不會發散，從而不會出現問題。容易看出，當 $xi=1$ 時，傳播子有非常簡單的形式。這種取法稱為Feynman gauge.

Some Comments:

（1）非阿貝爾規範場的規範變換為

$(A^{alpha})_{mu}^k=A_{mu}^kt^{k}+frac{1}{g}(partial_{mu}alpha^k)t^k+i[alpha^kt^k, A_{mu}^lt^l]$

其中 $t^{k}$ 是規範群的生成元，[ , ]是對易子。這個規範變換依賴於規範場，所以那個行列式 $det(delta G/delta A)$ 不再是簡單的常數，從而不能提出去。解決的辦法是引入非物理的粒子（ghost field），將這個行列式再寫成對ghost field的高斯型的積分。

這些ghost fields並不會出現在最終的物理態中。這需要用BRST量子化來證明。多說一句，BRST量子化中用到了規範對稱性，所以自洽性要求規範對稱性在量子水平上不能有反常。

（2）這個操作里十分關鍵的一步就是把不滿足洛倫茲規範的場重新引入。事實上我們只會積高斯型的積分，這樣做的目的就是把積分重新變成高斯型的積分。

（3）知乎這個寫文章的功能體驗太不友好。。。昨晚都熬夜寫完了，今天早上起來發現只發出去前半部分。。。後半部分還沒存草稿。。。

更新預告：本來想下次講講點粒子的單圈和閉弦的單圈，但是我公式還沒推完。下次就改講和大統一相關的科普了。主要會講一個SO(10) SUSY GUT模型，但是真的只是科普水平，基本不會放公式，更不會明顯地用到SUSY。