規範化的Ricci流，指數速度收斂

07-25

規範化的Ricci流，指數速度收斂

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這篇文章是 Ricci曲率張量大於0的3維閉流形上的Ricci流的第五部分，也是最後一部分。這篇文章的主要內容有三部分：第一部分，介紹規範化的Ricci流的一些基本性質；第二部分，證明在Ricci曲率大於0的三維閉流形上，規範化的Ricci流按照指數速度收斂於常曲率度量；第三部分，完成一開始 Ricci曲率張量大於0的3維閉流形上的Ricci流中主要定理的證明。

這篇文章主要參考了 [1]。

一、規範化的Ricci流的一些基本性質

我們所說的Ricci流一般是指 $partial_tg=-2Ric$ ，也就是非規範化的Ricci流（unnormalized Ricci flow）。規範化的Ricci流（normalized Ricci flow）是指方程 $partial_widetilde twidetilde g=frac 2nwidetilde rwidetilde g-2widetilde {Ric}$ ，其中 $n$ 為流形 $M$ 的維數， $widetilde r=frac{int_M widetilde Rdwidetildemu}{int_M dwidetildemu}$ 為數量曲率的積分平均值。

規範化的Ricci流的特點是保持體積不變，原因如下：在局部坐標系 $(U;x^i)$ 下看，體積元 $dwidetildemu=widetildemu dx,widetildemu=sqrt{det(g_{ij}})$ ，利用對行列式求導的公式可計算得 $frac1{widetildemu}frac{partial widetildemu}{partial widetilde t}=frac12widetilde g^{ij}frac{partial widetilde g_{ij}}{partial widetilde t}=frac12widetilde g^{ij}(frac2nwidetilde rwidetilde g_{ij}-2widetilde R_{ij})=widetilde r-widetilde R$ ，即 $frac{partial (dwidetildemu)}{partial widetilde t}=(widetilde r-widetilde R)dwidetildemu$ ，因此 $frac{d}{dwidetilde t}(int_Mdwidetildemu)=int_Mfrac{partial(dwidetildemu)}{partial widetilde t}=int_M(widetilde r-widetilde R)dwidetildemu=0$ 。這說明體積在規範化得Ricci流下是不變的。

同時非規範化的Ricci流 $partial_tg=-2Ric$ 的解在經過一個空間上的伸縮（rescaling）和時間上的重新參數化（reparametrization）後能變成規範化的Ricci流 $partial_widetilde t widetilde g=frac2nwidetilde rwidetilde g-2widetilde {Ric}$ 的解，具體如下：設 $g(t)$ 滿足方程 $partial_tg=-2Ric$ ，取一個只跟時間有關的函數 $psi(t)>0$ ，使得 $widetilde g(t)=psi(t)g(t)$ 對應的體積恆為 $1$ ，即 $int_Mdwidetildemuequiv1$ 。注意，在局部坐標系 $(U;x^i)$ 下看 $dwidetildemu=widetildemu dx,widetildemu=sqrt{det(widetilde g_{ij})}=psi^{n/2}sqrt{det(g_{ij})}=psi^{n/2}mu$ ，因此 $dwidetildemu=psi^{n/2}dmu$ ，從而 $psi(t)$ 可由等式 $psi^{n/2}int_Mdmuequiv 1$ 完全確定。對時間上來說，則令 $widetilde t=int_0^tpsi(s)ds$ 。

我們將證明 $partial_widetilde twidetilde g=frac 2nwidetilde rwidetilde g-2widetilde {Ric}$ ：首先考察各種幾何量在空間伸縮下的變化， $widetilde g_{ij}=psi g_{ij},widetilde g^{ij}=psi^{-1}g^{ij}$ ，因此Christoffel符號的變化為 $widetildeGamma_{ij}^k=frac12 psi^{-1}g^{kl}(psi partial_ig_{jl}+psi partial_jg_{il}-psi partial_l g_{ij})=Gamma_{ij}^k$ （其中 $psi$ 只與時間有關，因此對空間方向求導為0， $partial_ipsiequiv0$ ），即Christoffel符號是不變的。利用黎曼曲率張量的計算公式可得 $widetilde R_{ijk}^l=R_{ijk}^l$ ，因此 $widetilde R_{ij}=widetilde R_{kij}^k=R_{kij}^k=R_{ij}, widetilde R=psi^{-1}g^{ij}cdot R_{ij}=psi^{-1}R$ 。最後計算 $widetilde r$ ， $widetilde r=frac{int_M widetilde Rdwidetildemu}{int_M dwidetildemu}=frac{int_M psi^{-1}Rcdot psi^{n/2}dmu}{1}$ ，利用 $psi^{n/2}int_M dmuequiv1$ 得 $widetilde r=psi^{-1}frac{int Rdmu}{int_M dmu}=psi^{-1}r$ 。

