流體靜力學:阿基米德浮力定律

流體靜力學:阿基米德浮力定律

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本文探討流體靜力學的規律,並推導著名的浮力定律。在流體靜力學中,流體處於平衡狀態。

符號約定:
ho流體的密度, p 是壓強, mathbf{g} 是重力場,varphi 是重力勢, mathbf{B}物體所受的浮力。

一、流體靜力學定律

考慮流體中的任一區域 Sigma 。假設 Sigma 中流體受兩個力:流體自身的重力和周圍流體給的壓力。

因為流體處於平衡狀態,所以這兩個力的合力必須為零,因此我們有 iiint_{Sigma}
ho mathbf{g} mathrm{d} V+iint_{partialSigma}-p mathrm{d}mathbf{S}=mathbf{0} .

根據矢量恆等式,有 iint_{partialSigma}-p mathrm{d} mathbf{S}=iiint_{Sigma}-
abla p mathrm{d} V ,所以 iiint_{Sigma}(
ho mathbf{g} -
abla p) mathrm{d} V =mathbf{0} .

這就等價於 
ho mathbf{g} -
abla p=mathbf{0} .我們把這個公式叫做流體靜力學定律

注意到場是勢的負梯度 mathbf{g}=-
abla varphi ,所以流體靜力學定律有時也寫成 -
ho 
abla varphi-
abla p=mathbf{0} .


下文有兩個假定:

①流體的密度 
ho 是常數。

②重力場 mathbf{g} 是常矢量,且有 mathbf{g}=(0,0,-g) ,負號表示 mathbf{g} 沿 z 軸向下。

在這兩種假定下,流體靜力學定律 
ho mathbf{g} -
abla p=mathbf{0} 很好解。


二、壓強公式

我們有 
abla p=
ho mathbf{g}=(0,0,-
ho g) ,考察 z方向有 frac{partial p}{partial z}=-
ho g ,因此 p=-
ho gz+p_{0} ,其中 p_{0} 是積分常數,易知 p_{0} 表示位置 z=0 的壓強。

假設水面的位置是 z_{0} .因為水面的壓強是 0,所以 p_{0}=
ho g z_{0} .由於水下某位置 z 距離水面 z_0 的高度 h=z_{0}-z ,所以位置 z 的壓強 p=-
ho g z+
ho g z_0=
ho g h ,此即壓強公式

三、阿基米德浮力定律

物體浸入流體中,假定物體佔據空間區域 Omega ,那麼物體的表面就是 partial Omega 。物體所受浮力 mathbf{B} 等於周圍流體給它的壓力,壓力垂直於物體指向內部,因此 mathbf{B}=iint_{partial Omega} -p mathrm{d} mathbf{S} .

根據矢量恆等式, mathbf{B}=iint_{partial Omega} -p mathrm{d} mathbf{S}=iiint_{Omega} -
abla p mathrm{d} V .

根據流體靜力學定律 
abla p=
ho mathbf{g} ,可得 mathbf{B}=iiint_{Omega} -
ho mathbf{g} mathrm{d} V=-
ho mathbf{g} iiint_{Omega} mathrm{d} V=-
ho mathbf{g} V .

我們就得到了阿基米德浮力定律 mathbf{B}=-
ho Vmathbf{g} :物體所受浮力方向豎直向上,大小等於排開流體的重力。

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