流體靜力學:阿基米德浮力定律
08-10
流體靜力學:阿基米德浮力定律
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本文探討流體靜力學的規律,並推導著名的浮力定律。在流體靜力學中,流體處於平衡狀態。
符號約定: 是流體的密度, 是壓強, 是重力場, 是重力勢, 是物體所受的浮力。
一、流體靜力學定律
考慮流體中的任一區域 。假設 中流體受兩個力:流體自身的重力和周圍流體給的壓力。
因為流體處於平衡狀態,所以這兩個力的合力必須為零,因此我們有 .
根據矢量恆等式,有 ,所以 .
這就等價於 .我們把這個公式叫做流體靜力學定律。
注意到場是勢的負梯度 ,所以流體靜力學定律有時也寫成 .
下文有兩個假定:
①流體的密度 是常數。
②重力場 是常矢量,且有 ,負號表示 沿 軸向下。
在這兩種假定下,流體靜力學定律 很好解。
二、壓強公式
我們有 ,考察 方向有 ,因此 ,其中 是積分常數,易知 表示位置 的壓強。
假設水面的位置是 .因為水面的壓強是 ,所以 .由於水下某位置 距離水面 的高度 ,所以位置 的壓強 ,此即壓強公式。
三、阿基米德浮力定律
物體浸入流體中,假定物體佔據空間區域 ,那麼物體的表面就是 。物體所受浮力 等於周圍流體給它的壓力,壓力垂直於物體指向內部,因此 .
根據矢量恆等式, .
根據流體靜力學定律 ,可得 .
我們就得到了阿基米德浮力定律 :物體所受浮力方向豎直向上,大小等於排開流體的重力。
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