物理學中的架構和美

07-27

當廣義相論論最後成功解釋天體現象的時候，有人問愛因斯坦，假如你觀測到的現象和你的理論有不同的時候，你會怎麼想？

愛因斯坦說，「我會替造物者惋惜，居然不懂得用到這樣漂亮的理論.」

為什麼漂亮呢？因為用了等效原理，同時能夠解釋天體的問題. 愛因斯坦後來多次講到，數學的美是很重要的，甚至比實踐還要重要. 愛因斯坦講授相對論的經典場景如圖1上圖所示.

圖1 黑板的力量——愛因斯坦、狄拉克

1963年，狄拉克 (PaulAdrien Maurice Dirac, 1902~1984, 1933 年諾貝爾物理學獎得主，如圖1下圖所示)曾超凡脫俗地指出：「這個結果太美了以至於不可能是假的.使一個方程具有美感比使它去符合實驗更重要 (This result is too beautiful to befalse; it is more important to have beauty in one"s equations than to have themfit experiment).」

由此看來，在美和與實驗相符合二者間，狄拉克首選的是美！簡單性原則(principle of simplicity) 和數學美原則(principle of mathematical beauty) 都是科學要遵循的基本原則，但當兩者發生衝突時，哪個原則更高？

1936年2 月6 日，37歲的狄拉克在他的題為《數學和物理學之間的關係》(The Relation between Mathematics and Physics)的斯科特獎 (James Scott prize) 的演講中談到，研究工作者在他致力於用數學形式表示自然界時，應該主要追求數學美.他還應該把簡單性附屬於美而加以考慮.通常的情況是，簡單性的要求和美的要求是相同的，但在它們發生衝突的地方，數學美比簡單美更為重要.狄拉克甚至用了「偉大的數學美(great mathematical beauty)」之稱謂.狄拉克的科學美學觀包含一般性(generality)、普適性(universality)、完備性(completeness). 從牛頓力學到相對論，變換群需要從伽利略群到洛倫茲群.狄拉克認為，洛倫茲群要比伽利略群美的多(much more beautiful)，因為洛倫茲群更具有一般性，而伽利略群只不過是洛倫茲群的一個特例.

如圖2所示，被公認為二十世紀最偉大的數學家希爾伯特 (David Hilbert, 1862~1943) 的接班人的赫爾曼·外爾 (Hermann Weyl, 1885~1995) 曾對弗里曼·戴森 ( Freeman Dyson, 1923~ ) 半開玩笑地說：「我的工作總是努力將真與美統一起來；但是，如果只能選擇其中之一，那麼我選擇美(My work has always tried to unite the true with the beautiful and when I had to choose one or the other, I usually chose the beautiful.)」戴森指出，這段話是對他個性的完美概括，表明他對自然終極和諧的深刻信念，自然的規律必將以數學美的形式呈現出來.

圖2 希爾伯特、外爾師生在一起 (1925)

徐一鴻 (Anthony Zee) 也指出：「讓我們先來關心美吧，而真用不著我們操心！(Let us worry about beauty first, and truth will take care of itself!)」在很多數學家和物理學家眼裡，美先於真 (beauty before truth).

楊振寧等許多著名物理學家也都討論過物理學之美. 關於圖3，楊振寧於 2017 年 7 月 26 日，針對該照片給著者回復：That photo was taken at the Rochester Conference in the summer of 1957. I was the chairman of that session, and Feynman was the speaker.——CNY.

