一點廣義相對論（1）：引力場中的時間和空間

07-25

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本文是關於廣義相對論的一點粗淺的理解。

1.引力場中靜止的局域參考系和非慣性系等效

我們知道，牛頓定律是在慣性系中成立的，如果參考系有加速度，則牛頓定律不再成立，因為加速系中的自由質點會做變速運動，牛頓第一定律不再成立。但是，只要我們引入慣性力，則牛頓定律仍然可以成立。如果一個參考系的加速度為 $m a$ ，則相應的慣性力為（下標 $I$ 表示慣性）

$m F_I=-m_Im a$ （1）

此時，參考系中靜止的自由質點會以相同的加速度 $-m a$ 做勻加速運動。

另一方面，靜止在地球表面的慣性系中，所有質點都會受到引力作用（下標G表示引力）

$m F_G=m_Gm g$ （2）

式中， $m g$ 表示引力場強度，如果慣性系足夠小，則引力場強度在這個慣性系中是一個常矢量。根據牛頓第二定律可得，這個慣性系中的質點下落的加速度為

$m a=frac{m_G}{m_I}m g$ （3）

如果 $frac{m_G}{m_I}$ 對於所有物質來說都是相等的，那麼為了用起來方便，可以通過重新定義萬有引力常數 $G$ 使得 $m_I=m_G$ 。實驗是支持 $m_I=m_G$ 的（或者二者成正比，比例係數對任意物質都相等），這一事實相當於地球表面的小慣性系中所有自由釋放的質點都以相同的加速度下落。而在非慣性系中所有自由釋放的質點也是以相同的加速度運動的。那麼對於一個封閉慣性系（比如封閉的電梯）中的觀察者，他能不能通過測量來判斷出這個參考系是某個天體的引力場靜止的參考系，還是遠離任何天體的太空中的加速參考系呢？愛因斯坦認為這是不可能的，他提出：引力場中靜止的局域參考系和無窮遠處的加速參考系是等效的，引力和慣性力在局域是不可區分的。局域的意思是要求參考系空間範圍足夠小，否則由於引力是不均勻的，可以通過測量參考系中不同位置的質點自由運動時加速度的細微區別來區分慣性力和引力。

2.引力場中自由下落的局域參考系和慣性系等效

我們知道，在非慣性系中自由運動的參考系是一個慣性系，這是顯而易見的。那麼在引力場中自由運動的參考系呢？現在來分析引力場中自由下落的局域參考系（局域是為了使參考系中不同位置的引力場強度的差別可以忽略不計），此時該參考系中的觀察者和其中的所有質點都一起自由下落，他們之間相對加速度為零，相對於觀察者靜止的質點一直保持靜止，做勻速運動的質點一直做勻速運動，這個觀察者無法區分他是處在一個遠離任何引力場的慣性系中，還是處在一個在引力場中自由下落的局域參考系中。這啟發我們做出這樣的假設：引力場中自由下落的局域參考系和無窮遠處的慣性系等效。這樣就通過自由下落的局域參考系把引力取消了。

3.引力場中的時間和尺子

這裡考慮的是忽略自轉的球形天體的引力場。我們在空間做一個球坐標系 $(r, heta,varphi)$ ，然後把球形天體放在坐標原點處。當引力場不存在時，在空間某點沿著三個坐標軸的線元分別為 $dr$ ， $rd heta$ 和 $rsin heta dphi$ ，當有引力場存在時是否還是這樣這是我們需要推導的。

現在，假設有一個局域慣性系 $K$ 從無窮遠處沿著某條矢徑的反方向做自由落體運動， $K$ 系中的坐標軸 $x$ ， $y$ ， $z$ 軸分別平行於 $r, heta,varphi$ 軸。局域慣性系 $K$ 依次通過 $r$ 軸上的各個坐標，在 $K$ 系中看來， $r$ 軸上每一個坐標的微小鄰域都是一個沿著矢徑方向運動的加速參考系，而 $K$ 系自己還是處於無窮遠處的慣性系。假設當 $K$ 系經過坐標 $(r, heta,varphi)$ 位置時，正好與一個靜止於引力場中的 $K$ 系重合，如圖所示，在 $K$ 系中建立一個局域直角參考系 $(x,y,z)$ ，分別與 $(r, heta,varphi)$ 坐標軸重合，也就是與 $(x,y,z)$ 軸平行。

在 $K$ 系看來， $K$ 是一個沿著 $r$ 軸加速的非慣性系，而非慣性系在每個瞬時又都可以看做是一個瞬時慣性系（可以參考慣性繫到非慣性系的Moller變換），所以我們可以把 $K$ 看做是一個瞬時慣性系，從 $K$ 到 $K$ 的變換為洛倫茲變換，由於只能瞬時滿足洛倫茲變換，所以我們取洛倫茲變換的微分形式，得到

