數學家如何計算圓周率到小數點後的無窮位數呢？

07-31

在過去的兩千多年來，絞盡腦汁構想方法來計算圓周率π一直佔據著世界上最偉大的思想。顯然，這些人肯定不一般。古希臘人使用了一個簡單的方法：作出圓的外切和內接正多邊形，計算出這兩個多邊形的周長（這是很簡單的），然後取平均值就能得到一個近似的π。所使用多邊形的邊越多，那麼π的值就越精確。古希臘數學家阿基米德一直加到了96邊形，計算出圓周率在3.1408和3.1428之間。

今天，數學家使用包括收斂的無窮級數在內等更複雜的演算法來更精確地計算圓周率。收斂的無窮級數是一種數列能無限接近（但無法達到）被稱為極限的目標數值。例如，這個數列 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… 的極限是2，這個數列取得項數越多，則值越接近於2。

有關圓周率的收斂無窮級數

很久以前，人們就意識到某些無窮級數收斂於π的分數或倒數。例如，在1671年，數學家戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）發現數列 1 - 1/3 + 1/5 - 1/5 +… 收斂於π/4。這看起來似乎有些奇怪——我的意思是，分數怎會與圓的周長有關呢？——但信不信由你，這確實是。

更多「有效的」無窮級數的發現——即每增加一項，收斂速度越來越快的數列——再加上更強大計算機的發展，人們已經逐漸可以把π計算到小數點後的數千位、數百萬位，直至現在的數萬億位。

為什麼要計算出小數點後數萬億位的圓周率呢？天曉得！實際上，用取到小數點後39位的π來計算已知宇宙的大小，其誤差不大於一個氫原子的半徑。因此，無限追求圓周率的精度，只是人類的一種本能吧。