流體靜力學：阿基米德浮力定律

08-10

流體靜力學：阿基米德浮力定律

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本文探討流體靜力學的規律，並推導著名的浮力定律。在流體靜力學中，流體處於平衡狀態。

符號約定： $ho$ 是流體的密度， $p$ 是壓強， $mathbf{g}$ 是重力場， $varphi$ 是重力勢， $mathbf{B}$ 是物體所受的浮力。

一、流體靜力學定律

考慮流體中的任一區域 $Sigma$ 。假設 $Sigma$ 中流體受兩個力：流體自身的重力和周圍流體給的壓力。

因為流體處於平衡狀態，所以這兩個力的合力必須為零，因此我們有 $iiint_{Sigma} ho mathbf{g} mathrm{d} V+iint_{partialSigma}-p mathrm{d}mathbf{S}=mathbf{0}$ .

根據矢量恆等式，有 $iint_{partialSigma}-p mathrm{d} mathbf{S}=iiint_{Sigma}- abla p mathrm{d} V$ ，所以 $iiint_{Sigma}( ho mathbf{g} - abla p) mathrm{d} V =mathbf{0}$ .

這就等價於 $ho mathbf{g} - abla p=mathbf{0}$ .我們把這個公式叫做流體靜力學定律。

注意到場是勢的負梯度 $mathbf{g}=- abla varphi$ ，所以流體靜力學定律有時也寫成 $- ho abla varphi- abla p=mathbf{0}$ .

下文有兩個假定：

①流體的密度 $ho$ 是常數。

②重力場 $mathbf{g}$ 是常矢量，且有 $mathbf{g}=(0,0,-g)$ ，負號表示 $mathbf{g}$ 沿 $z$ 軸向下。

在這兩種假定下，流體靜力學定律 $ho mathbf{g} - abla p=mathbf{0}$ 很好解。

二、壓強公式

我們有 $abla p= ho mathbf{g}=(0,0,- ho g)$ ，考察 $z$ 方向有 $frac{partial p}{partial z}=- ho g$ ，因此 $p=- ho gz+p_{0}$ ，其中 $p_{0}$ 是積分常數，易知 $p_{0}$ 表示位置 $z=0$ 的壓強。

假設水面的位置是 $z_{0}$ .因為水面的壓強是 $0$ ，所以 $p_{0}= ho g z_{0}$ .由於水下某位置 $z$ 距離水面 $z_0$ 的高度 $h=z_{0}-z$ ，所以位置 $z$ 的壓強 $p=- ho g z+ ho g z_0= ho g h$ ，此即壓強公式。

三、阿基米德浮力定律

物體浸入流體中，假定物體佔據空間區域 $Omega$ ，那麼物體的表面就是 $partial Omega$ 。物體所受浮力 $mathbf{B}$ 等於周圍流體給它的壓力，壓力垂直於物體指向內部，因此 $mathbf{B}=iint_{partial Omega} -p mathrm{d} mathbf{S}$ .

根據矢量恆等式， $mathbf{B}=iint_{partial Omega} -p mathrm{d} mathbf{S}=iiint_{Omega} - abla p mathrm{d} V$ .

根據流體靜力學定律 $abla p= ho mathbf{g}$ ，可得 $mathbf{B}=iiint_{Omega} - ho mathbf{g} mathrm{d} V=- ho mathbf{g} iiint_{Omega} mathrm{d} V=- ho mathbf{g} V$ .

我們就得到了阿基米德浮力定律 $mathbf{B}=- ho Vmathbf{g}$ ：物體所受浮力方向豎直向上，大小等於排開流體的重力。