現在，利用求導的鏈式法則， $partial_widetilde twidetilde g_{ij}=frac{dt}{dwidetilde t} imespartial_t(psi g_{ij})=psi^{-1} imes(frac{dpsi}{dt}cdot g_{ij}+psicdot partial_tg_{ij})=frac{d(logpsi)}{dt}cdot g_{ij}-2R_{ij}$ ，因此只需計算 $frac{d(logpsi)}{dt}$ 。對 $psi^{n/2}int_M dmuequiv1$ 兩邊取 $log$ 得 $frac n2logpsi+logint_Mdmu=0$ ，因此只需計算 $frac{d}{dt}(logint_Mdmu)=frac{int_M frac{partial (dmu)}{partial t}}{int_Mdmu}$ 。由 $dmu=mu dx,mu=sqrt{det(g_{ij})}$ 及行列式得求導公式得 $frac1{mu}frac{partial mu}{partial t}=frac12g^{ij}frac{partial g_{ij}}{partial t}=frac12g^{ij}(-2R_{ij})=-R,frac{partial(dmu)}{partial t}=-Rdmu$ ，因此 $frac{d}{dt}(logint_Mdmu)=frac{int_M -R dmu}{int_Mdmu}=-r$ ，故 $frac{d(logpsi)}{dt}=-frac2nfrac{d}{dt}(logint_Mdmu)=frac2nr$ 。最終 $partial_widetilde twidetilde g_{ij}=frac{d(logpsi)}{dt}cdot g_{ij}-2R_{ij}=frac2nrg_{ij}-2R_{ij}=frac2nwidetilde rwidetilde g-2widetilde R_{ij}$ ，於是我們證明了 $widetilde g(widetilde t)$ 滿足規範化Ricci流的方程。

二、指數速度收斂

現在我們回到Ricci曲率大於0的三維閉流形上，設 $g(t),tin[0,T)$ 為非規範化Ricci流的解， $T$ 為解的最大存在時間，則 $widetilde g(widetilde t),widetilde tin[0,widetilde T)$ 為上述時空變化後得到的對應的規範化Ricci流的解， $widetilde T$ 為對應的解的最大存在時間。

小結一下上面得到的各種幾何量在空間伸縮下的變化， $widetilde g_{ij}=psi g_{ij},;widetilde g^{ij}=psi^{-1}g^{ij},;widetildeGamma_{ij}^k=Gamma_{ij}^k,;widetilde R_{ijk}^l=R_{ijk}^l,;widetilde R_{ij}=R_{ij}, \ widetilde R=psi^{-1}R,; widetilde r=psi^{-1}r$ 。根據變化後出現的 $psi$ 的次數，我們可以稱 $g_{ij}$ 的次數為 $1$ ， $g^{ij},R,r$ 的次數為 $-1$ ， $Gamma_{ij}^k,R_{ijk}^l,R_{ij}$ 的次數為 $0$ 。於是，我們可以把之前文章里得到的、在非規範化Ricci流的情形下、關於次數為 $0$ 的幾何量的定理直接搬過來。

以下，經過時空變化後的幾何量上面都加上了波浪號。

【命題1】在Ricci曲率大於0的三維閉流形 $M$ 上，設 $widetilde g(widetilde t),widetilde tin[0,widetilde T)$ 為上述時空變化後得到的對應的規範化Ricci流的解， $widetilde T$ 為對應的解的最大存在時間，則有如下命題成立：

