數學史話之夭折的天才阿貝爾和伽羅瓦

我們每個人都知道，諾貝爾獎每年都有，頒給了很多在各自領域做出了突出貢獻的科學家，但唯獨沒有給數學家的獎項，而數學界的諾貝爾獎則一直由一個叫做菲爾茲的獎項獨佔。然而菲爾茲獎相對於諾貝爾獎來說，不但少（四年一屆），而且條件苛刻（只頒給40歲以下的數學家）。可能是覺得數學家在40歲以後基本已經告別開拓和創新了吧，不過也的確如此，世界範圍內的數學家都是在十分年輕的時候就做出了驚人的成就。而這個世界對於數學家，特別是青年數學家來說，又實在太殘酷了。很多時候，他們需要的不止是才華，還有時代、方向、領域，甚至運氣。比如科普君今天要說的這兩位，都是在生命之花剛開始綻放的時候就凋謝了，如同划過天邊的流星一樣，閃亮而短暫。他們用極其短暫的一生奉獻給人類的卻是"夠科學家忙500年"的成果。他們就是阿貝爾和伽羅瓦。

阿貝爾和伽羅瓦

尼爾斯·亨利克·阿貝爾於1802年出生在挪威的一個小村莊芬德，他的父親是個牧師。當時整個挪威都十分貧窮，阿貝爾從小就處在飢餓之中。他13歲的時候開始入學讀書，這時候它的數學才華開始顯現。在他老師的引導下，16歲的阿貝爾開始閱讀牛頓、歐拉和拉格朗日的著作，並且很快就領會了它們，然後他開始挑戰高斯的《算術研究》，也非常快地掌握了這本"七封印之書"的最深奧難懂的部分。若干年後，有人問阿貝爾如何才能快速地進入一流的行列，阿貝爾回答說：要學習大師們，而不是他們的學生。阿貝爾在學習的過程中發現了前輩們認為已經證明了的，但是實際上並沒有被嚴格證明的很多東西，特別是歐拉的關於無窮級數和拉格朗日的關於分析學的一些內容。阿貝爾決心依靠自己的努力來彌補這些不足，他很快就證明了一般二項式定理，但這只是阿貝爾為了澄清無窮級數理論和應用的極具野心的龐大計劃的一小部分。

二項式定理

然而，到了1820年，阿貝爾的父親去世了，養活全家（阿貝爾有6個弟妹）的重擔壓到了18歲的阿貝爾肩上。他並沒有任何抱怨，繼續利用每一點空閑時間來研究數學。他的第一個目標是解決一般五次方程。在他之前，數學家們已經有解決一般四次方程的方法了，但是當他們信心滿滿地向一般五次方程進軍時卻發現這簡直是一個無法跨越的高峰，他們一直努力了將近三百多年而毫無所得。所謂的一般五次方程就是求類似：ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex=f的代數解。在阿貝爾的論文《論方程的代數解》中，阿貝爾這樣寫道：代數中最有趣的事情就是求方程的解。……，在這篇論文中，我將討論最一般的方程的代數求解問題。雖然阿貝爾並沒有宣稱有了一個完整的解，但是他指出了完全解決他們的可靠的方法。

一元四次方程求解公式

阿貝爾23歲的時候，出版了他的論文，在這篇論文中他證明了用代數方法不可能解一般五次方程。論文印的很模糊，但這已經是挪威當時最好的印刷技術了。阿貝爾動身前往德國和法國，他覺得他的論文就是他在數學界的最好的護照，他特別希望高斯能看到他的這項成果的價值。然而，雖然高斯收到了他的論文，卻完全沒有讀就撇在了一邊，高斯認為沒有人能用這麼短的篇幅（阿貝爾為了省錢，只用了6頁紙）來證明一個這麼難的問題。

高斯

阿貝爾後來認識了克列爾，克列爾十分欣賞阿貝爾，然而他只是個工程師，不是數學家，並不能給阿貝爾提供數學界影響上的幫助，不過克列爾還是把阿貝爾的論文出版在了自己的雜誌上了。

