一階線性微分方程

08-10

一階線性微分方程

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預備知識　常微分方程

　　具有以下形式的微分方程叫做一階線性微分方程

$dfrac{mathrm dy}{mathrm dx}+p(x)y=f(x)qquad (1)$

一般地，未知函數及其各階導數都各佔一項時，方程就是線性的．另外，如果 $f(x)$ 項不出現，方程就是齊次的，否則就是非齊次的．我們先來看以上方程對應的齊次方程

$dfrac{mathrm dy}{mathrm dx}+p(x)y=0qquad (0)$

這是一個可分離變數的方程，分離變數得

$dfrac{mathrm dy}{y}=-p(x)mathrm dxqquad (3)$

兩邊積分得

$ln|y|=-int p(x)mathrm dx+Cqquad (4)$

兩邊取自然指數得

$y=pm e^Cd^{-int p(x)mathrm dx}qquad (5)$

把 $pm e^C$ 整體看做一個任意常數 $C$ ，上式變為．

$y=Ce^{-int p(x)mathrm dx}qquad(6)$

這就是一階線性齊次微分方程式 2 的通解，也叫式 1 的齊次解．

常數變易法

　　現在我們用常數變易法來解非齊次方程式 1 ．為書寫方便，式 6 中令 $y_0(x)=exp(-int p(x)mathrm dx)$ ．假設上式中的 $C$ 是一個函數 $C(x)$ 而不是常數，代入式 1 得

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