1.存在與時間無關的常數 $varepsilon>0$ ，使得 $widetilde {Ric}geq varepsilonwidetilde Rwidetilde g$ 對於任意 $widetilde tin[0,widetilde T)$ 都成立。

2. $widetilde R_{min}/widetilde R_{max} o 1;(widetilde t o widetilde T)$

3. $widetilde S/ widetilde R^2 o frac13;(widetilde t o widetilde T)$ ，其中 $widetilde S=|widetilde{Ric}|^2$ 。

【證明】注意到命題中涉及到的所有幾何量的次數都為0，即 $widetilde {Ric}=Ric,widetilde Rwidetilde g=Rg,widetilde S/ widetilde R^2=S/ R^2，widetilde R_{min}/widetilde R_{max}=R_{min}/R_{max}$ ，並且 $t o TLeftrightarrow widetilde t o widetilde T$ 。因此，第一個命題即由 Ricci曲率張量大於0的3維閉流形上的Ricci流中的結果得到，第二、三個命題即由 Ricci流解的長時間存在性，有限時間奇點的分析中的結果得到，證畢。

【命題2】在命題1的條件下， $widetilde R_{max}leq C,forall widetilde tin[0,widetilde T)$ 。其中 $C>0$ 為不依賴於時間的常數。

【證明】在此命題的證明中， $C>0$ 代表與時間無關的常數。注意，我們已證明過在非規範化Ricci流下 $R>0$ 是保持的，又因為 $psi>0$ ，故變化後對應的 $widetilde R>0$ 。

由命題1中的 $widetilde {Ric}geq varepsilonwidetilde Rwidetilde g$ 可知Ricci曲率下界 $varepsilon widetilde R_{min}>0$ ，由Myers定理得直徑 $widetilde dleq Cwidetilde R_{min}^{-1/2}$ ，由 $widetilde {Ric}geq0$ 時的體積比較定理得體積 $widetilde Vleq Cwidetilde d^3$ 。從而 $widetilde Vleq Cwidetilde R_{min}^{-3/2}$ ，但是我們知道上述時空變化後得到的對應的規範化Ricci流的解的體積 $widetilde Vequiv 1$ ，故 $widetilde R_{min}leq C$ 。再由命題1， $widetilde t o widetilde T$ 時 $widetilde R_{min}/widetilde R_{max} o 1$ ，因此我們得到 $widetilde R_{max}leq C$ ，命題得證。

【命題3】在命題1的條件下， $widetilde T=+infty$ 。

【證明】 $frac{dwidetilde t}{dt}=psi,widetilde r=psi^{-1}r$ 。由 Ricci流解的長時間存在性，有限時間奇點的分析中的結果可知 $int_0^Trdt=+infty$ ，故 $int_0^{widetilde T} widetilde rdwidetilde t=int_0^Trdt=+infty$ 。由命題2知 $widetilde rleq widetilde R_{max}leq C,forall widetilde tin[0,widetilde T)$ ，故要使上述積分為 $+infty$ 只有 $widetilde T=+infty$ ，證畢。

【命題4】在命題1的條件下，存在與時間無關的常數 $alpha>0$ ，使得 $widetilde R_{min}geq alpha,forall tin[0,+infty)$

