蒙提霍爾問題（三門問題）之最終解答——信息泄露

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信息泄露是什麼鬼？好吧，先不管了。這篇文章的目的在於可以讓爭吵不修的蒙提霍爾問題畫上一個圓滿的句號。（好大的野心）

一、問題來源：（熟悉此問題的小夥伴可以跳過這一段）

蒙提霍爾問題是一個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目Lets Make a Deal。問題的名字來自該節目的主持人蒙蒂·霍爾。

這個遊戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車或者是獎品，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車或獎品，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊或者是後面沒有任何東西。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，知道門後情形的節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？

——來源維基

二、爭論焦點：（已經和其他人爭論多年的小夥伴可以選擇性的瀏覽這一段）

1、直覺派觀點：以直覺派為代表的觀點認為，當主持人開啟一扇門露出一隻山羊後，這扇門後面藏有一輛車的概率為0。則剩下兩扇門的概率各為50%，這是毫無爭議的客觀結果。

（的確讓人心服口服，作者也相信是50%了。）

2、概率派觀點：以概率派為代表的觀點認為，三扇門中選擇一扇門則中獎概率為1/3，另外兩扇門加在一起的中獎率為2/3。

即：你選中的A門=1/3概率 ； B門+C門=2/3概率。現在主持人打開C門，告訴你裡面沒有車，則C門概率=0。所以B門+0=2/3概率。也就是說，現在你從原來的選擇A門轉移到B門的時候，你中獎的概率翻了一倍。

（哦，天哪。還有這種操作，作者也相信應該要換一扇門了。）

3、直覺派反駁：當C門的概率歸0的時候，應該把原本C門的1/3平均分配到A門和B門上，否則這個世界會變得很荒謬。

• 栗子1：假設現在有個人坐在你面前，掏出2個信封，其中一個信封里有一張100萬歐元的支票，另一個里只有一張白紙。那麼你選中支票的概率是多少？50%毫無疑問的。現在你隨便選了一個。但是這個時候那個人又說，"其實我原本準備了3個信封，但是昨天我把其中一個信封扔了，不過沒關係，那個信封里是沒有支票的。"那麼這個時候你原本選擇的信封里有支票的概率是多少？難道是1/3？而另一個信封變成2/3了？就因為他說了一句話？
• 栗子2：讓我們回到蒙提霍爾的節目中，在主持人開了一扇門並讓你選擇是否換門的時候，你並沒有馬上做出選擇，而是拿出了手機叫來了你的朋友人工智障AI。然後你對AI醬說，這兩扇關著的門中，有一扇門後面有車，選中就能開回家了。那麼請問，對AI醬來說選中車的概率是多少？50%毫無疑問的。哪為什麼你的概率是1/3和2/3，而AI醬概率是50%和50%？明明我先來的。

根據這2個例子可以很明顯看出，1/3和2/3的答案明顯是錯的，與客觀事實不符。正確答案就是50%。也就是說最初選中的概率，應當要隨著選項的減少而增加。而最極端的栗子就是，如果一開始就只有兩扇門，那麼選任何一扇的概率是50%。現在主持人開了一扇門，門後是羊，那麼我這扇門後面是車的概率就從50%變成了100%。

（沒錯，作者現在已經是堅定的直覺派了。50%的答案一定是正確的。）

4、概率派反駁：最初選中的概率絕對不會隨著選項的減少而增加。如果你們到現在還是不相信的話，哪我們來玩個遊戲吧。3個選項你們分不清，我們來100個選項。

• 遊戲：現在我們拿出100張牌，這100張牌中只有1張黑桃A。其他都是空白牌，沒有印刷任何圖案。現在你先選一張。然後荷官會把剩下的99張牌中取出98張空白牌，攤開在你面前，留一張給我，如果你說概率是50%，那麼我們玩100元一局，一共玩100局。拿到黑桃A的人贏。你願意跟我玩嗎？

（哎~！我第一次拿到黑桃A的概率是1%，98張空白牌已經攤給我看了，那麼他的那張是黑桃A的概率就是99%。哎~！為什麼會這樣！作者已經開始懷疑人生了。我……我覺得吧……應該先禁賭……）

三、最終解答：

最終解答讓我們分兩步走，先解決一個小問題。

1、換還是不換？

咦？這不就是爭論的焦點嗎？不不不，不是這樣的，爭論的焦點是，剩下兩扇門的概率到底是50%和50%還是1/3和2/3。

概率派認為該換，因為換了中獎概率更高。而直覺派認為換不換無所謂，因為概率都是50%。

所以答案是，換！顯而易見的，一方認為換，一方認為無所謂，那就也換唄，反正不吃虧，也不違反原則對不對。基礎博弈論，感謝Jhon Nash。

（太棒了，作者也覺得該換！）

2、究竟是50%、50%還是1/3、2/3。

好，現在我們引用概率派反駁中的那個遊戲來說明這概率究竟是怎麼一回事。

（因為作者感覺這個遊戲可以讓所有直覺派輸得傾家蕩產。）

遊戲中有3個人，玩家，荷官，莊家。

按照剛才說明的規則，一共100張牌，其中一張黑桃A，其餘為空白牌。玩家先挑選一張，背面朝上，放在兩人中間。剩下99張交給荷官，荷官把空白的98張白攤開在玩家和莊家面前，再把剩下那張牌同樣背面朝上放在兩人中間。這時莊家說，我賭你一開始拿的那張牌不是黑桃A。

