七、完全平方公式

七、完全平方公式

　　兩個數和的平方怎樣計算呢？兩個數的和表示為a＋b，這兩個數和的平方則表示為；（a＋b）²。根據乘方的意義

　　（a＋b）²＝（a＋b）×（a＋b）

　　＝［（a＋b）×a］＋［（a＋b）×b］

　　＝a²＋ab＋ab＋b²＝a²＋2ab＋b²

　　同樣，兩個數差的平方可推導如下：

　　（a－b）²＝（a－b）×（a－b）

　　＝［（a－b）×a］［（a－b）×b］

　　＝a²－ab－ab＋b²＝a²－2ab＋b²

　　也就是說，兩數和（或差）的平方，等於它們的平方的和加上（或者減去）它們的積的2倍。用字母表示為：

　　（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²

　　（a－b）²＝a²－2ab＋b²

　　上面這兩個公式叫做完全平方公式。應用完全平方公式，可以使一些乘方計算變得簡便。

例9 計算下面各題：

　　（1）105²；

　　（2）196²。

解：

　　（1）原式＝（100＋5）²＝100²＋2×100×5＋5²

　　＝10000＋1000＋25

　　＝11025

　　（2）原式＝（200－4）²＝200²－2×200×4＋4²

　　＝40000－1600＋16＝38400＋16

　　＝38416

例10 計算下面各題：

　　（1）42²；

　　（2）54²；

　　（3）98²；

　　（4）993²；

　　（5）1002²。

解：

　　（1）原式＝（40＋2）²＝40²＋2×40×2＋2²

　　＝1600＋160＋4

　　＝1764

　　（2）原式＝（50＋4）²＝50²＋2×50×4＋4²

　　＝2500＋400＋16＝2916

　　或 原式＝（60－6）²＝60²－2×60×6＋6²

　　＝3600－720＋36

　　＝2916

　　（3）原式＝（90＋8）²＝90²＋2×90×8＋8²

　　＝8100＋1440＋64

　　＝9604

　　或 原式＝（100－2）²＝100²－2×100×2＋2²

　　＝10000－400＋4＝9604

　　（4）原式＝（1000－7）²＝1000²－2×1000×7＋7²

　　＝1000000－14000＋49＝986049

　　（5）原式＝（1000＋2）²＝1000²＋2×1000×2＋2²

　　＝1000000＋4000＋4＝1004004

　　由以上例題可以看出，有些題的解法不只一種，故應選用較簡單的方法進行計算。