洛倫茲群，龐加萊群和洛倫茲不變性

08-11

洛倫茲群，龐加萊群和洛倫茲不變性

6 人贊了文章定義四維時空坐標為 $x^{mu } (mu =0,1,2,3)$ ,其中 $x^{0}=ct$ .定義四維坐標和原點之間的時空間隔為 $x^{2}=x^{mu} x_{mu} =g_{mu u} x^{mu} x^{ u}$ 。

洛倫茲變換是四維時空坐標變換。設有坐標系 $left{ {ar{x}}^{mu} ight}$ 與 $left{ x^{mu} ight}$ ，則洛倫茲變換是一個線性齊次變換 ${ar{x}}^{mu} =Lambda_{ u}^{mu}x^{ u}$ 。利用四維間隔不變性可以推導出 $g_{mu u}Lambda^{mu}_{ ho}Lambda^{ u}_{sigma}=g_{ hosigma}$ ,其中 $g_{mu u}=diag(-1,1,1,1)$ 。而洛倫茲變換是一個四維空間正交變換，可以驗證全體洛倫茲變換構成洛倫茲群，或者稱為SO(3,1)群。洛倫茲群有一個SO(3)子群，即三維正交變換群。

由於洛倫茲群是Lie群，因此洛倫茲變換可以在恆元附近開，即對於無窮小洛倫茲變換

$Lambda^{mu}_{ u}=delta^{mu}_{ u}+deltaomega^{mu}_{ u}$

利用 $g_{mu u}Lambda^{mu}_{ ho}Lambda^{ u}_{sigma}=g_{ hosigma}$ 和上式可以得到 $deltaomega_{ hosigma}=-deltaomega_{sigma ho}$ ,即反對稱的，因此共有六個獨立的無窮小洛倫茲變換，包括三個轉動（ $deltaomega_{ij}$ ）和三個boost( $deltaomega_{i0}$ )。但是洛倫茲變換根據行列式的正負，行列式為+1的是固有洛倫茲變換，構成了洛倫茲群的一個子群。此外，所有正時洛倫茲變換（ $Lambda^{0}_{0}geq1$ ）也構成一個子群，而且由於無窮小洛倫茲變換也是正時變換，因此兩個正時洛倫茲變換的合成變換仍然是正時的。由此，全體正時固有洛倫茲變換也構成一個子群。

除此之外，定義兩個分立變換：宇稱變換 $P^{mu}_{ u}=(P^{-1})^{mu}_{ u}=diag(1,-1,-1,-1)$ 和時間反演變換 $T^{mu}_{ u}=(T^{-1})^{mu}_{ u}=diag(-1,1,1,1)$ 。其中宇稱變換是正時但不是固有的，時間反演變換既不是正時也不是固有變換。

一般的，稱一個理論是洛倫茲不變的，是指在正時固有洛倫茲變換下方程的形式不變。在量子力學中，對稱性意味Hilbert空間里內積的不變性，對應著幺正性，所以正時固有洛倫茲變換對應著一個酉運算元 $U(Lambda)$ ,並且有 $U(LambdaLambda)=U(Lambda)U(Lambda)$ 。此時對於無窮小變換，有

$U(1+deltaomega)=I+frac{i}{2hbar}deltaomega_{mu u}M^{mu u}$

其中由於 $deltaomega_{mu u}$ 的反對稱性， $M^{mu u}$ 也是指標反對稱，並且由於 $U$ 是酉運算元，因此 $M^{mu u}$ 是厄米運算元，稱為洛倫茲群的生成元。並且可以證明生成元是反對稱的，並且每個指標都獨立進行洛倫茲變換，即 $U(Lambda)^{-1}M^{mu u}U(Lambda)=Lambda^{mu}_{ ho}Lambda^{ u}_{sigma}M^{ hosigma}$ 。其實，任何一個攜帶向量指標的運算元在正時固有洛倫茲變換下行為是相似的。

令 $Lambda=1+deltaomega$ ,帶入 $U(Lambda)^{-1}M^{mu u}U(Lambda)=Lambda^{mu}_{ ho}Lambda^{ u}_{sigma}M^{ hosigma}$ ，並利用 $U(1+deltaomega)=I+frac{i}{2hbar}deltaomega_{mu u}M^{mu u}$ 即可證明生成元對易關係