信號分析方法概述通信的基礎理論是信號分析的兩種方法：1 是將信號描述成時間的函數，2是將信號描述成頻率的函數。也有用時域和頻率聯合起來表示信號的方法。時域、頻域兩種分析方法提供了不同的角度，它們提供的信息都是一樣，只是在不同的時候分析起來哪個方便就用哪個。思考：原則上時域中只有一個信號波（時域的頻率實際上是開關器件轉動速度或時鐘循環次數，時域中只有周期的概念），而對應頻域（純數學概念）則有多個頻率分量。人們很容易認識到自己生活在 時域與空間域 之中（加起來構成了三維空間），所以比較好理解時域的波形（其參數有：符號周期、時鐘頻率、幅值、相位 ）、空間域的多徑信號也比較好理解。但數學告訴我們，自己生活在N維空間之中，頻域就是其中一維。時域的信號在頻域中會被對應到多個頻率中，頻域的每個信號有自己的頻率、幅值、相位、周期（它們取值不同，可以表示不同的符號，所以頻域中每個信號的頻率範圍就構成了一個傳輸信道。時域中波形變換速度越快（上升時間越短），對應頻域的頻率點越豐富。所以：OFDM中，IFFT把頻域轉時域的原因是：IFFT的輸入是多個頻率抽樣點（即各子信道的符號），而IFFT之後只有一個波形，其中即OFDM符號，只有一個周期。時域 時域是真實世界，是惟一實際存在的域。因為我們的經歷都是在時域中發展和驗證的，已經習慣於事件按時間的先後順序地發生。而評估數字產品的性能時，通常在時域中進行分析，因為產品的性能最終就是在時域中測量的。 時鐘波形的兩個重要參數是時鐘周期和上升時間。時鐘周期就是時鐘循環重複一次的時間間隔，通產用ns度量。時鐘頻率Fclock，即1秒鐘內時鐘循環的次數，是時鐘周期Tclock的倒數。 Fclock=1/Tclock 上升時間與信號從低電平跳變到高電平所經歷的時間有關，通常有兩種定義。一種是10-90上升時間，指信號從終值的10%跳變到90%所經歷的時間。這通常是一種默認的表達方式，可以從波形的時域圖上直接讀出。第二種定義方式是20-80上升時間，這是指從終值的20%跳變到80%所經歷的時間。 時域波形的下降時間也有一個相應的值。根據邏輯系列可知，下降時間通常要比上升時間短一些，這是由典型CMOS輸出驅動器的設計造成的。在典型的輸出驅動器中，p管和n管在電源軌道Vcc和Vss間是串聯的，輸出連在這個兩個管子的中間。在任一時間，只有一個晶體管導通，至於是哪一個管子導通取決於輸出的高或低狀態。假設周期矩形脈衝信號f(t)的脈衝寬度為τ，脈衝幅度為E,重複周期為T，
頻域頻域最重要的性質是：它不是真實的，而是一個數學構造。時域是惟一客觀存在的域，而頻域是一個遵循特定規則的數學範疇。正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。這是正弦波的一個非常重要的性質。然而，它並不是正弦波的獨有特性，還有許多其他的波形也有這樣的性質。正弦波有四個性質使它可以有效地描述其他任一波形： （1）時域中的任何波形都可以由正弦波的組合完全且惟一地描述。 （2）任何兩個頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個正弦波相乘並在整個時間軸上求積分，則積分值為零。這說明可以將不同的頻率分量相互分離開。 （3）正弦波有精確的數學定義。 （4）正弦波及其微分值處處存在，沒有上下邊界。 使用正弦波作為頻域中的函數形式有它特別的地方。若使用正弦波，則與互連線的電氣效應相關的一些問題將變得更容易理解和解決。如果變換到頻域並使用正弦波描述，有時會比僅僅在時域中能更快地得到答案。 而在實際中，首先建立包含電阻，電感和電容的電路，並輸入任意波形。一般情況下，就會得到一個類似正弦波的波形。而且，用幾個正弦波的組合就能很容易地描述這些波形，如下圖2.2 所示：
圖2.2 理想RLC電路相互作用的時域行為頻域的圖如下?時域與頻域的互相轉換 時域分析與頻域分析是對模擬信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標表示動態信號的關係；頻域分析是把信號變為以頻率軸為坐標表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。時域與頻域的對應關係是：時域里一條正弦波曲線的簡諧信號，在頻域中對應一條譜線，即正弦信號的頻率是單一的，其頻譜僅僅是頻域中相應f0頻點上的一個尖峰信號。按照傅里葉變換理論：任何時域信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。