圖3 黑板的力量——費曼、楊振寧

玻爾茲曼(Ludwig Boltzmann, 1844~1905) 在閱讀了麥克斯韋的文章後將其和音樂做出了如下著名的類比：

「正像音樂家在聽到幾個音節後，即能辨認出莫扎特 (Mozart)、貝多芬 (Beethoven) 或舒伯特 (Schubert) 的音樂一樣，一位數學家也能在讀了數頁文字後辨認出柯西 (Cauchy)、高斯 (Gauss)、雅可比 (Jacobi)、亥姆霍茲 (Helmholtz) 或基爾霍夫 (Kirchhoff) 的工作. 法國作者極為注意形式上的優美，而英國人，尤其是麥克斯韋則表現出具有戲劇感. 例如，誰不熟悉麥克斯韋有關空氣動力學理論的研究報告？先是莊嚴地展開速度的變化，接著從一個方面引入狀態方程，從另一個方面引入中心場的運動方程. 公式的變化令人眼花繚亂. 突然，我們好像聽到了四次定音鼓的沖打聲，不吉利的精靈『取n=5』消失了：就像迄今在樂曲中的低音部里佔主導地位的形象突然沉默了一樣…… 麥克斯韋寫的並不是附有說明註解的標題音樂，……一個結果迅速地接著另一個結果，直到最後，作為一個意外的高潮，我們得到了熱平衡條件和輸運係數的表達式. 帷幕降下來了.」

楊振寧指出：物理學的原理有它的結構.這個結構有它的美和妙的地方.而各個物理學工作者，對於這個結構的不同的美和妙的地方，有不同的感受.因為大家有不同的感受，所以每位工作者就會發展他自己獨特的研究方向和研究方法.也就是說他會形成他自己的風格.

為了解釋物理學不同的內涵特點，請看圖4 所表示的物理學的三個領域和其中的關係：唯象理論(phenomenological theory) (2) 是介乎實驗 (1) 和理論架構(3) 之間的研究.(1) 和(2) 合起來是實驗物理，(2)和(3) 合起來是理論物理，而理論物理的語言是數學.

圖 4 物理學中的三個領域

物理學的發展通常自實驗(1) 開始，即自研究現象開始.關於這一發展過程，我們可以舉很多大大小小的例子.先舉牛頓力學的歷史為例.第谷·布拉赫(Tycho Brahe, 1546~1601) 是實驗天文物理學家，活動領域是(1). 他做了關於行星軌道的精密觀測.後來開普勒(Johannes Kepler, 1571~1630) 仔細分析布拉赫的數據，發現了開普勒三大定律.這是唯象理論(2). 最後牛頓創建了牛頓力學與萬有引力理論，其基礎就是開普勒的三大定律.這是理論架構(3).

再舉一個例子：通過十八世紀末、十九世紀初的許多電學和磁學的實驗(1)，安培(André-Marie Ampère, 1775~1836) 和法拉第(Michael Faraday, 1791~1867) 等人發展出了一些唯象理論(2). 最後由麥克斯韋歸納為麥克斯韋方程，才步入理論架構(3) 的範疇.

另一個例子：十九世紀後半葉許多實驗工作(1) 引導出普朗克 (Max Planck, 1858~1947,1918 年諾貝爾物理學獎得主，如圖5右所示)1900 年的唯象理論(2). 然後經過愛因斯坦的文章和上面提到過的玻爾的工作等，又有一些重要發展，但這些都還是唯象理論(2). 最後通過量子力學之產生，才步入理論架構(3) 的範疇.

圖 5 黑板的力量——玻爾、普朗克在寫有麥克斯韋方程組的黑板前交談

圖6 標明玻爾 (Niels Bohr, 1885~1962,1922 年諾貝爾物理學獎得主，如圖5左所示)、海森堡(Werner Heisenberg, 1901~1976, 1932 年諾貝爾物理學獎得主，如圖7上圖所示)、薛定諤(Erwin Schr?dinger, 1887~1961, 1933 年諾貝爾物理學獎得主，如圖7下圖所示)和愛因斯坦的研究領域.愛因斯坦興趣廣泛，在許多領域中，自(2) ~ (3) ~ (4)，都曾做出劃時代的貢獻.