【證明】在此命題的證明中， $C>0$ 代表與時間無關的常數。

由命題1的結果 $widetilde S/widetilde R^2-frac13 o 0;(widetilde t o +infty)$ ，可知 $frac{|widetilde{Ric}-frac13widetilde Rwidetilde g|^2}{widetilde R^2} o 0;(widetilde t o +infty)$ ，這說明當 $widetilde t o +infty$ 時，對任意 $xin M,vin T_pM,|v|=1$ ，都有 $|frac{widetilde {Ric}(v)}{widetilde R(x)}-frac13|$ 一致趨近於0，從而一點 $x$ 處各方向 $v$ 的Ricci曲率與 $frac13widetilde R(x)$ 的比值一致趨趨近於1。又利用命題1的結果 $widetilde R_{min}/widetilde R_{max} o 1;(widetilde t o +infty)$ 可知不同點處的數量曲率與 $widetilde R_{max}$ 的比值都一致趨近於1，從而不同點處不同方向的Ricci曲率與 $widetilde R_{max}$ 的比值都一致趨近於1。由於在三維流形上， $widetilde {Ric}$ 決定了 $widetilde{Rm}$ ，也決定了截面曲率 $widetilde{K}$ ，此時截面曲率與Ricci曲率的比值有不依賴於時間的雙邊控制，因此截面曲率與 $widetilde R_{max}$ 的比值也有不依賴於時間的雙邊控制。因此存在 $widetilde T_1in(0,+infty)$ ，使得對於任意 $widetilde tin(widetilde T_1,+infty)$ 都有 $frac14<frac{widetilde K_{min}}{widetilde K_{max}}leq1$ ，即流形 $M$ 的截面曲率介於 $frac14 A$ 和 $A$ 之間，且 $C^{-1}widetilde R_{max}leq A leq Cwidetilde R_{max}$ 。在 $M$ 的萬有覆蓋空間 $widetilde M$ 中也有同樣的曲率條件，因此由Klingenberg定理知，單射半徑 $m{inj}(widetilde M)geq CA^{-1/2}geq Cwidetilde R_{max}^{-1/2}$ 。考慮半徑為 $Cwidetilde R_{max}^{-1/2}leq m{inj}(widetilde M)$ 的測地球 $widetilde B$ ，注意到 $widetilde {Ric}>0$ ，故Ricci曲率 $leqwidetilde R_{max}$ ，因此可得體積估計 $m{Vol}(widetilde M)geq m{Vol}(widetilde B)geq v(3,widetilde R_{max}/2,Cwidetilde R_{max}^{-1/2})$ ，其中 $m{v}(3,widetilde R_{max}/2,Cwidetilde R_{max}^{-1/2})$ 為三維常截面曲率為 $widetilde R_{max}/2$ 的空間中半徑為 $Cwidetilde R_{max}^{-1/2}$ 的球的體積，可計算出它的值為 $Cwidetilde R_{max}^{-3/2}$ ，因此 $m{Vol}(widetilde M)geq Cwidetilde R_{max}^{-3/2}$ 。注意到 $m{Vol}(M)equiv1$ ，且在 $t=0$ 時 $M$ 上有Ricci曲率 $geqvarepsilon widetilde R_{min}(0)>0$ 的度量，由Myers定理可知 $pi_1(M)$ 為有限群，故 $m{Vol}(widetilde M)=|pi_1(M)|cdot m{Vol}(M)leq C$ 。由此即得 $widetilde R_{max}geq C,forall widetilde tin(widetilde T_1,+infty)$ 。再根據命題1， $widetilde R_{min}/widetilde R_{max} o 1;(widetilde t o +infty)$ ，故 $widetilde R_{min}$ 在充分大的時間後有一致的下界控制。所以，我們便可找到與時間無關的常數 $alpha>0$ ，使得 $widetilde R_{min}geq alpha,forall tin[0,+infty)$ ，命題得證。

最後為了證明指數速度收斂，我們還要考察在規範化Ricci流下，各種幾何量的發展方程。

【引理1】在 $n$ 維流形 $M$ 中，設 $partial_tP=Delta P+Q$ 為非規範化Ricci流下幾何量 $P$ 的發展方程，其中 $P$ 的次數為 $k$ ， $Q$ 的次數為 $k-1$ ，則在上述時空變化後得到的對應的規範化Ricci流的解之下，對應的幾何量 $widetilde P$ 的發展方程為 $partial_{widetilde t}widetilde P=widetilde Delta widetilde P+widetilde Q+frac2nkwidetilde rwidetilde P$ 。

