數學魔術：難倒數學家的表演

你有沒有看過這樣一個撲克牌魔術：魔術師在五六個人好奇的注視下，拿來一疊撲克牌，說：「首先大家檢查一下這疊牌是不是不同的花色和點數。」然後對一位觀眾說：「您可以從這疊牌的上方拿任意數量的牌放到這疊牌的下方（專業一點可以稱作切一下牌）。」第一位觀眾照做之後，把這疊牌遞給旁邊的人，旁邊人同樣切一下牌之後，再遞給下一個人，輪到最後一個人切完牌的時候，這副牌的順序已經被完全打亂了。

接下來魔術師會讓最後一個人拿走此時這疊牌最上面的一張，再把這疊牌給旁邊的人，同樣拿走最上面的一張，最後每個人手中都有一張牌。然後魔術師會說：「我看不到你們任何一個人的牌，但現在用意念已經知道你們每個人手中的牌是什麼了。」很多人心裡一定會想：這也太神奇了吧？魔術師又說：「首先請手中是黑色牌的童鞋站起來。」緊接著他就開始一一說出每個人手中的牌是什麼：「你的是黑桃5，你的是梅花8……對於剩下手中是紅色牌的童鞋，你的是紅桃3，你的是方片……」最後把每個人的牌翻開一看，全部命中，無一錯誤。

這是一個很經典的魔術，不僅可以騙過醉醺醺的酒鬼，就連魔術師俱樂部里的專業魔術師、美國數學學會晚宴上的數學家們都對這個魔術毫無思緒，猜不出其中的原理。

表演的關鍵點在魔術師號稱他已經知道每個人手中的牌是什麼的時候。其實他對每個人手中的牌一無所知，在「首先請手中是黑色牌的童鞋站起來」之後他才知道了所有人手中的牌，他利用各位觀眾手中紅牌、黑牌的排列順序作為線索，推斷出大家手中是什麼牌。

具體來說，表演這個魔術需要兩件道具：一是事先按順序排列好的一疊牌，可以從一副撲克牌中取出數字1到8共32張，然後把它們按照下面的順序排列（背面向上，由上到下）

梅花8,梅花A,梅花2,梅花4,黑桃A,方片2,梅花5,黑桃3,方片6,黑桃4,紅桃A,方片3,梅花7,黑桃7,紅桃7,紅桃6,紅桃4,紅桃8,方片A,梅花3,梅花6,黑桃5,紅桃3,方片7,黑桃6,紅桃5,紅桃2,方片5,黑桃2,方片4,黑桃8,方片8

這樣排列的巧妙之處在於：即使被切過牌，也可以保證任意抽出五張連續的牌，其中黑色和紅色的排列順序一定是唯一的（如果黑色牌是0，紅色牌是1，這些長度為5的二進位序列一定是互不相同的）。

另外一件道具是一張表格，可以把它藏在手心裡，也可以把它藏在一本書里，當然還可以把它死記硬背下來。對於以上的撲克牌排列順序，對應的表格是這樣的：

假如在魔術中，你發現按照拿牌的先後順序，第二位和第四位觀眾站起來了，則說明各觀眾手中的牌分別是紅黑紅黑紅，二進位形式就是10101，按照表格一查，立刻就可以「感知到」這五個人手中的牌分別是方片5、黑桃2、方片4、黑桃8、方片8。

這一神奇魔術背後的數學原理是二進位的De Bruijn 序列，從這樣的序列中任意取出相鄰n個數（在我們的魔術中n=5），它們的二進位排列一定不相同。下面我們把最開始的那疊牌寫成二進位形式（黑色0，紅色1），大家可以驗證一下是否如此。：

0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1

對於同樣的32張牌，De Bruijn序列自然不是唯一的，可以有很多種排列方法，不同的排列方法也對應著不同的「解密表格」。De Bruijn序列長度也可以更長，隨之變大的是每次需要取出相鄰牌的個數（n）。對於不同數量的觀眾，我們需要準備不同數量的牌。5個觀眾比較適中，如果給一個班級所有人一起表演，儘管效果無比震撼，但是撲克牌估計要用麻袋來裝了。

不只是魔術

De Bruijn 序列的奇妙不僅體現在魔術上。我們還可以使用它為機器人做路標定位：將兩種不同顏色的小方塊排成一條長線擺在機器人行進的路上，機器人只要識別出自己前後的幾個方塊是什麼顏色，既不需要GPS，也不需要高精度探測儀，就可以知道自己走了多少米。

在一列很長的De Bruijn 序列中，中間任意取出n個數字（例如下面序列中的10011），然後向旁邊移動一個位置，取出相鄰的n個數字（例如下面序列中的00111），它們一定是不相同的，但又有（n-1）個數字是重疊的（0011）。

0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1

0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1

研究人員利用De Bruijn 序列設計了每次可以產生一個用於加密的不同隨機數字的簡單電子元件「反饋移位寄存器」，上一個隨機數字和下一個隨機數字之間只改變一個數位和移位一下就可以，電路構造非常簡單。

智利的研究人員還曾做過研究，他們設想這個紙牌魔術或許可以和電腦里的數據壓縮（例如WINRAR、ZIP、JPEG圖片壓縮、MPEG視頻壓縮等）扯上關係。

也許你僅僅為這個魔術的表演效果感到很神奇，但絕對想不到這個魔術背後的原理還可以跨界到如此廣闊的領域吧。數學與魔術結合，就是會產生如此奇妙的反應。

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