選擇公理與Zorn引理

08-10

選擇公理與Zorn引理

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Zermelo選擇公理（Choice of Axiom）和Zorn引理（Zorns Lemma）是我本科學習抽象代數和泛函分析時一直缺乏直觀理解的這樣一個定理，趁最近溫習測度論相關知識的機會，作一下知識的搬運工，整理和溫故一下這一集合論的根本性問題.

（相關圖片來自於Wiki，如有使用中的侵權將及時刪除.）

一、Zermelo選擇公理的歷史[1]

十九世紀末，德國數學家Cantor所提出的集合理論一度被數學家們用來作為實數理論、乃至微積分理論體系的基礎，也因此集合論被譽為「數學大廈的基石」. （Set theory - Wikipedia）. 就在科學家們普遍認為，數學的系統性和嚴密性已經達到，科學大廈已經基本建成的時候，英國哲學家、數學家、邏輯學家Russel在1902年提出的一個著名的關於集合的悖論（Russells paradox），引起了科學家們關於數學基礎的新的爭論，從而引發了第三次數學危機.

羅素悖論提出了這樣一個尖銳的問題：

一切非本身元素的集合構成的集合（即 $R=left{ {xleft| {x otin x} ight.} ight}$ ）是什麼樣的集合？

1919年Russel又把這個悖論改為了一個廣為流傳的、且更加通俗易懂的「理髮師悖論」，即

某村只有一個理髮師且該村的人都需要理髮，理髮師約定：「它給且給村中自己不給自己理髮的人，試問該理髮師的頭髮由誰理？」

Russel悖論的出現，揭示了集合論中竟然存在自相矛盾的命題，這足以暴露出集合論本身的缺陷. 提出拓撲學中「不動點原理」的Brouwer，在Russel悖論出現後，認為自己過去所做的工作都是廢話，甚至宣稱要放棄不動點原理.

在悲嘆之餘，使數學家們不得不對集合論重新進行審查和檢驗，以克服集合論存在的內在邏輯矛盾. 這就必須重新闡述集合概念（而非原來的不給集合下定義），通過對集合類型加以限制，使得限制後的集合類型能夠避免羅素悖論，又同時對於展開全部經典分析所需要的內容得到保留. 不少數學家們為此不斷努力，由此產生了大量的新成果，並且帶來了對數學觀念的革新.

1908年，避免Russel悖論的方法主要有：

Russel所提出的類型理論(type theory)
以德國數學家Zermelo為首的等人所提出建立的Zermelo-Fraenkel集論系統 (簡稱ZF系統)（Zermelo-Fraenkel set theory）

其中後者不僅排除了邏輯悖論，也澄清了關於集合的數學直覺，獲得了一個比較廣為接受的數學基礎，從而建立了關於集合的可靠的認知.

當然，由於公理的局限性和人為性，這些解決Russel悖論的方法隨著數學的繼續發展該理論難免也有窮盡之時，尚還不能說它們徹底解決了整個數學的基礎問題. 另外，這些公理系的本身的相容性也未得到證明，因此偉大的法國數學家Poincare曾形象地評論道「為了防狼，用籬笆圈起羊群，但卻不知道圈內還有沒有狼」.

但有意思的是ZF系統在要不要接納選擇公理(AC)上引發了劇烈的爭論，如果拒絕接納AC，那麼很多美好且合乎常理的結果會被同時拋棄；但實際上，接受AC又與很多「常理」所違背，下面我們就來介紹一下這一神奇的「選擇公理」.

二、Zermelo選擇公理(AC)（Axiom of choice - Wikipedia）

選擇公理是什麼？

選擇公理的形式非常簡單，他是這樣聲稱的：

選擇公理 設 $Lambda$ 是一個指標集， ${ S_{lambda}}_{lambda in Lambda}$ 是一個非空的指標集族（indexed family），那麼總存在索引族 ${x_{lambda}}_{lambda in Lambda}$ 使得對每一個 $lambda in Lambda$ 均有 $x_{lambda}in S_{lambda}$ .

通俗地來說，如果有一族集合（個數可能有限，無限，甚至不可列），選擇公理聲稱：我們可以同時從每個集合中取出一個元素組成一個新的集合(索引族). 那麼一個直接的問題就會是「該如何選擇」？換句話說，我們要問選擇函數 $f_{lambda}:S_{lambda} ightarrow x_{lambda}$ 是什麼？

回答是：沒有答案.

