宇宙學初探3 基本方程

08-07

宇宙學初探3 基本方程

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聲明：本文將用到大量數學。

嚴格來說，本文的推導應該使用廣義相對論，但為了容易理解，本文使用經典力學近似。

先介紹幾個基礎概念。

假定現在時刻宇宙的大小為 $r_{0}$ .某個時刻的尺度因子 scale factor（記為 $a$ ），就是該時刻宇宙大小 $r$ 與現在宇宙大小 $r_{0}$ 的比值 $a=frac{r}{r_0}$ .由於宇宙是在膨脹的，所以過去的宇宙更小，其尺度因子 $a<1$ ；類似地，現在的 $a=1$ ，未來的 $a>1$ 。

定義某個時刻的哈勃參數 Hubble parameter $H=frac{dot a}{a}$ ，現在時刻的 $H$ 叫做哈勃常數 Hubble constant，記為 $H_{0}$ .

假如某個星系離我們的距離是 $d$ ，那麼隨著宇宙膨脹， $d$ 會隨時間越來越大。為了消除宇宙膨脹的影響，我們定義共動距離 comoving distance $x=frac {d}{a}$ ，這樣 $x$ 不會隨時間變化。

一、狀態方程 EOS

符號說明： $k$ 表示玻爾茲曼常數， $N$ 是分子數目， $m$ 是氣體總質量， $ho$ 是氣體密度， $ar {m}$ 表示一個分子的質量， $v$ 是分子速率， $c$ 是光速。

考察理想氣體狀態方程 $pV=NkT$

與以下方程聯立 $m= ho V , frac {3} {2} kT=frac{1}{2} ar{m} v^{2} , m=N ar {m}$ ，可得 $frac {p} { ho} =frac{v^{2}}{3}$ .

定義狀態方程參數 $omega =frac{p}{ ho c^{2}}$ ，我們把此式叫做狀態方程 equation of state(EOS)。

對於絕大多數物質而言，其速度 $v$ 遠小於光速 $c$ ，故 $frac{v}{c}$ 可以看成是0，所以物質的狀態方程參數 $omega _{m}=frac{p}{ ho c^2}=frac {v^2}{3c^2}= 0$ ；而對於輻射，其速度 $v$ 等於光速 $c$ ，所以輻射的狀態方程參數 $omega _{r}=frac{v^2}{3c^2}=frac{c^2}{3c^2}=frac{1}{3}$ 。我們以後討論曲率和暗能量的狀態方程參數。

二、弗里德曼方程 Friedmann equations

根據萬有引力定律 $mathbf{F}=- frac{GMm mathbf{r}}{r^3}$ ，引力使宇宙傾向於收縮，與宇宙加速膨脹的事實不符，這表明萬有引力定律不正確，需要修正。修正後的萬有引力定律是 $mathbf{F}=-frac{GMmmathbf{r}}{r^3}+frac{mLambda c^2 mathbf{r}}{3}$ ，其中 $Lambda$ 是宇宙學常數，一個很小的數值。

（下文中假定宇宙是個球體。讓 $M$ 表示宇宙總質量， $m$ 表示宇宙邊緣的某個天體（看成質點）的質量。由於引力定律中 $r$ 是球心之間的距離，故 $r$ 表示宇宙半徑。）

結合牛頓第二定律 $mathbf{F}=mfrac{d^2 mathbf{r}}{dt^2}$ ，約去質量 $m$ 可得 $frac{d^2 mathbf{r}}{dt^2}=-frac{GMmathbf{r}}{r^3}+frac{Lambda c^2 mathbf{r}}{3}$

改寫成標量式 $ddot r=frac{d^2 {r}}{dt^2}=-frac{GM}{r^2}+frac{Lambda c^2 {r}}{3}$ .此方程記為方程（1）.

