數學是數學家的墓志銘

你想在自己的墓碑上刻下什麼文字？也許對於我們來說，考慮這個問題為時尚早，但是許許多多的前輩數學家已經用自己的實際行動告訴了我們：墓碑上書寫著自己的榮耀。

你想在自己的墓碑上刻下什麼文字？也許對於我們來說，考慮這個問題為時尚早，但是許許多多的前輩數學家已經用自己的實際行動告訴了我們：墓碑上書寫著自己的榮耀。

「他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他的生命的十二分之一，兩頰長起了細細的鬍子；他結了婚，又度過了一生的七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他全部年齡的一半；兒子死後,他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了。」

這是一道小學水平的應用題，但如果倒退兩千多年，它無疑屬於難題。正是這段話，傳說被刻在了古希臘數學家丟番圖的墓碑上。

丟番圖被譽為代數學之父，著有《算術》一書，他對一次方程和二次方程做了深入的研究，其中還包括大量的不定方程。在現代，對於整數係數的不定方程，如果只考慮其整數解，那就把這類方程叫做丟番圖方程——因為這基本上正是丟番圖當年所研究的內容。古希臘數學家們崇尚幾何，認為所有的代數問題只有在一個幾何背景下才有意義。丟番圖將代數解放了出來，使之成為獨立的學科，而且引入了未知數的概念——他的墓志銘就是一道經典的解方程的題目。而那段話既是丟番圖一生僅有的傳記，也是對他一生成就的最高概括和褒獎。

丟番圖的工作在後人的努力下，得到了極大的擴充和發展。 20 世紀最牛數學家希爾伯特在 1900 年數學家大會上提出了 23 個著名的問題，其中的第十個就與丟番圖方程密切相關。

一個方程最基本的特徵之一就是它是否有解，丟番圖方程也不例外。例如經典的勾股定理對應的丟番圖方程：

就是有整數解的，而且有無窮多組解。而與此很像的是費馬大定理方程：

就不存在非平凡的整數解。

兩個長得如此之像的丟番圖方程結果居然完全不同，歷代數學家經過數百年的探索後，最終使用了當年的費馬不敢想像的數學工具才艱難地得以證明。在人們解決費馬大定理之前，希爾伯特提出了他的第十個問題：是否存在一種只有有限步驟的方法，使得我們能夠判斷任意一個丟番圖方程的可解性？

如果存在這樣的辦法，那對費馬大定理的證明就變成了很平凡的步驟，許許多多的數學問題也能巧妙地轉化成一個丟番圖方程進行解答了。因此，這個問題就相當於是在尋找數學中的一個「通法」，如果能找到，那麼全世界所有數學家都會去研究丟番圖方程和自己的研究領域的關係了，世界將是多麼的美好。然而，並不完美的世界還是給了我們一個不完美的答案。 1970 年，前蘇聯數學家 馬季亞謝維奇 給出了否定的答案，也就是說，不能在有限步內判斷任意丟番圖方程是否有解，更進一步地，我們甚至可以構造出一個無法證明其是否可解的丟番圖方程！實際上，數學家們在 1900 年對這個問題沒有任何的概念，直到在圖靈提出了他著名的 停機問題 後才對此有了初步的認識，在此之後，數理邏輯和計算機得到大力發展，最終解決了許多重大難題，丟番圖方程的不可解性就是其中之一。丟番圖先生當年做這些研究，可能想不到他手下的這些式子會延伸出如此多的奇妙變化吧。

這位數學全才生前的最後一句話響徹寰宇：「不要踩壞我的圓！」他的墓碑上面也正是遵照他早已明確的意思，刻上了一幅與圓有關的圖像：圓柱體與其內接球的體積比和表面積比都是 3 : 2 ——顯然，阿基米德對這個結果很滿意。

阿基米德完善並發展了前人提出的「窮竭法」，窮解法由古希臘的安提芬( Antiphon )最早提出，他在研究「化圓為方」問題時，提出了使用圓內接正多邊形面積「窮竭」圓面積的思想。後來，古希臘數學家歐多克斯( Eudoxus of Cnidus )做了改進，將其定義為：在一個量中減去比其一半還大的量，不斷重複這個過程，可以使剩下的量變得任意小。阿基米德進一步改進這種方法後，將其應用到對曲線、曲面以及不規則體的體積的研究和討論上，為現代積分學打開了一道隱隱的門。