離開德國後，阿貝爾去了法國，然而他在法國的遭遇要比在德國更慘。阿貝爾把他的論文《論非常廣泛的一類超越函數的一般性質》--文中有非常著名的後來被稱為"阿貝爾定理"的結論--交給了巴黎科學院。勒讓德和柯西是評閱人，勒讓德覺得文章很難辨認，甚至墨跡都是模糊的，應該讓作者再寫一遍。而柯西則把論文帶回了家，然後就找不到了。阿貝爾在巴黎住著昂貴且簡陋的公寓，還有一個陰險的房東。他的論文遲遲沒有迴音，最終，阿貝爾的錢花光了，還染上了肺結核。阿貝爾只好孓然一身回到了挪威，繼續從事教育工作。他始終沒有收到任何關於他論文的回復。雖然在克列爾的幫助下，他在挪威數學界已經有了一些名聲，挪威王室也開始重視阿貝爾。然而，當柏林大學聘任他當數學教授的書信送到阿貝爾的寓所時，阿貝爾已經在兩天前去世了。

阿貝爾定理

年僅26歲的阿貝爾就這樣永遠離開了他珍愛的數學，去世時只有他的未婚妻陪伴在他身邊。

如果說柯西弄丟阿貝爾的論文只是個無心之失的話，那麼他對於另外一個天才的打擊甚至可以說是蓄意的了，他就是伽羅瓦，另一個數學天才少年。（我就不放柯西的照片了，說實話，柯西非常對不起他們兩個）

埃瓦里斯特·伽羅瓦於1811年出生在法國巴黎，他的父母都是知識分子，家境也還不錯。伽羅瓦12歲開始進入中學讀書，16歲開始接觸數學。當他一接觸到數學，熱情被瞬間點燃，他對別的科目再也沒有任何興趣了。18歲的時候，伽羅瓦將他的論文《論連分式》呈交給法國科學院，結果又是由柯西進行評閱，顯而易見的，柯西竟然連文章的摘要都丟了，原計劃的聽取會只得宣讀了一篇他自己的論文。

伽羅瓦理論

18歲對於伽羅瓦來說是個流年，他第二次參加綜合工科學校的入學考試，但是那些連給他削鉛筆都不配的人卻坐在了評判他的位置上，於是毫無疑問的，伽羅瓦沒有通過考試。而他的父親由於被人惡意中傷而自殺了，連續的打擊導致了伽羅瓦的性格趨向極端。

次年，伽羅瓦再次將方程式論的結果，寫成三篇論文。文章最後送到了傅里葉的手中，然而傅里葉正好去世了，結果他的文章理所當然的又不見了。當年，法國爆發七月革命，伽羅瓦由於激進的思想而被投入到監獄中，然而對於數學的熱愛，使他即使身處囹圄也做著數學研究。2年後，伽羅瓦被假釋出獄，他愛上了一個舞女，然而那個舞女是有未婚夫的，未婚夫是個軍官，還是當初伽羅瓦坐牢時的獄友。伽羅瓦與對方爭執，最後決定以決鬥來解決爭執。冷靜下來後，他發現毫無勝算，於是連夜寫信給他的朋友們。他將自己所有在數學上的結果寫了下來，期間不停在紙的空白處寫上"我沒有時間"。

伽羅瓦臨死前的手稿

翌日，伽羅瓦如約赴戰，子彈穿過他的腹部，他倒在地上，並在第二天死去了。那年，伽羅瓦才22歲。

伽羅瓦在數學上的功績主要是解決了阿貝爾未解決的一些問題，他使用群論的想法去討論方程式的可解性，整套想法現稱為伽羅瓦理論，是當代代數與數論的基本支柱之一。它直接推論的結果十分豐富：他系統化地闡釋了為何五次以上之方程式沒有公式解，而四次以下有公式解。他漂亮地證明高斯的論斷：若用尺規作圖能作出正p邊形，p為質數的充要條件為p=2^2^k+1,他還解決了古代三大作圖問題中的兩個："不能任意三等分角"，"倍立方不可能"。

群論的邏輯線

14年後，數學家劉維爾在他創辦的《純粹數學和應用數學》雜誌上首次發表了伽羅瓦的部分文章。而第一個全面介紹伽羅瓦理論的是若爾當，他在1870年出版的《論置換群與代數方程》一書給出伽羅瓦應用置換群這一工具，不僅證明一般高於四次的代數方程不能用根式求解，而且還建立了具體數字代數方程可用根式解的判別準則。應用伽羅瓦理論很容易地否定回答所謂幾何三大難題。

天才的數學家不易得，有了天才的數學家還要有發現他們天才的眼睛就更不易得了。很明顯，高斯不是這樣的人，柯西更加不是這樣的人。在這點上，伯努利家族和歐拉無疑是佼佼者。