圖 6 幾位大物理學家的研究領域

事實上，海森堡也曾為「美」下過著名的定義：「美是各部分之間以及各部分與整體之間固有的和諧 (beauty is the proper conformity of the parts to one another and to the whole).」

圖7 黑板的力量——海森伯、薛定諤

物理學自(1) ~ (2) ~ (3) 是自表面向深層的發展. 表面有表面的結構，有表面的美.譬如虹(rainbow) 和霓 (secondary rainbow) 是極美的表面現象，人人都可以看到.如圖8，實驗測量發現虹是42°的弧，紅在外，紫在內；霓是 50°的弧，紅在內，紫在外.這種準確規律增加了人們對自然現象的美的認識.這是第一步(1). 進一步的唯象理論研究(2) 使物理學家了解到這42°與50°可以從陽光在水珠中的折射與反射推算出來，此種了解顯示出了深一層的美.再進一步的研究更深入了解折射與反射現象本身可從一個包容萬象的麥克斯韋方程推算出來，這就顯示出了極深層的理論架構(3) 的美.

圖8 虹和霓的區別

牛頓運動方程、麥克斯韋方程、愛因斯坦狹義與廣義相對論方程、狄拉克方程、海森堡方程和其他五、六個方程是物理學理論架構的骨幹.它們提煉了幾個世紀的實驗工作(1) 與唯象理論(2) 的精髓，達到了科學研究的最高境界.它們以極度濃縮的數學語言寫出了物理世界的基本結構，可以說它們是造物者的詩篇.

這些方程還有一方面與詩有共同點：它們的內涵往往隨著物理學的發展而產生新的、當初所完全沒有想到的意義.舉兩個例子：上面提到過的十九世紀中葉寫下來的麥克斯韋方程是在本世紀初通過愛因斯坦的工作才顯示出高度的對稱性，而這種對稱性以後逐漸發展為二十世紀物理學的一個最重要的中心思想.另一個例子是狄拉克方程.它最初完全沒有被數學家所注意，而今天狄拉克流形(Dirac manifold) 已變成數學家熱門研究的一個新課題.

學物理的人了解了這些像詩一樣的方程的意義以後，對它們的美的感受是既直接而又十分複雜的.

它們的極度濃縮性和它們的包羅萬象的特點也許可以用《費曼物理學講義》第一卷第三章的末尾，費曼寫了一段很優美的話來描述：

有位詩人曾經說過，「整個宇宙就在一杯酒中(The whole universe is in a glass of wine)」.我們也許永遠不會知道他是在什麼意義上說這句話的，因為詩人寫詩不是為了被理解. 不過當我們足夠細緻地觀察一杯酒時，我們的確可以看到整個宇宙. 那裡有很多物理的東西：以一種與風和天氣有關的方式蒸發著的液體，玻璃上的反射，以及我們想像力所添加的原子. 玻璃是地球岩石的提煉物，從它的成分里我們窺視到宇宙的年齡和星體演化的奧秘. 酒裡面有什麼奇妙的化學組成？它們從何而來？??如果我們的綿薄智力為了便利之故將這杯酒，這個宇宙，分成了幾個部分——物理學、生物學、地質學、天文學、心理學，等等——那麼要記住大自然並不知道這一切！因此讓我們把所有這些都放回去，別忘記酒最終是為了什麼. 讓它最後再給我們一次快樂吧：喝掉它，然後把一切都忘掉！

本文摘編自趙亞溥著《力學講義》第一篇第一講，內容有刪減。

（本期編輯：安靜）

力學講義

趙亞溥著

責任編輯劉信力

北京：科學出版社 2018.05

ISBN：978-7-03-057180-9

《力學講義》是著者為中國科學院大學(國科大)一年級本科生講授《普通物理·力學》A班課程三年後，進一步沉澱和凝練而成的教材。針對國科大特別是A班的教學特點，著者在借鑒和吸收朗道、栗弗席茲理論物理教程第一卷《力學》突出優點的基礎上，結合近年來相關的重大科學進展，適當地增加了一些新的內容，並給出了豐富的例題和思考題。《力學講義》的主體內容包括：牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學、連續介質和非線性力學初步、生命力學初步、相對論和量子力學初步等內容。著者將啟人心智的「思想實驗」和「類比」、發人深省的科學典故以及鮮活生動的學科前沿巧妙、生動地結合在一起，在教學改革方面做了深入探索。

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