他的著作《論球和圓柱》全篇以窮竭法為基礎，證明了許多的相關定理。其中命題 34 的陳述是：任一球的體積等於一圓錐體積的4倍，該圓錐以球的大圓為底，高為球的半徑。實際上，他的墓志銘就是這個命題的推論。

這個精力旺盛而長壽的天才還通過使用圓外接正多邊形和圓內接正多邊形逼近圓周率的真實值，他最終使用到了九十六邊形（因為 96 = 2 ⁵ * 3 ，稍後我們會在後面發現這個多邊形正巧是可以通過尺規作圖做出來的），得到π的真實值在 3.14163 和 3.14286 之間。

高斯被稱作「數學王子」，在民間也流傳著許多與他聲譽相符的故事。但是，他的墓碑上刻的並不是地球人都知道的等差數列求和公式，也不是他獨立給出四種證明的代數基本定理，而是一個在尺規作圖領域中被人津津樂道的漂亮結果：尺規作出正十七邊形。

作圖的方法陳述起來過於繁瑣，這裡我們用一張動態圖，一步一步地展示出作圖的方法：

有趣的是，高斯不僅給出了做法，還證明了能夠通過尺規作圖做出的正多邊形需要滿足的條件是邊數目必須是 2 的非負整數次方和不同的費馬素數的積。這個費馬素數是什麼呢？

費馬是一個擁有著大師水準的業餘數學家，提出過許多的猜想和定理，很多都在他死後被證明是正確的，而「費馬素數」卻是他為數不多跌了跟頭的地方。費馬在 1640 年提出，所有的形如

的數字都是素數。這個數列的前 5 個數的值分別是 3, 5, 17, 257 和 65537 ——確實都是素數，看起來費馬先生要贏了。但歐拉卻指出 F( 5 ) = 641×6700417 不是一個素數，後來隨著計算機技術的發展，大家從 F( 5 ) 開始就再也沒有找到素數了。但誰也想不到的是，費馬的這個失誤意外地和尺規作圖聯繫到了一起。

根據高斯的結論，正多邊形邊數只有在 K = 2 ⁿ × ( 2 ^?m + 1 ) ，其中 n，m= 0，1，2，… 時才能通過尺規畫出來。將正 n 邊形的每一條邊對應的圓弧二等分，我們可以輕易地做出正 2n 邊形。因此，「正 F( m ) 邊形」可以說是產生所有這些可被作圖正多邊形的「因子」。這是一個延綿了兩千多年的尺規作圖難題，較其同類們十分幸運地在高斯手中得到了一個肯定的回答。在高斯之後，也有人陸續給出了正 257 邊形和正 65537 邊形的尺規作圖過程。其中正 65537 邊形的作圖過程十分繁瑣，單單做圖方法的計算手稿就有 200 頁，完整的過程更是裝滿了一個皮箱，現在被收藏於高斯的母校哥廷根大學。在 這裡 我們可以圍觀維基百科上的正 65537 邊形（ 需要SVG Viewer等軟體 ）。

魯道夫

當你看到這個名字的時候，第一反應是不是這樣的：魯道夫？我怎麼不知道還有叫這個名字的數學家？

確實，這位數學家不是最出名的，甚至可能是最不出名的（之一），但是他的墓碑一定是最霸氣的。他的墓碑完整地概括了其一生的經歷：

3.14159265358979323846264338327950288..

是的，他墓碑上的主要內容就是一個 π 的精確到小數點後 35 位近似值——實際上，他這輩子的大部分時間都在算這個數字！

這位德國數學家的全名是魯道夫范科伊倫（Ludolph van Ceulen），他在 1600 年成為荷蘭萊頓大學的第一位數學教授，但是把主要精力全都放在了求解圓周率的更精確的值上。在那個計算基本靠手的年代，他選擇了前文提到的簡單而繁瑣的阿基米德式方法對圓周率進行逼近，最後得到墓碑上的結果的時候，使用的多邊形已達到了驚人的 262 條邊！相比之下，阿基米德倒稍顯「平淡無奇」。由於使用了阿基米德的夾逼法，所以墓碑上其實給出了圓周率的上界和下界。

看來把一件事情做到極致，那就是偉大。魯道夫的這種精神無疑讓很多人佩服，以至於圓周率在德國被稱為魯道夫數。到今天，人們已經把魯道夫先生的工作向前推進了很多很多，計算圓周率也已經成為了考察計算機運算能力的一個方式。作為在這個道路上跨出堅實一步的人，魯道夫先生一定也含笑九泉的吧。

你想在你的墓碑上刻點什麼呢？

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