我相信所有人，包括玩家，包括荷官，包括莊家，包括看直播的每一個人都很清楚，玩家第一次抽到黑桃A的概率是1%，而剩下張牌的概率是99%。

玩家說這太不公平了，我又不是傻子，在這場遊戲中，你獲得了我所有的信息從而掌握了99%的勝率，我要求改變規則來杜絕我的信息泄露。

（什麼？信息泄露是什麼鬼？雖然不是很想管但是我們終於點題了。小學作文的要求哦，文章結尾要點題，我想作者的體育老師就算不能含笑九泉也可以瞑目了。）

玩家要求首先和原來一樣自己先選一張牌，但是這張牌並不取出來，而是告訴荷官，我選了從上往下數的第X張牌。然後荷官同樣將98張空白牌攤開在兩人面前，再把剩下的兩張牌背面向上，拼擺放好。接著偷偷告訴玩家，「你一開始選的那張牌在左邊。」

好了，玩家用餘光偷偷看著左邊那張牌，知道那張牌是黑桃A的概率只有1%，但是！但是！但是！莊家不知道了！對莊家來說，這兩張牌是黑桃A的概率各為50%。所以到這裡概率產生了巨大的變化，對獲得了信息的玩家來說，概率為1%和99%。對沒有獲得信息莊家來說概率為50%和50%。

不知道大家是否看明白了呢？也許我們可以再進一步，玩家要求，「我的信息既不能泄露給莊家，也不能泄露給我。」

（這啥意思？還有這種操作？）

是的，玩家拒絕泄露自己的信息給自己。也就是說，當荷官發完牌之後，不要把玩家選的是哪一張告訴玩家自己。這樣一來玩家自己就不知道面前的兩張牌，哪一張才是一開始選的了。這時概率又發生了巨大的變化 （1%+99%）/2=50%。在玩家面前兩張牌的概率重新融合變成了各為50%。

至此，我們通過操作信息，成功達到了這樣幾種狀態：

1、玩家和莊家都認為1%和99%。

2、玩家1%、99%，莊家50%、50%

3、玩家和莊家都認為50%和50%

4、如果玩家的信息泄露給莊家而不泄露給玩家自己哪就是玩家50%、50%莊家1%、99%。

不可思議嗎？並沒有，因為信息始始終終在影響著概率，在這個遊戲當中誰是獲得信息最多的人呢？玩家？莊家？看直播的？都不是，獲得信息最多的始終都是荷官，對荷官來說，最後兩張牌的概率從來不是1%和99%也不是50%、50%。而一直都是0%和100%。

可以發現，在一個事件中，如果沒有獲得任何信息，概率是處於平均值的50%，如果一旦獲得和事件相關的信息，則概率開始出現標準差。獲得的相關信息越多，則標準差越大。獲得所有信息，則概率消失，事件確立。達到0%和100%。

獲得相關信息之後概率一定會變動，除非你得到的是「荷官今天穿的是水珠花紋」這樣的無用信息。所以，如果當獲取相關信息後而概率依然是50%，那肯定有什麼地方弄錯了。

四、回顧與總結：（解答問題再上一章哦，大俠你跳過頭了。）

讓我們回顧一下兩派選手所列舉的種種不可思議的現象。

1、概率派遊戲。這個遊戲作者已經詳細解釋過了，同時請大家不要用這個遊戲去賭博，賭的話也不要賭錢，可以賭啪啪啪次數，非常增進感情的。

2、直覺派栗子1。在這個栗子中，由於對方在昨天已經扔掉了第三個信封，所以你的這次選擇就等同於沒有得到信息第二次選擇，即概率為50%、50%。不管他昨天扔掉多少個信封，這個概率是不會變的。如果對方告訴你，總共有1000個信封。你昨天已經選過一次了，但是你失憶了，不過沒關係，我告訴你選了信封A，然後我扔掉了998個沒有支票的信封。現在還剩下信封A和信封B。那麼你獲得了信息，概率隨即改變，信封A的概率是1‰，信封B的概率是999‰。所以，原來的直覺派栗子1是錯誤的。

3、最後，也讓我們回到最初，回到蒙提霍爾的節目現場。在三扇門中你選擇了門A，然後主持人打開了門C給你看，裡面是只羊。然後你打電話叫來了你的朋友人工智障AI，對她說：「這兩扇關著的門中，有一扇門後有車」。這時，對AI來說概率是50%、50%，對你來說是1/3、2/3。如果你接著對AI說，「一開始三扇門都是關著的，而我選了門A，主持人開了門C。」那麼AI的概率立刻也會變成1/3和2/3。這就是信息泄露造成的概率變化。而整個過程中，只有主持人，對他來說，概率從一開始的0%和0%和100%，（A、B、C三扇門）變成了0%和100%（A、B兩扇門）。他是獲得所有信息的上帝視角。

喜歡的小夥伴可以點贊，有不同意見的可以留言，但請勿關注，作者喜歡清靜，謝謝。

珍愛生命，遠離數學。 以上

（本文禁止轉載，我朋友結婚時我要列印出來裝信封里當賀禮送的，二手的就很尷尬了。）