$dt=gamma(dt-frac{v}{c^2}dx)$ ， $dx=gamma(dx-vdt)$ ， $dy=dy$ ， $dz=dz$ （4）

在 $K$ 系中看來， $K$ 系中靜止的時鐘間隔和沿著 $r$ 方向靜止的尺子微元的長度分別為

$dt=gamma^{-1}dt$ ， $dx=gamma dx$ （5）

設 $K$ 系和 $K$ 系的相對速度為 $v$ ，根據機械能守恆定律可得 $varphi(r)+frac{1}{2}v^2=0$ ，即 $v^2=-2varphi$ ，代入（5）式可得

$dt=sqrt{1+frac{2varphi}{c^2}}dt$ ， $dx=frac{dx}{sqrt{1+frac{2varphi}{c^2}}}$ （6）

將引力勢 $varphi=-frac{GM}{r}$ 代入上式，可得

$dt=sqrt{1-frac{2GM}{c^2r}}dt$ ， $dx=frac{dx}{sqrt{1+frac{2GM}{c^2r}}}$ （7）

由於 $K$ 系與無窮遠處靜止的慣性系等價，也就是與不存在引力時這個空間任意位置處靜止的參考系等價，我們可以將（7）式中的 $dx$ 換成 $dr$ ，表示不存在引力時，此處沿著 $r$ 方向上的線元，而 $dt$ 表示不存在引力時此處靜止的時鐘的時間間隔（或者表示無窮遠處靜止的時鐘的時間間隔），這樣（7）式又變為

$dt=sqrt{1-frac{2GM}{c^2r}}dt$ ， $dx=frac{dr}{sqrt{1-frac{2GM}{c^2r}}}$ （7）

$K$ 系是一個瞬時慣性系，其四維間隔為

$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$ （8）

將（7）式代入（8）式，並注意到垂直於 $r$ 的線元與沒有引力時是一樣的，用球坐標表示，（8）式變為

$ds^2=(1-frac{2GM}{c^2r})c^2dt^2-frac{dr^2}{1-frac{2GM}{c^2r}}-r^2d heta^2-r^2sin^2 heta dphi^2$ （9）

這就是沒有自轉的球對稱天體周圍的四維間隔，而不存在引力場時的時空間隔為

$ds^2=c^2dt^2-dr^2-r^2d heta^2-r^2sin^2 heta dphi^2$ （10）

對比（9）和（10）（或者直接看（7）式）可發現，沒有引力場存在時空間某點靜止的（或者有引力場存在時無窮遠處靜止的）時鐘經過時間 $dt$ ，則引力場存在時，該坐標點的靜止時鐘經過的時間為 $dar{t}=sqrt{1-frac{2GM}{c^2r}}dt$ ，這就是引力場中時間膨脹（變慢）效應。同理，當沒有引力場時，沿著 $r$ 方向的坐標差就表示兩點的長度 $dr$ ，但是當有引力場存在時，這兩個點的長度變為 $dar{r}=frac{dr}{sqrt{1-frac{2GM}{c^2r}}}$ ，需要注意的是，當有一束光在引力場中通過時，當它經過某一點附近時（假設光沿著徑向傳播），用這個位置的時鐘和尺子測量到的光速還是 $c$ ，此處的速度應該是 $v=frac{dar{r}}{dar{t}}$ ，這是因為引力場中的局域靜止的參考系可以等效為一個慣性系。但是，在遠離引力場的位置看來，光在經過引力場的時候速度改變了，因為遠離引力場的觀察者測量的速度是 $v=frac{dr}{dt}$ 。

如果我們用一個薄膜來類比時空，在薄膜上建立直角坐標，則引力不存在時，薄膜上的直角坐標系就是一個二維的「平面直角坐標系」，現在我們在薄膜上放置一個小球，由於小球使得薄膜向下凹陷了，薄膜不均勻拉伸，使得直角坐標軸上兩個坐標點之間的距離發生變化，不再等於坐標的差值，而且在不同位置兩個坐標間隔相同的點之間的距離是不一樣的，這對應一張彎曲的薄膜。與此類比，可以形象地把引力場中的時空形容為「彎曲的時空」，或者說引力場使得時空彎曲了，但是在局部仍然可以看做是平直的時空（即引力場中局域的靜止參考系可以等效為是一個瞬時的慣性系）。與此對應，無窮遠處（或者引力場不存在時）的時空則是平直時空。