rational inattention的二維例子

來自專欄藏山の測度11 人贊了文章

eric young和luo（2010）在economic inquiry上有一篇講消費理論中rational inattention（ri）的論文。裡面寫了一些關於多元的ri的問題，總的來說，那時候就是沒解決。

ri 中，外生波動的問題是有研究到高維的；如果是所謂的內生波動，既給定矩陣AB，補足AXA+B-X正定約束和信道約束，來看X的大小，而不是直接給出矩陣P，讓X-P正定，那就是內生波動。內生波動問題似乎一直是open的，大家很難找到合適的解。

高維之所以要有有正定約束，是因為單純靠信道約束，取值區間往往是落在兩個錐之間，所以不是有界或者凸的，所以需要新增約束。

上面給的約束是sims在2003論文中給出，他從直接上覺得因為正定約束刻畫了一個凸集，所以大概率這個時候考慮優化就是合適的了。

最近機緣巧合下，碰到了一個其中一個作者luo，然後當時在他開講座的時候，發現可以做出來消費中的二維的一個case，就打算寫一個note。但是現在，則是發現常見的幾個消費的情況我們都可以用那種方法進行計算，所以就開始在寫paper了。

這邊在寫論文時，用到一些只有二維矩陣才有的性質，所以我個人覺得結果很難推到三維，不過三維我想到了利用一個特定的矩陣間的二次型進行化簡的辦法，所以後一個辦法真在三維上成功，可能會有推廣的空間吧。

不過這種靈光一閃，往往會帶來一些意想不到的結果，實際上sims做的一般問題中，會把問題變化成這樣的情況C和B都是正定的對稱矩陣，A是刻畫狀態空間轉移的，k是信道能力，從而尋找一個至少半正定的對稱矩陣X ，是下面優化的解。

max trace(CX)

st det(AXA+B)>=exp（2k）*det（X）

AXA+B-X正定

實際上，我們考慮了常見的消理論中的情況，恰好發現這個問題中的Max是有問題的。之所以高維問題不好求解，至少對於二維問題來說，是因為一般的消費模型，恰好不論參數怎麼取（之前模型中討論的C，其正定性似乎是可以證明的，最近在做這個證明，如果這個證明的話，就是參數不論怎麼取了），都可以構造出一族矩陣，使得trace（CX）趨於正無窮，當然，也需要利率R大於1，或者說r大於零。

隨著這段時間的計算，我基本確定在現有問題中，之所以不行是恰好可以找到一個路徑，這是信道和正定約束下，其相交區域依舊是有一條細小彎曲的錐，可以走到無窮遠，這就是問題了喵喵。

最近在尋找一個新的約束，來進一步解決這個問題，我想如果運氣好的話，今年八月份到十月份我們會成文跑出來，喵喵

當然我們現在知道，只要再找一個合理的約束，基本上可以在我們做的情況下把問題給解決了。不過這樣就需要引入一個新的有經濟含義的約束，嗯，這算是最近一段時間做的比較神奇的事情了。

沒有什麼比總算覺得是做出來了，但是最後發現實際上是自己構造了特定維度下一個足夠廣泛情形無解的反例來的尷尬的了，尤其是找的是合作老師之前論文的bug（也許不算吧）。

anyway，感覺這樣從一個十萬八千流問題，上升了一流，變成了十萬七千多流。

笑

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