相似三角形存在性問題「SAS」解法

來自專欄愛數學做數學

如圖，已知一次函數y=-4/3x+4的圖像是直線l，設直線l分別與y軸、x軸分別交於點A、B。

（1）求線段AB的長度；

（2）設點M在射線AB上，將點M繞點A按逆時針方向旋轉90°到點N，以點N為圓心，AN的長為半徑作圓N

①當圓N與x軸相切時，求點M的坐標；

②在①的條件下，設直線AN與x軸交於點C，與圓N的另一個交點為D，連接MD交x軸於點E，直線m過點N分別與y軸、直線l交於點P、Q，當△APQ與△CDE相似時，求點P的坐標。

解析：

（1）顯然A（0，4），B（3，0），求得AB=5，同時注意到△AOB是特殊直角三角形，三邊之比為3：4：5

（2）①如圖所示，經過數次嘗試M點的位置作圓，我們發現當點M在AB延長線上時，可作出符合條件的圖形，如下圖：

為什麼M點不能在x軸上方？可經過簡單計算說明，旋轉後的N點縱坐標總會大於AN的長，而只有當M在x軸下方時，才有可能出現NE=AN的情況。

我們過點M、N分別向y軸作垂線段，無論M在射線AB哪個位置，圖中均出現「一線三直角」的典型圖例，△AML≌△NAK，我們可設M（m，-4/3m+4），從而表示出ML=AK=m，AL=NK=4-(-4/3m+4)=4/3m，於是我們得到N（4/3m，m+4），同時，這些三角形全部都是三邊比為3：4：5的特殊三角形，因此AN=5/3m，當圓N與x軸相切時，AN=NE，於是5/3m=m+4，解得m=6，所以M（6，-4）

②先按要求作圖，然後觀察△CDE，因為它的三個頂點全部可求，便於我們確定它的形狀，如下圖：

由於點P和Q分別在y軸和直線l上，因此y軸與直線l的夾角是固定不變的，而這個夾角恰好等於∠BAO，也等於∠DCE，所以，無論P、Q位置在何處，∠PAQ始終等於∠DCE，在相似三角形的判定定理中，我們都用過「SAS」，即兩個三角形如果有一對夾角相等，我們只需要讓它們夾這個角的兩條邊對應成比例即可，那麼CD：CE=AP：AQ或CD:CE=AQ:AP，本題中CD與CE長度均可求，分別為80/3和40/3，即我們只要讓AP：AQ=1：2或2：1，所以AQ=2AP或AQ=1/2AP，上圖即為情形一，不妨設P（0，p），則AP=p-4，則AQ=2（p-4），注意△AQF，它也是三邊比為3：4：5的特殊直角三角形，從而得到QF=3/5×2（p-4），AF=4/5×2（p-4），於是Q（-6/5（p-4），8/5（p-4）+4），利用P（0，p）和N（8，10）得到直線PN解析式為y=(10-p)/8x+p，將上述表示出的Q坐標代入，即可求得p=14，類似的，情形二如下圖：

方法與前面一樣，最終我們的計算結果發現，Q與B重合，此時p=-6；

綜上所述，點P坐標為（0，14）或（0，-6）