【證明】 $partial_{widetilde t}widetilde P=frac{dt}{dwidetilde t} imespartial_t(psi^kP)=psi^{-1} imes[kpsi^{k-1}frac{dpsi}{dt}P+psi^k(Delta P+Q)]=kfrac{d(logpsi)}{dt}psi^{k-1}P+ \ psi^{k-1}Delta P+psi^{k-1}Q$ 。 $frac{d(log psi)}{dt}=frac2nr=frac2npsiwidetilde r$ ， $P$ 的次數為 $k$ 故 $widetilde P=psi^kP$ ，從而 $kfrac{d(logpsi)}{dt}psi^{k-1}P=frac2nkwidetilde rwidetilde P$ 。 $Q$ 的次數為 $k-1$ 故 $psi^{k-1}Q=widetilde Q$ 。最後，運算元 $Delta=g^{ij} abla_i abla_j$ ，而運算元 $abla_i$ 只與Christoffel符號以及空間方向的偏導數有關，因此在上述時空變化下是不變的，故運算元 $widetilde Delta=psi^{-1}Delta$ ，從而 $psi^{k-1}Delta P=psi^{-1}Delta(psi^kP)=widetildeDeltawidetilde P$ 。因此 $partial_{widetilde t}widetilde P=widetilde Delta widetilde P+widetilde Q+frac2nkwidetilde rwidetilde P$ ，命題得證。

我們現在可以證明指數速度收斂了。

【定理1】在命題1的條件下， $widetilde S-frac13widetilde R^2leq Ce^{-delta widetilde t},forall widetilde tin[0,+infty)$ ，其中 $C,delta>0$ 為不依賴於時間的常數。

【證明】令 $widetilde f=widetilde S/widetilde R^2-frac13$ 。利用 Ricci曲率張量的夾擠估計中的計算結果，在非規範化Ricci流下，對於 $f=SR^{-2+varepsilon}-frac13 R^{varepsilon}$ ，我們有 $frac{partial f}{partial t}-Delta f-2(1-varepsilon)< abla f, R^{-1} abla R>leq 4(T-K)R^{-2+varepsilon}-2(2-varepsilon)R^{-3+varepsilon}S^2-frac23varepsilon R^{-1+varepsilon}S$ ，其中 $0<varepsilon<1$ ，張量 $T=g^{ip}g^{kq}R_{pq}g^{jl}R_{ij}R_{kl},;K=frac12(-5RS+6T+R^3)$ 。令 $varepsilon o 0$ ，我們得到對於 $f_0=S/R^2-frac13$ ，有 $frac{partial f_0}{partial t}-Delta f_0-2< abla f_0, R^{-1} abla R>leq 4(T-K)R^{-2}-4R^{-3}S^2$ 。注意到這裡 $f_0$ 的次數為 $0$ ， $< abla f_0,R^{-1} abla R>=g^{ij} abla_if_0 imes R^{-1} abla_jR$ 和 $T,K$ 的次數為 $-1$ ，因此可以用引理1中的轉換方法得到 $frac{partial widetilde f}{partial widetilde t}-widetildeDelta widetilde f-2<widetilde ablawidetilde f,widetilde R^{-1}widetilde ablawidetilde R>leq 4(widetilde T-widetilde K)widetilde R^{-2}-4widetilde R^{-3}widetilde S^2$ 。

由命題1中的結論 $widetilde{Ric}geq varepsilonwidetilde Rwidetilde g$ ，並且仿照 Ricci曲率張量的夾擠估計的計算過程可知，存在不依賴於時間的常數 $0<delta_1<min{1,2varepsilon^2}$ 使得 $-2(widetilde T-widetilde K)widetilde R+2widetilde S^2geqdelta_1 (widetilde S^2-frac13widetilde R^2widetilde S)$ 。因此 $frac{partial widetilde f}{partial widetilde t}-widetildeDelta widetilde f-2<widetilde ablawidetilde f,widetilde R^{-1}widetilde ablawidetilde R>leq widetilde R^{-3} imes[-2delta_1(widetilde S^2-frac13widetilde R^2widetilde S)]$ 。注意到 $widetilde R^{-3} imes[-2delta_1(widetilde S^2-frac13widetilde R^2widetilde S)]=frac{-2delta_1}{widetilde R}widetilde Swidetilde fleqfrac{-2delta_1}{3}widetilde Rwidetilde f$ ，其中這裡用到了 $widetilde f=widetilde S/widetilde R^2-frac 13geq 0$ 。利用命題4知， $frac{-2delta_1}{3}widetilde Rwidetilde fleq frac{-2delta_1alpha}{3}widetilde f$ 。令 $delta=frac{2deltaalpha}3>0$ ，則 $delta$ 與時間無關，且 $frac{partial widetilde f}{partial widetilde t}-widetildeDelta widetilde f-2<widetilde ablawidetilde f,widetilde R^{-1}widetilde ablawidetilde R>leq -delta widetilde f$ 。由函數的最大值原理知， $widetilde f$ 的上界可被ODE $frac{dwidetilde f}{dwidetilde t}=-deltawidetilde f$ 的解控制，因此 $widetilde fleq Ce^{-delta widetilde t}$ ， $C>0$ 為與時間無關的常數。最後 $widetilde S-frac13 widetilde R^2leq Ce^{-delta widetilde t} imeswidetilde R^2$ ，再利用命題2的結論 $widetilde Rleq C$ 即可。命題得證。

