【公元1800~1849年】- 數學與計算進化史 07

李想

"他的思想深入數學、空間、大自然的奧秘，他測量了星星的路徑、地球的形狀和自然力。他推動了數學的進展直到下個世紀。"

-慕尼黑博物館高斯畫像題詩

法國18世紀後期到19世紀初數學界著名的三個人物：拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）和勒讓德（Legendre)。因為他們三個的姓氏的第一個字母為「L」，又生活在同一時代，所以人們稱他們為「三L」 .

1801 年: 高斯發表《算術研究》

數論領域的劃時代之作

年僅 21 歲的高斯出版了《算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae)揭開了近代數論的研究,它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一. 書中從同餘理論起步, 探討了同餘齊次式, 同餘方程和二次剩餘理論.

初版的封面

關於《算術研究》，還流傳著這樣一個故事，1849年7月16日，哥廷根大學為高斯獲得博士學位五十周年舉行慶祝會。當進行到某一程序時，高斯準備用《算術研究》的一張原稿點煙，當時在場的數學家狄里克雷（後來繼承了高斯的職位），像見到瀆聖行為一樣吃了一驚，他立刻冒失地從高斯手中搶下這一頁紙，並一生珍藏它；他的編輯者在他死後從他的論文中間找到了這張原稿.

1802 年: 托馬斯.楊與三原色原理

世界上最後一個什麼都知道的人

托馬斯·楊(Thomas Young)英國科學家, 物理學家, 醫生, 通才,是一個將科學和藝術並列研究, 對生活充滿熱望的天才.

1802, 他提出大膽假設：所有顏色都可以通過紅、綠、藍三色的混合產生，三者比例不同，顏色就不同.三色理論為彩色電視顯示系統設計奠定了理論基礎.

楊曾進行了著名的楊氏雙縫實驗，證明光以波動形式存在，而不是牛頓所想像的光粒子(Corpuscles),然而，這個理論在當時並沒有受到應有的重視，還被權威們譏為「荒唐」和「不合邏輯」. 但楊並沒有向權威低頭: 「儘管我仰慕牛頓的大名，但是我並不因此而認為他是萬無一失的。我遺憾地看到，他也會弄錯，而他的權威有時甚至可能阻礙科學的進步。」

1807年: 傅里葉與傅里葉級數

政治上牆頭草的數學大師

約瑟夫·傅里葉男爵(Joseph Fourier)法國數學家.物理學家, 在熱傳導研究中,提出任意周期函數可以用三角級數(傅立葉級數)表示,並將其應用於熱傳導理論與振動理論.

函數s(x) （紅色）是六個不同幅度的諧波關係的正弦函數的和。它們的和叫做傅里葉級數。傅里葉變換S(f) （藍色），針對幅度與頻率進行描繪，顯示出6種頻率和它們的幅度

1812年: 拉普拉斯《概率分析論》

被譽為法國的牛頓

皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)法國天文學家, 數學家, 1812年出版800多頁《概率的分析理論》, 代表了當時概率論研究的最高成就. 本書集古典概率論之大成,將分析工具引入概率論, 代替了早期的初等組合方法, 開創了分析概率論的新階段.

拉普拉斯在天體力學的最重要成就是五卷巨著《天體力學》, 後憑此書當選法蘭西學院院士, 成為四十位"不朽者"(Immortels)之一.

1823年: 柯西《無窮小分析教程概論》

"不要讓幾何直觀, 蒙蔽了我們的雙眼."

奧古斯丁·路易·柯西(Augustin-Louis Cauchy), 法國數學家. 於1823年出版《無窮小分析教程概論》,把定積分定義為和的極限,還給出現在通用的廣義積分的定義, 引進柯西積分主值的概念.

柯西紀念郵票及郵戳

柯西在微積分歷史上影響頗深, 他認為全部微積分應當建立在極限思想的基礎上:"當屬於一個變數的相繼的值無限地趨近某個固定值時, 如果最終同固定值之差可以隨意地小, 那麼這個固定值就稱為所有這些值的極限. ".

1824 年:阿貝爾-魯菲尼定理

19世紀最偉大的數學家之一

阿貝爾-魯菲尼定理是代數學中的重要定理。它指出，五次及更高次的多項式方程沒有一般的求根公式. 這個定理以保羅·魯菲尼和尼爾斯·阿貝爾命名. 前者在1799年給出了一個不完整的證明，後者在1824年, 年僅19歲的挪威數學家阿貝爾(Niels Henrik Abel)發表論文《高於四次的一般方程的代數求解之不可能性的證明》, 證明了一般五次方程不可能用根式求解, 從而解決了困擾數學長達 300 多年之久的難題.

法國數學家夏爾·埃爾米特稱讚: 他"豐富的數學思想可以使數學家們忙上五百年. "

紀念阿貝爾的鈔票及郵票

儘管阿貝爾成就極高，卻生前不得志，最後因過度貧窮染上肺結核逝世於挪威的弗魯蘭. 跟同樣早逝的伽羅華一同被奉為群論的先驅.

