電子的大小（一）：經典理論

08-10

電子的大小（一）：經典理論

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經典電子半徑

1897 年，湯姆遜爵士提出陰極射線是由帶負電的高速粒子組成，他把這種粒子叫做 corpuscles（「微粒」）, 不過當代科學家大多接受了愛爾蘭物理學家喬治·斯通尼建議的名稱：electron，中文譯作電子。電子的產生帶有劃時代的意義，它標誌著量子時代的到來。

湯姆遜早年的工作是研究動體的電動力學。他認為，由於電磁阻尼效應，運動的帶電體的質量會增加，他因此引入電磁質量的概念，在量子場論中這個概念發展為自能修正。在這個基礎上，人們進一步推測物質的質量全部來自於其電磁能。電子發現以後，人們將這一學說應用於電子。

假定電子是一個半徑為 $r_e$ 的帶電小球，且其電荷均勻地分布在表面上。那麼根據電動力學，這樣一個帶電小球的電磁能量為： $E =frac{e^2}{4pi varepsilon_0 r_e}$ 。借用質能關係， $E = m_e c^2$ ，電子的半徑為： ${r_e = frac{e^2}{8pi varepsilon_0 m_e c^2} }$ 。如果我們採用實心球而非球殼，電子半徑應為 ${r_e = frac{3e^2}{20pi varepsilon_0 m_e c^2} }$ 。為了方便起見，將去掉形狀因子的量 $oxed{r_ ext{ce} = frac{e^2}{4pivarepsilon_0 m_ec^2}}$ ，做經典電子半徑 (classical electron radius)。為了方便起見，我們做計算將會使用球殼模型。 $r_ ext{ce}$ 的值可以計算出來，約為 $1.1 imes 10^{-13}$ 米。若用同樣的方法得到質子半徑為 $r_ ext{cp} = 1.2 imes10^{-16}$ 米【1】，遠小於電子。

圖一：經典電子與經典質子半徑比較。質子半徑已經放大了100倍。

電子不但帶有電荷，還帶有自旋角動量 $S = hbar/2$ 。如果我們把電子視為經典的自旋球殼，則其角速度滿足： $frac{hbar}{2} = frac{2}{3}m_eomega r^2_e$ 。這樣以來，我們得到電子錶面的線速度： $oxed{v equiv omega r_e = frac{3}{4alpha}c}$ ，此處， $alpha = frac{e^2}{4pi varepsilon_0 hbar c}$ 為精細結構常數，其值約為1/137。因此，該特徵速度為光速的100多倍，因此，經典電子模型嚴重違悖了狹義相對論。可見，電子並非是一個半徑為 $r_e$ 的帶電小球。

當然，這個論證有個漏洞。既然電子有自旋，其自旋必然也會佔一部分能量，尤其是考慮到若電子相對論效應比較明顯時。電子總能量至少應為自旋與電能之和。假定電子的靜止質量為 $m_0,$ 半徑為 $r_e$ ，自轉角動量為 $omega_e$ 。那麼，我們要求，

$m_ec^2 = E_ ext{em} + E_ ext{spin} = frac{e^2}{8pivarepsilon_0 r_e} + m_0c^2frac{1}{2eta}lnfrac{1+eta}{1-eta}$ ，

$frac{1}{2}hbar = frac{2}{3}m_0r_e^2omega_e$ ，

其中 $m_0$ 是電子靜止質量， $eta = omega_er_e/c$ ，式中已經使用了相對論性的轉動動能。引入無量綱量 $xi = m_0/m_e$ ，則易得，

$xi = frac{2}{frac{4}{3}alphaeta + frac{1}{eta}ln frac{1+eta}{1-eta}}$ ，

$frac{r_e}{r_{ ext{ce}}} = frac{1}{2} + frac{3}{8alphaeta^2}lnfrac{1+eta}{1-eta}$

兩個無量綱量的取值範圍為： $0 leq eta leq 1, 0 leq xi leq 1$ 。電子半徑在 $eta approx 0.796$ 時取到最小值 $r_e = 177 r_ ext{ce}$ ，此時 $xi approx 0.73$ 。

可見，電子的經典圖像與相對論並不絕對違悖。

當然，現今我們知道，電子是微觀粒子，描述其結構需要考慮其量子性。而從電子的經典圖像也暗示著，描述電子的結構可能需要相對論。在更基本的理論中，電子需要量子場論的描述。在量子場論中，人們常常說電子是點粒子 —— 不過這一論斷並無物理實質，僅僅是「電子是標準模型中的基本粒子」的另一種表述。在量子場論中，考慮電子結構，湯姆遜的思想仍然適用，即需要考慮電磁相互作用帶來的電子的自能修正。不過此時，電子的半徑是無窮大而不是零！這其實可以理解，因為電子的庫侖力是長程的。關於在場論中電子的結構，我們後面再討論。