【定理2】在命題1的條件下， $widetilde R_{max}-widetilde R_{min}leq Ce^{-delta widetilde t},forall widetilde tin[0,+infty)$ ，其中 $C,delta>0$ 為不依賴於時間的常數。

【證明】在此命題的證明中， $C>0$ 代表與時間無關的常數。

由數量曲率的梯度估計，曲率張量高階協變微分的估計可知，對於非規範化的Ricci流， $V=frac{| abla R|^2}R+frac{37}2(8sqrt3+1)(S-frac13R^2)$ 滿足 $frac{partial}{partial t}V-Delta Vleq -| abla Ric|^2+74(8sqrt3+1)R(S-frac13 R^2)leq CR(S-frac13 R^2)$ 。由於 $V$ 的次數為 $-2$ ，因此利用引理1的中的轉換方法可得， $frac{partial}{partial widetilde t}widetilde V-Delta widetilde Vleq Cwidetilde R(widetilde S-frac13 widetilde R^2)-frac43widetilde rwidetilde V$ 。利用定理1可知 $widetilde S-frac13widetilde R^2leq Ce^{-delta widetilde t}$ ，再利用 $widetilde Rleq C,widetilde rgeqwidetilde R_{min}geqalpha$ 可知 $frac{partial}{partial widetilde t}widetilde V-Delta widetilde Vleq Ce^{-deltawidetilde t}-frac43alphawidetilde V$ 。令 $delta_1=max{delta,frac43alpha}>0$ 為與時間無關的常數，則 $frac{partial}{partial widetilde t}widetilde V-Delta widetilde Vleq Ce^{-delta_1widetilde t}-delta_1widetilde V$ ，即 $frac{partial}{partial widetilde t}(e^{delta_1widetilde t}widetilde V)-Delta(e^{delta_1widetilde t} widetilde V)leq C$ 。由函數的最大值原理知， $e^{delta_1widetilde t}widetilde Vleq C+Cwidetilde t$ ，即 $widetilde Vleq (C+Cwidetilde t)e^{-delta_1widetilde t}$ 。把 $delta_1$ 適當調小為 $delta_2>0$ ， $C$ 適當調大，我們得到 $widetilde Vleq Ce^{-delta_2widetilde t}$ ，從而 $frac{|widetilde abla widetilde R|^2}{widetilde R^2}leq widetilde Vleq Ce^{-delta_2widetilde t},;|widetilde abla widetilde R|leqwidetilde RCe^{-delta_2widetilde t/2}leq Ce^{-delta_2widetilde t/2}$ 。注意 $(M, widetilde g)$ 為緊緻的，故完備；設 $widetilde R(x_1,widetilde t)=widetilde R_{min}(widetilde t),;widetilde R(x_2,widetilde t)=widetilde R_{max}(widetilde t)$ ，則存在連接 $x_1$ 到 $x_2$ 的最短測地線 $gamma:[0,widetilde L] o M$ ， $widetilde L=widetilde d(x_1,x_2)$ 。因此， $widetilde R_{max}-widetilde R_{min}=int_0^widetilde Lwidetilde abla widetilde R(gamma(t))cdotgamma(t)dtleqint_0^widetilde L|widetilde abla widetilde R(gamma(t))|dtleq widetilde LCe^{-delta_2widetilde t/2}$ 。注意到在命題2中我們指出 $M$ 的直徑 $widetilde dleq Cwidetilde R_{min}^{-1/2}$ ，同時由命題4我們有 $widetilde R_{min}geqalpha$ ，因此 $widetilde Lleqwidetilde dleq C$ ，從而 $widetilde R_{max}-widetilde R_{min}leq Ce^{-delta_2widetilde t/2}$ ，命題得證。