2001年，為了紀念2002年挪威著名數學家尼爾斯·亨利克·阿貝爾二百周年誕辰, 挪威政府設立阿貝爾獎(bel Prize)數學國際獎項，每年頒發一次，獲譽為數學界最高榮譽之一.

1830 年:查爾斯.巴貝奇與分析機

現代計算機真正的鼻祖

巴貝奇(Charles Babbage)英國維多利亞時代最傑出的人物之一, 在他設計差分機的基礎之上設想出一種分析機(Analytical Engine),可以運行包含「條件」、「循環」語句的程序，有寄存器用來存儲數據，不過與差分機同樣沒有完成.

巴貝奇, 分析機

差分機1號, 2號

1822~1832十年,巴貝奇展示出差分機一號1/7部分，差分機運轉的精密程度仍令當時的人們嘆為觀止, 至今依然是人類踏進科技的一個重大起步. 差分機後因失去了政府的資助而終止.

1832年: 群論

數論中存在最久的未解問題之一

埃瓦里斯特·伽羅瓦(évariste Galois)法國數學家, 在他還只有十幾歲的時候，他就發現了n次多項式可以用根式解的充要條件, 他是第一個使用群這一個數學術語來表示一組置換的人, 確立了群論的基本概念. 與尼爾斯·阿貝爾並稱為現代群論的創始人.

伽瓦羅紀念郵票及手稿

伽羅瓦是一個激進的共和主義者，並因此被逮捕、坐牢. 二十歲出獄後, 因與一位舞女的戀情惹怒了當時的著名神槍手，此神槍手對他發出決鬥，時間在三天後. 自知必死的伽羅瓦在決鬥前三夜將他的所有數學成果狂筆疾書紀錄下來，並時不時在一旁寫下「我沒有時間」，三天後，他在決鬥中中彈，幾天後身亡，時間是1832年5月31日.

1834年: 鴿籠原理

哈密頓路徑問題的一種特殊形式

鴿巢原理，又名狄利克雷抽屜原理. 由德國數學家狄利克雷提出來的.其中一種簡單的表述法為：若有n個籠子和n+1隻鴿子，所有的鴿子都被關在鴿籠里，那麼至少有一個籠子有至少2隻鴿子.

集合論的表述如下：若A是n+1元集，B是n元集，則不存在從A到B的單射.

10隻鴿子放進9個鴿籠，那麼一定有一個鴿籠放進了至少兩隻鴿子

但有時使用鴿巢原理會得到一些有趣的結論：比如：北京至少有兩個人頭髮數一樣多.

證明：假定沒有人有超過100萬根頭髮，但北京人口大於100萬. 如果我們讓每一個鴿巢對應一個頭髮數字，鴿子對應於人，那就變成了有大於100萬隻鴿子要進到至多100萬個巢中. 所以，可以得到「北京至少有兩個人頭髮數一樣多」的結論.

1837 年: 泊松與泊松分布

「人生只有兩樣美好的事情：發現數學和教數學.」

西莫恩·德尼·泊松男爵(Siméon Denis Poisson)，是法國數學家, 物理學家. 在1837年發表《關於判斷的概率之研究》,提出描述隨機變數的泊松分布.

泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數的概率分布. 如某一服務設施在一定時間內受到的服務請求的次數，電話交換機接到呼叫的次數、汽車站台的候客人數、機器出現的故障數、自然災害發生的次數等等.

橫軸是索引k，發生次數。該函數只定義在k為整數的時候

1843年: 四元數(Quaternion)

巧奪天空的靈光乍現

四元數是由愛爾蘭數學家威廉·盧雲·哈密頓(William Rowan Hamilton)在1843年創立出的數學概念.自此用來描述在三位空間物體旋轉變換的工具, 它與常用的另外兩種表示方式（三維正交矩陣和歐拉角）是等價的，但是避免了歐拉角表示法中的萬向鎖問題.比起三維正交矩陣表示，四元數表示能夠更方便地給出旋轉的轉軸與旋轉角.

1844年:塞繆爾·莫爾斯與電報

「上帝創造了何等奇蹟！」

塞繆爾·莫爾斯(Samuel Morse) 美國發明家，摩爾斯電碼的創立者. 1844年5月24日，他坐在華盛頓國會大廈聯邦最高法院會議廳中，向40英里以外的巴爾的摩城發出了歷史上第一份長途電報：「上帝創造了何等奇蹟！」

描述當時場景的畫面

電報的發明，開始了用電作為信息載體的時代，成為人類通信歷史上的一次巨大的飛躍.

1847年: 布爾發表《邏輯的數學分析》

數理邏輯奠基者

喬治·布爾(George Boole)，英格蘭數學家和哲學家，數理邏輯學先驅. 1847年, 他在《邏輯的數學分析》書中展示了如何用代數來表示邏輯.

布爾用數學語言正式地描述了邏輯學理論. 之後這些理論又不斷被修正，更加簡單的形式逐漸被發現. 1999 年, Stephen Wolfram提出，其實只需要一條公理就夠了.

布爾代數抽象公理系統演化

真正讓「布爾（Bool）」這個名字如此廣為人知的不是布爾代數，而是布爾變數. 基本上每一種編程語言都有布爾類型，使得「boolean」一詞廣為流傳.

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參考資料:

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