由於 $r=r_{0} a$ ，故 $r_{0}ddot a=-frac{GM}{a^2 r_{0}^2}+frac{Lambda c^2 a r_{0}}{3}$ ，兩邊同時除以 $ar_{0}$ 得（ $ho$ 是宇宙密度）： $frac{ddot a}{a}=-frac{GM}{a^3 r_{0}^3}+frac{Lambda c^2}{3}=-frac{G ho frac{4}{3}pi r^3}{r^3}+frac{Lambda c^2}{3}=-frac{4pi G ho}{3}+frac{Lambda c^2}{3}$

由於牛頓定律的局限性，這個方程有一點小偏差。根據廣義相對論，這個方程的右端還有一項 $-frac{4pi Gp}{c^2}$ ，其中 $p$ 表示壓強，故真正的方程是 $frac {ddot a}{a}=-frac{4pi G ho}{3}+frac{Lambda c^2}{3}-frac{4pi Gp}{c^2}$ .我們把這個方程叫做弗里德曼第二方程 Friedmann second equation。

現在回到方程（1）。注意到 $ddot r=dot r frac{d dot r}{dr}$ ，故方程（1）改寫為 $dot r frac{d dot r}{dr}=-frac{GM}{r^2}+frac{Lambda c^2 {r}}{3}$ ，這是一個可分離變數的微分方程，讓兩邊同時乘 $dr$ ，然後再積分 $int dot r {d dot r}=int(-frac{GM}{r^2}+frac{Lambda c^2 {r}}{3})dr$ ，可得 $frac{1}{2}dot r^2=frac{GM}{r}+frac {Lambda c^2}{6} r^2+C_{0}$ ，其中 $C_{0}$ 是積分常數，這裡我們讓 $C_{0}=-frac{kc^2 r_{0}^2}{2}$ ，其中 $kinleft{{-1,0,1} ight}$ 是表徵宇宙曲率的一個量， $r_{0}$ 是現在時刻的宇宙半徑。由於 $r=r_{0} a$ ，故 $frac{1}{2}dot a^2 r_{0}^2=frac{GM}{ar_{0}}+frac {Lambda c^2}{6} a^2 r_0^2+C_{0}$ ，整理得 $r_{0}^2dot a^2=frac{2GM}{ar_{0}}+frac {Lambda c^2}{3} a^2r_{0}^2-kc^2 r_{0}^2$ ，兩邊同時除以 $a^2 r_{0}^2$ 可得 $large H^2=frac{dot a^2}{a^2}=frac{2GM}{a^3r_{0}^3}+frac {Lambda c^2}{3} -frac{kc^2}{a^2}\ large =frac{2G frac{4}{3}pi r^3 ho}{r^3}+frac{Lambda c^2}{3} -frac{kc^2}{a^2}=frac{8pi G ho}{3}+frac{Lambda c^2}{3} -frac{kc^2}{a^2}$

我們把這個方程 $H^2=frac{dot a^2}{a^2}=frac{8pi G ho}{3}+frac{Lambda c^2}{3} -frac{kc^2}{a^2}$ 叫做弗里德曼第一方程 Friedmann first equation。弗里德曼第一和第二方程統稱弗里德曼方程 Friedmann equations。

三、FLRW度規 FLRW metric

結合廣義相對論和宇宙學原理，可以得到時空的結構：（採用 $(-,+,+,+) convention$ ）

$ds^2=-c^2d au^2=a(t)^2dmathbf{Sigma}^2-c^2dt^2$

$dmathbf Sigma^2=frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2dmathbf{Omega}^2$

$dmathbf{Omega}^2=d heta^2+sin^2 heta dvarphi^2$

聯立以上三個方程可得 $ds^2=a(t)^2(frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2d heta^2+r^2sin^2 heta dvarphi^2)-c^2dt^2$ 。這就是FLRW度規 FLRW metric。其中 $kin left{{-1,0,1} ight}$ 表徵宇宙的曲率。

$k=1$ 時宇宙是閉合的球面空間，曲率為正；

$k=0$ 時宇宙是平坦的歐幾里得空間，曲率為零；

$k=-1$ 時宇宙是開放的雙曲面空間，曲率為負。

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