可靠性筆記（一） | 故障分布函數

08-03

可靠性筆記（一） | 故障分布函數

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讀《可靠性與維修性工程概論》這本書的筆記。為了自己梳理好思路所以動筆寫。

一個零部件投入使用，可能在某一天發生故障。那麼在投入使用之前，我們就想知道，它發生故障的可能性是多少？顯然不會是一個常數，而是隨時間變化的。

那麼，從數學角度，如何刻畫描述這個零部件的「故障分布」情況呢？既然從數學出發，那一些都是圍繞著某個值和它的概率。

一切的前提，是把這個零部件的故障前時間T（在發生故障之前，已經使用了的時間，不考慮維修的話，即零部件的實際壽命），定義為隨機變數。時間這個變數，用t表示。

我們可以使用四個函數，從四個角度來刻畫故障分布。這四個角度有關聯，可以互相轉化。

部件工作到t時刻，還沒有出現故障的概率。即故障前時間T大於等於t的概率，最原始的表達內容是P{T>=t}，在專業術語上，稱為故障分布的可靠度函數 $R(t)$ 。
部件工作到t時刻，已經出現故障的概率。即故障前時間小於t，故障可能的發生區間為[0,t]，P{T<t}，稱為故障分布的累計分布函數(CDF), $F(t)$ 。
部件故障分布的形態，即累計分布函數取微分，得到故障分布的概率密度函數(PDF), $f(t)$ ，它的來源就是 $dF(t)/dt$ 。如果學過概率論，應該能理解概率密度函數和累計分布函數的關係，就是互為微分（積分）。我沒找到它精準的含義，我覺得不能像一般概念一樣，把f(t)理解成部件在t時刻發生故障的概率。因為再加上一個條件，才能更準確的描述在t時刻發生故障這個情況。
部件在[0,t)正常工作，在t時刻出現故障的概率。這是個條件概率，P{t<=T<=t+Δt}，令Δt趨近於0，稱為故障分布的故障率函數 $lambda(t)$ （瞬時危害率）。

以上，我們就從四個角度描述了同一個故障分布。從定義出發，這四個之間可以相互轉化，具體公式不再列出。

但是，你要和普通人溝通的時候，不能給他看數學公式，告訴他這是我們產品的故障分布情況，這樣對方無法理解。我們需要一些更直觀的數字，來概括性描述這個分布。和任何一組數據一樣，找集中趨勢度量指標（均值、中位數、眾數）和離散趨勢度量指標（方差），它們都從f(t)來。

f(t)的均值，這裡稱為平均故障前時間 $MTTF=int_{0}^{infty}tf(t)dt$ 。稍微理解一下，可以說是部件壽命的均值，就是所有可能的t取值*各自對應的概率，得到均值。
中位數 $t_{med}$ ，在這個值之前/之後發生故障的概率都為0.5。 $R(t_{med})=0.5$
眾數 $t_{mod}$ ，最可能發生故障的時間，即f(t)最大時對應的t值。
方差，表示離散程度，從最基本的定義出發。 $sigma^{2}=int_{0}^{infty}（t-MTTF)^{2}f(t)dt$ 。

此外，還可以引申出一些描述故障分布的函數或指標。

累積故障率函數 $L(t)$ 。對瞬時故障率做積分得到， $int_{0}^{t}lambda(u)du$ ，再具體的含義我也沒有好的描述，至少不能把它和累計分布函數混淆。
平均故障率函數 $AFR(t)=L(t)/t$ ，在一段時間內的故障率積分再除時間段長度，表示這段時間的發生故障率的平均值。
條件可靠度函數 $R(t|T_{0})=P(T>T_{0}+t|T>T_{0})$ ，部件在已經工作 $T_{0}$ 時間的條件下，繼續工作t時間不出故障的概率。可以化簡成 $lambda_{t}$ 的函數。
剩餘MTTF，部件在已經工作 $T_{0}$ 時間的條件下，剩餘壽命的均值。 $=int_{T_{0}}^{infty}R(t|T_{0})dt$

以上，我們完成了用數學表示故障過程的最基礎搭建。回顧一下，我們先引入了隨機變數T（故障前時間），然後給出四個函數，可靠度函數、累計分布函數、概率密度函數和瞬時故障率函數，它們是可以相互轉化的，因為歸根結底都是在描述T和t的關係及對應可能性（在t之前、之後、當時發生故障的概率）；然後推出了四個指標，來概括性描述這個故障分布，發生故障時間（壽命）均值MTTF、中位數、眾數、方差；最後又推導了幾個函數和指標，來更全面的刻畫故障分布，包括累計故障率、平均故障率、條件可靠度、剩餘MTTF。

感受：基本都是概率論的東西，只是背景切換到了部件故障。基礎打牢，後面的理論分布才好理解。