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08-09

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畢業亂浪了一個多月了，每天在絕地大陸和召喚師峽谷遊盪。

還是決定看點物理。

決定接著畢業設計的內容往後再看點東西，畢竟這些東西也還算是有趣吧。

這一系列（如果能寫完的話）就是一個抄書筆記+作者略過的計算細節的補全計劃。

主要內容是 Flat-band Ferromagnetism 方面的。

主要的參考文獻：

[1] Tasaki H. From Nagaokas ferromagnetism to flat-band ferromagnetism and beyond: An introduction to ferromagnetism in the Hubbard model[J]. Progress of Theoretical Physics, 1998, 99(4): 489-548.

[2] Guo H M, Franz M. Topological insulator on the kagome lattice[J]. Physical Review B, 2009, 80(11): 113102.

我們直接從long-range hopping 開始講起

考慮hopping amplitudes如下

$t_{x,y}=tlambda_xlambda_y$

其中對於 $forall x in Lambda, lambda_xgt 0$ , $tgt0$ .

定理1. 對於具有 $t_{x,y}=tlambda_xlambda_y$ 的hopping amplitudes的具有電子數目為 $N_e=N_s-1$ 的Hubbard模型。對於任意的 $Ugt0$ ,其基態總是具有總自旋 $S_{ ext{tot}}=S_{ ext {max}}=N_e/2$ 的非簡併態。

實際上我們可以將long-range hopping 的hopping amplitudes寫成如下形式

$old t= t old lambda otimesold lambda$

考慮薛定諤方程 $Hpsi=varepsilonpsi$ ，我們有

$varepsilon |psi angle = t|lambda anglelanglelambda|psi angle$

通過這個式子我們可以看出如下兩點

$|psi angle=|lambda angle$ 是本徵矢量，對應的能量為 $varepsilon= tsum_{iinLambda}lambda_i^2gt 0$
$|psi angle$ 滿足 $langlepsi|lambda angle=0$ ,即二者正交時， $|psi angle$ 是本徵矢量對應的能量為 $varepsilon=0$ 。（簡併重數為 $N_ ext s-1$ ）

即在 $N_ele2(N_s-1)$ 的情況下（考慮自旋向上向下的兩個電子佔據同一個與 $|lambda angle$ 正交的態 $|psi angle$ ），基態的能量 $varepsilon =0$ 。即 $H_{ ext{hop}}ge0$ 在 $N_e=N_s-1$ 時成立。再考慮到鐵磁態的定義，

A Hubbard model is said to exhibit ferromagnetism if any ground state of $H$ has the total spin $S_{ ext{max}}=S_{ ext{tot}}$ .

我們有 $E_{ ext{ferro}}=0$ ,這說明 $H_ ext{hop}=0$ $H_ ext{int}=0$ ，對於 $Ugt0$ 時

$sum_{xin Lambda}n_{x,uparrow}n_{x,downarrow}=0$ .

說明定理下面介紹Nagaoka定理

Consider an arbitrary Hubbard model witht $t_{x, y}ge0$ for any $x,y in Lambda$ , $N_e=N_s-1$ ,and $U=infty$ ,and further assume that the model satisfies the connectivity condition. Then the ground states have total spin $S_ ext{tot} = S_ ext{max}(=N_e/2)$ , and are non-degenerate apart from the trivial $(2S_ ext{max} + 1)$ -fold degeneracy.

考慮到 $sum_{xin Lambda}n_{x,uparrow}n_{x,downarrow}=0$ ，即 $H_ ext{int}$ 與 $U$ 無關。這裡我們就從Nagaoka定理推廣到了long-range hopping 的 Hubbard 模型上。

下面我們考慮另外一種證明辦法。

首先，我們構造單電子態。對於任意 $x_0inLambda$ ,記 $Lambda^prime=Lambdaackslash x_0$ 。 $forall yinLambda^prime$ ，我們定義單電子態 $old{varphi}^{(y)}=left(varphi_x^{(y)} ight)_{xinLambda}$ 如下

$varphi^{(y)}_x= egin{cases} lambda_{x_0}&x=y\ -lambda_y&x=x_0\ 0& ext{otherwise} end{cases}$

容易看出這樣構造出的單電子態滿足 $langlelambda|varphi^{(y)} angle=0$ ,即滿足 $varepsilon |psi angle = t|lambda anglelanglelambda|psi angle$ ，是Hamiltonian $varepsilon=0$ 對應的本徵矢。對於確定的 $x_0inLambda$ ,不同的 $yinLambda^prime$ 是線性無關的。上面定義的矢量 ${varphi^{(y)}}$ 一共有 $N_s-1$ 個，即任意的單電子基態都可以由上面的矢量線性表出。

我們定義這樣的基下的費米子生成運算元為 $b^dagger_{y,sigma}=C^dagger_{sigma}left(old{varphi}^{(y)} ight)$ 滿足 $left[H_{hop},b^dagger_{y,uparrow} ight]=0$

（Hint： $left[c_x^dagger c_y,c_{x_0}^dagger ight]=c_x^daggerdelta_{x_0 y}$ ，或者直接考慮 $H_{ ext{hop}}Phi_{ ext{vac}}=0$ 結合 $H_{ ext{hop}}varphi^{(y)}=0$ ）

構造 $Ugt0$ 的基態如下

$Phi_{mathrm{GS}}=sum_{L_{uparrow},L_{downarrow}subsetLambda^primemathrm{s.t.}|L_{uparrow}|+|L_downarrow|=N_mathrm e}f(L_{uparrow},L_{downarrow})left(prod_{yin L_{uparrow}}b^dagger_{y,uparrow} ight)left(prod_{yin L_{downarrow}}b^dagger_{y,downarrow} ight)Phi_{ ext{vac}}$

顯然地，對應的 $varepsilon=0$

為了證明上式子中各項均不為 $0$ 。下面我們介紹Slater determinant state

令 ${varphi^{(n)}}$ 是 $mathcal h$ 中的 $n$ 個任意地態。態 $C^dagger_{sigma}left(varphi^{(1)} ight)cdots C^dagger_{sigma}left(varphi^{(n)} ight)Phi_{ ext{vac}}$ 非零，當且僅當 $left{varphi^{(n)} ight}$ 線性無關時成立。

（Hint：考慮行列式。實際上線性相關時候必然為零，反過來考慮會更簡單一點）

再結合我們之前得到的條件 $sum_{xin Lambda}n_{x,uparrow}n_{x,downarrow}=0$ ，我們有 $c^dagger_{xuparrow}c_{xuparrow}c^dagger_{xdownarrow}c_{xdownarrow}Phi_{ ext{vac}}=0$

利用交換關係可以容易地得到 $(c_{xdownarrow}c_{xuparrow})^dagger(c_{xdownarrow}c_{xuparrow})Phi_{ ext{vac}}=0$ .左乘 $Phi_{ ext{vac}}^dagger$ ,

有 $c_{x,downarrow}c_{x,uparrow}Phi_{ ext{GS}}=0$ 。我們得到

$c_{x,downarrow}c_{x,uparrow}Phi_{mathrm{GS}}=c_{x,downarrow}c_{x,uparrow}sum_{L_{uparrow},L_{downarrow}subsetLambda^primemathrm{s.t.}|L_{uparrow}|+|L_downarrow|=N_mathrm e}f(L_{uparrow},L_{downarrow})left(prod_{yin L_{uparrow}}b^dagger_{y,uparrow} ight)left(prod_{yin L_{downarrow}}b^dagger_{y,downarrow} ight)Phi_{ ext{vac}}=0$