光柵衍射與相控陣雷達

08-04

光柵衍射與相控陣雷達

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根據惠更斯 - 菲涅耳原理，傳播波的波前上的每個點可以被認為是點源，並且任何後續點處的波前可以通過將來自每個單獨點源的貢獻相加來找到。一個理想的衍射光柵可以認為由一組等間距的無限長無限窄狹縫組成，狹縫之間的間距為d，稱為光柵常數。當波長為λ的平面波垂直入射於光柵時，每條狹縫上的點都扮演了次波源的角色；從這些次波源發出的光線沿所有方向傳播（即球面波）。由於狹縫為無限長，可以只考慮與狹縫垂直的平面上的情況，即把狹縫簡化為該平面上的一排點。則在該平面上沿某一特定方向的光場是由從每條狹縫出射的光相干疊加而成的。在發生干涉時，由於從每條狹縫出射的光的在干涉點的相位都不同，它們之間會部分或全部抵消。

當從相鄰兩條狹縫出射的光線到達干涉點的光程差是光的波長的整數倍時，兩束光線相位相同，就會發生干涉加強現象。衍射光將在衍射角為 $varphi$ 時取得極大，即：

$d=a+b,a透光部分長度，b不透光部分長度$ ,

$dsinvarphi=nlambda$ ,n=0,1,2.......

相鄰兩縫的光振動相位差為

$sigma=2pifrac{dsinvarphi}{lambda}$

根據坡印廷矢量

$vec{S}= vec{E} imesvec{H}=frac{vec{E} imesvec{B}}{mu_0}$ ，光強和振幅平方成正比

假設單縫條件下光在某一點引起的光振動矢量振幅為A,單縫光強度為

$I=kA^2$

N縫條件下光主極大強度為

$I_{max}=k(NA)^2 =N^2I$

構成暗紋的條件是N個縫的光振動矢量振幅相位相加為 $P=2mpi$ ,m=1,2......

特別注意的是當m= $kappa$ N時( $kappa=1,2,3...$ )，是極大值。因此在N縫干涉中，相鄰2個主極大間有N-1個極小，分別是N個縫的光振動矢量相位相加值為

$P=2mpi=2pi,4pi,6pi.....,2*(N-2)pi,2*(N-1)pi$ 時

N-2個次極大，分別是N個縫的光振動矢量相位相加值為

$P=3pi,5pi,7pi.....,(2N-5)pi,(2N-3)pi$ 時

我們之前有分析到N縫條件下光主極大強度為 $I_{max}=N^2I$ ，而衍射屏的總能量 $E=NI$ ，由能量守恆得到主極大寬度和縫數N的關係為

$linftyfrac{NI}{N^2I}=frac{1}{N}$ ，說明隨著N的增加，變得更為尖銳，條紋更細。

光柵衍射的強度時單縫衍射和縫間干涉的共同結果。多縫干涉光的主極大強度同時也受到單縫衍射的限制，使得光主極大強度大小不同，在單縫衍射光強最小處的主極大缺級。

因此，缺級條件為

$dsinvarphi=klambda$

$asinvarphi=klambda$

即當 $sinvarphi=frac{klambda}{a}=frac{klambda}{d}$ 時

$k=kfrac{d}{a},k=1,2,3...$ 時，主極大缺級

比如， $frac{d}{a}=2$ 時， $k=pm2,pm4,pm6...缺級$ ， $frac{d}{a}=3$ 時， $k=pm3,pm6,pm9...缺級$ 。

同時可以發現 $frac{d}{a}$ 的值越大，缺級的比例越小。

對於一個斜入射的光柵

衍射條件編為 $d(sin heta+sinvarphi)=klambda$ ,改變入射電磁波的相位差即可改變零級衍射光的方向，這就是相控陣雷達的原理。相控陣雷達控制每個陣元產生電磁波的相位與幅度，以此強化電磁波在指定方向上的強度，並壓抑其他方向的強度，從而實現讓電磁波束的方向發生改變。

相控陣雷達因為省去了整個天線的機械驅動系統，所以它的可靠性非常高，平均無故障時間遠遠高於傳統雷達。另外，相控陣雷達的思想有點兒類似於互聯網，某些節點壞了不影響整體功能的使用，數百個或上千個陣元中，就算有百分之十的陣元損壞，相控陣雷達依然可以使用。軍艦面對敵方導彈的飽和攻擊時，可以把所有陣元分成若干組，每一組分別跟蹤和對付一個目標。我們經常聽到某種戰機或者軍艦能同時對付多少個多少個目標，其實，這其中的大部分功勞主要是屬於戰機或者軍艦上的相控陣雷達。普通雷達因為要轉動，大約需要1秒，而相控陣雷達沒有機械轉動的部件所需時間不到1毫秒。相控陣雷達可以在1秒內關機，1秒內開機，好處是，當軍艦遇到依靠雷達信號進行引導的「反雷達導彈」時，可以迅速地把朝向來襲導彈方向的雷達關機，同時，其他方向的雷達保持開啟。總結一下就是相控陣雷達的優點非常多。

相控陣雷達的工作原理並不複雜，我們用matplotlib來模擬一下它的工作過程。相控陣雷達電磁波發射區域位於y軸的25-30區間，通過改變入射電磁波的相位差來控制雷達掃描效果，掃描方向從上往下，我們來看看matplotlib模擬的效果怎麼樣。

代碼比較暴力，感興趣的同學可以聯繫筆者或者自己嘗試一下。