【推論1】在命題1的條件下， $|widetilde {Ric}-frac13widetilde rwidetilde g|leq Ce^{-delta widetilde t},forallwidetilde tin[0,+infty)$ ，其中 $C,delta>0$ 為不依賴於時間的常數。

【證明】定理1即 $|widetilde {Ric}-frac13widetilde Rwidetilde g|leq Ce^{-delta widetilde t}$ ，由定理2有 $|widetilde R-widetilde r|leqwidetilde R_{max}-widetilde R_{min}leq Ce^{-delta widetilde t}$ ，因此 $|widetilde {Ric}-frac13widetilde rg|leq|widetilde {Ric}-frac13widetilde Rwidetilde g|+|frac13widetilde Rwidetilde g-frac13widetilde rwidetilde g|=|widetilde {Ric}-frac13widetilde Rwidetilde g|+frac1{sqrt3}|widetilde R-widetilde r|leq Ce^{-deltawidetilde t}$ ，命題得證。

三、完成一開始 Ricci曲率張量大於0的3維閉流形上的Ricci流中主要定理的證明

【注1】我們還應該證明 $widetilde g(widetilde t)$ 在 $widetilde t o+infty$ 時 $C^{infty}$ 收斂於 $M$ 上的一個 $C^{infty}$ 度量 $widetilde g(infty)$ ，按照 Ricci流解的長時間存在性，有限時間奇點的分析中的方法，我們應該證明對於

$widetilde g(widetilde t)$ 的曲率張量的高階協變微分估計： $max_{xin M}|widetilde abla^nwidetilde {Ric}|leq C_ne^{-delta_nwidetilde t}, forall widetilde tin[0,+infty)$ 。這也屬於數量曲率的梯度估計，曲率張量高階協變微分的估計的一部分，有機會再補充完整。下面我們就在 $widetilde g(widetilde t);C^{infty}$ 收斂於 $M$ 上的一個 $C^{infty}$ 度量 $widetilde g(infty)$ 的基礎上完成主要定理的證明。

【定理3】（主要定理）Ricci曲率張量大於0的3維連通閉流形 $M$ 微分同胚於三維球面 $S^3$ 商掉一個有限群。

【證明】由於 $widetilde g(widetilde t);C^{infty}$ 收斂於 $widetilde g(infty)$ ，那麼 $widetilde {Ric}(widetilde t),widetilde R(widetilde t)$ 在 $widetilde t o+infty$ 時也分別光滑收斂於 $widetilde {Ric}(infty),widetilde R(infty)$ 。由推論1， $|widetilde {Ric}-frac13widetilde rwidetilde g|leq Ce^{-delta widetilde t},forallwidetilde tin[0,+infty)$ ，令

$widetilde t o +infty$ 得 $|widetilde {Ric}(infty)-frac13widetilde r(infty)widetilde g(infty)|equiv0$ 。注意到 $widetilde r(infty)$ 在空間上為常數，因此 $(M,widetilde g(infty))$ 為Einstein流形；而 $M$ 是三維的，故 $(M,widetilde g(infty))$ 為常截面曲率流形。由命題4知 $widetilde rgeqwidetilde R_{min}geqalpha>0,forallwidetilde tin[0,+infty)$ ，令 $widetilde t o+infty$ 得 $widetilde r(infty)geqalpha>0$ ，從而 $(M,widetilde g(infty))$ 的截面曲率為正的。設 $widetilde M$ 為 $M$ 的萬有覆蓋空間，則 $widetilde M$ 為單連通、常正曲率的黎曼流形，由Myers定理它還是緊的，因而是完備的，因此 $widetilde M$ 等距同構於三維球面 $S^3$ ，所以 $M$ 微分同胚於 $S^3/Gamma$ ，其中 $Gammacongpi_1(M)$ 為覆蓋變換群。由於 $widetilde M$ 是緊的，所以 $Gammacongpi_1(M)$ 是有限群，於是 $M$ 微分同胚於 $S^3$ 商掉一個有限群 $Gamma$ ，定理得證。

參考文獻

[1] Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 255–306.