Russel曾對選擇公理及選擇函數做出一個形象的比喻：對於任何多雙鞋子組成的集合，人們可以從每一雙鞋中挑選出左腳鞋來獲得合適的選擇；對於無限多雙集合的襪子，不依賴於選擇公理則則沒有明顯的方法可以挑選出襪子.

這句話的背後邏輯是：鞋子是分左右腳的，「選擇每雙鞋子的左腳代表這雙鞋」這一行為即實際上構造了數學意義上的「選擇函數」；而襪子是不分左右腳的，選擇哪一個作為襪子的代表是分不清楚的，有人可能會說，「隨便選一個就行！」，但是什麼是隨便呢？可否具體點陳述出來呢？這個隨便的方法是否必然存在呢？這就很難在這個意義下明確地指出選擇函數. 因此Russel才會說，「襪子的選擇需要訴諸於選擇公理」.

如果站在選擇函數的角度上，許多大學數學的教材書本中也會出現如下形式的選擇公理：

選擇公理換句話說版本 任何集合族有一個選擇函數. 即，若 ${ S_{lambda}}_{lambda in Lambda}$ 是一個非空的指標集族，那麼存在映射 $f:{ S_{lambda}}_{lambda in Lambda} ightarrow cup _{lambda in Lambda}A_{lambda}$ 使得對任何 $lambdainLambda$ , $f{A_{lambda}}in A_{lambda}$ .

即使不能陳述出選擇函數的具體形式，但也不能因此視選擇公理是邏輯上錯誤的，因為數學上有很多「存在性定理」都只指出某件事的存在性，而不尋求具體的描述方法，如我們熟知的Lagrange中值定理和Hamel基, 所以如果能夠證明這一公理是正確的，便可以繼續使用.

有關選擇公理的爭議

不少人曾嘗試著證明選擇公理，但我們也知道越是看似簡單的結論，背後牽涉到的哲學和認知問題就越是複雜，我的大學數學老師曾在PDE課上說過一句讓我至今覺得是至理的荒謬言論："數學當中最麻煩的事情就是顯然，我覺得顯然，你覺得不顯然這就是最麻煩的事情了".

顯然，要證明選擇公理，並非一件容易的事情，甚至可以說是無從下手. 因為我們都知道所謂的公理不是一般的數學命題，而是數學最基本的東西. 集合論是數學大廈的基石，所以在證明時，可以使用的工具可以說是少之又少. 不少數學家確實嘗試證明了選擇公理，但也是建立在其他一些所謂「顯然」的結論上的. 比如說「良序定理」(Well-ordering Theorem)，「Zorn引理"（Zorms Lemma）等. 但從某種程度上來說，這些工具還不如選擇公理容易令普遍接受. 甚至從名字來說，他們也不像選擇公理一樣有種無法撼動的既視感.

就歷史歷史來說：

1904年Zermelo提出了選擇公理，並且用它來證明了良序定理.
1905年Vitali利用選擇公理構造了 $[0,1]$ 上的Lebesgue不可測集.
1914年Hausdorff利用選擇公理在空間轉動理論和變換群的結果的基礎之上自然地證明了所謂的「分球面定理」,1924年在這一定理基礎上，Banach和Tarski進一步證明了分球定理，也就是著名的「分球悖論"或"Banach_Tarski悖論」：一個球進行適當拆分可以分成兩個同樣大小的球. 這一定理的結論與我們生活的經驗和直觀感覺不一致，Banach和Tarski提出該定理的意圖是想以此拒絕接受選擇公理.

如何理解banach tarski悖論？?

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1938年, Godel提出可構造集合的概念，論證了選擇公理和廣義連續系統假設關於ZF系統的相同性. 這一創造性的工作對當時整個數學基礎理論研究產生了巨大的影響，進一步推進了數學基礎理論的發展，也因此使對選擇公理持有異議的科學家大為減少.
1963年，Cohen用」力迫法(Forcing (mathematics))」證明了選擇公理關於ZF系統的獨立性：即在ZF系統內，對於選擇公理的肯定和否定都是不可能實現的.

在Cohen這一著名工作的基礎上，在ZF系統的基礎上發展了一套接納AC的系統，一般稱為"ZFC集論系統".

儘管曾具一度具有極大的爭議性，但現在選擇公理已被大多數數學家們毫無保留的使用著——自然也包括了，大牛們說是就是的我這樣的普通人. 所以在此，也想神棍地為已經習慣性接納，但其實並不經常去使用這一公理的人類講一句：人類由於在自我認知上的障礙，很多情感和思想都難以以語言來表達，正所謂「不知所言」，遵從內心的感覺選擇接受或者不接受，也許是思考許久後得不出有效結論時最無奈的選擇——而我，選擇隨大流.

三、Zorn引理[2]

Zorn引理一直被稱之為選擇公理的等價命題，要理解Zorn公理，我們首先要明白以下的概念：

定義1（順序） 對於給定的集合 $X$ ，若他的某些元之間能建立關係 $preceq$ 滿足：

自反性（Reflexivity）： $xpreceq x$ ;
對稱性（Symmetry）：若 $xpreceq y$ 且 $ypreceq x$ ，則 $x=y$ ;
傳遞性（Transitivity）: 若 $xpreceq y$ 且 $ypreceq z$ , 則 $xpreceq z$ ；

則稱關係「 $preceq$ 」為集合 $X$ 中的一個順序（order）. 集 $X$ 為關於順序 $preceq$ 的偏序集(partial ordered set).

比如通常的定義在實數域 $mathbb{R}$ 上的" $leq$ "就是一個偏序關係，而 $mathbb{R}$ 就是關於順序" $leq$ "的偏序集. 需要注意的是，在偏序集中，並非任意兩個元素之間都有順序.

而如果 $X$ 中的任何兩個元素都有順序，我們也稱其可以比較（comparable），也就是說：對任意 $x,yin X$ , $xpreceq y$ 和 $ypreceq x$ 中至少有一個成立，則稱集合 $X$ 為關於順序 $preceq$ 的全序集(total ordered set).

那麼根據這一定義，剛所提到的 $mathbb{R}$ 就是關於小於等於順序" $leq$ "的全序集. 為了理解進一步這裡的順序和一般的大於等於和小於等於的關係，我們再舉一個例子：設 $B$ 是一個非空集合， $X=2^{B}$ 是 $B$ 的所有子集，若用包含關係" $subset$ "作為 $X$ 中某些元素間的順序，則 $X$ 關於關係 $subset$ 成為一個半序集，但不是全序集.

定義2（上、下界）設 $X$ 是半序集， $preceq$ 是 $X$ 上的關係， $Asubset X$ ，若存在 $b in X$ , 使得對一切 $x in A$ , 都有 $xpreceq b$ （對應的 $bpreceq x$ ）成立，則稱 $b$ 為集合 $A$ 的上界（對應的下界）（upper bound & lower bound）.

又設 $b$ 為 $A$ 的上界，若對 $A$ 的任一上界（下界） $ilde{b}$ , 均有 $ilde{b}preceq b$ (對應的 $bpreceq ilde{b}$ ), 則稱 $ilde{b}$ 為 $A$ 的上確界（對應的下確界）(supremum & infimum )，記作 $sup{A}$ ( $inf{A}$ ).

定義3 （極大元/極小元） 設 $X$ 是半序集， $preceq$ 是 $X$ 上的關係， $Asubset X$ , $b in A$ . 若對一切 $x in A$ 有要麼（i） $xpreceq b$ ( $bpreceq x$ ) 成立，要麼(ii) $x$ 與 $b$ 沒有關係，則稱 $b$ 為 $A$ 的極大元（極小元）（maximal element/minimal element）.

在理解上述幾個概念的基礎下，Zorn引理敘述如下：

Zorn引理 設 $X$ 是非空偏序集，如果其中的任意全序子集有上界（下界），那麼 $X$ 有極大元（極小元）.

關於Zorn引理和AC之間乃至良序定理之間的互推，是一相當長度和需要一定基礎的內容，在此就不詳細寫出了（事實上是短時間內我還沒看明白）.

後記：想寫一個深入了解一下Zorn引理和選擇公理的正經筆記的，最後寫成了一個高中課本課後閱讀TAT，有愧於自己所學專業. 但anyway有總比沒的好，權當打發老闆出差時不幹正事的消遣之作. 有時間和體會再補充相關內容.

2018.6.14

[1] 楊旭. 選擇公理及其等價命題[J]. 吉林師範大學學報:自然科學版, 2003, 24(1):6-10.

[2] Alexander-Abian (1965). The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic. W B Saunders.