1、正弦波時域信號是單一頻率信號；2、正弦波以外的任何波型的時域信號都不是單一頻率信號；3、任何波型都可以通過不同頻率正弦波疊加得到；解釋1：初學者一個經常的困惑是：無法理解信號為何會有多個頻率，加上許多書中的描述不夠嚴謹，比如：語音信號的頻率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。正確的解釋是：一個信號有兩種表示方法，時域和頻域。在時域，信號只有周期，正是因為有了傅立葉變換，人們才能理解到信號頻域的概念。（先有傅立葉變換的結果才讓你認識到聲音信號里包含了某種頻域的正弦波,它僅僅是聲音信號里的一個分量.用你的眼睛你可能永遠看不出這些幅度變動里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波!）註：大家應牢記：頻域最重要的性質是：它不是真實的，而是一個數學構造。頻域實際上是時域信號進行傅立葉變換的數學結果。通過數學方法，可以更方便的觀察到信號內含的信息、可以分解合成信號。無線通信中傳輸資源包括了時間、頻域、空間等。時間比較好理解，就是：時間周期1發送符號1，時間周期2發送符號2.。，時域的波形可以用三角函數多項式表示，函數參數有：時間、幅度、相位。在載波傳輸中，載波信號由振蕩器產生，它的時鐘頻率是固定的，倒數就是時間周期。頻域比較難理解，按傅立葉分析理論，任何時域信號都對應了頻域的若干頻率分量（稱為諧波）的疊加，頻域的頻率與時域的時鐘頻率不同。可以認為：時域不存在頻率，只存在時間周期。信號處理與通信中所指的頻率一般都是指頻域的頻率分量。而每個頻率分量都可從數學意義上對應時域的一個波形（稱為諧波，基波是一種特殊的諧波，它的頻率與時域波形的時鐘頻率相同）。因為載波一般都是正弦波，所以定義信號在1秒內完成一個完整正弦波的次數就是信號的頻率（以Hz為單位)，即1Hz。時間周期T=1/f。載波的功能參見 調製解調部分內容。這裡可以先不理解何為載波，關鍵是時域與頻域的對應關係。以這個時域波形為例
設時域波形（圖中的 合成波）的時間周期=T（如2秒），其時鐘頻率則為f0=1/2Hz。那麼基波的頻率、周期與合成波一樣。每個諧波之間頻率間隔=基波頻率。而諧波1的頻率f1=1/2+1/2=1Hz，周期T1=1。諧波2的頻率f2=1+1/2=3/2 Hz，周期T2=2/3。。。。諧波8的頻率f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz，周期T8=0.2222在頻域中，每個頻率分量都有自己的幅度與相位。按諧波的頻率、幅度、相位信息可以得到諧波所對應時域的波形。將各諧波的時域波形疊加起來，即得到 時域中 合成波。解釋2： 時域信號的數據傳輸速率，常用bps，如100Kbps，指1s內傳輸了100K bits的二進位數據。即：時域的傳輸效率。引入頻域後，帶來一個新的數據：頻譜效率，作為 頻域的傳輸效率。如 80bps/Hz指1Hz頻率上能傳輸80bps數據。按資訊理論，帶寬越大，數據速率越高。解釋3：為什麼我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正餘弦來表示原信號會更加簡單，因為正餘弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。註：此處仍要牢記：頻域是數學構造，只要有助於我們分析信號，對應的數學方法就是有用的。-------------------------傅立葉變換原理傅立葉變換分類根據原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：周期性連續信號 傅立葉級數(FourierSeries)非周期性連續信號 傅立葉變換（FourierTransform）非周期性離散信號離散時域傅立葉變換（Discrete Time FourierTransform）周期性離散信號離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform) -DFT下圖是四種原信號圖例：
這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對於計算機處理來說是不可能的，那麼有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正餘弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用複製的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。這裡我們要學的是離散信號，對於連續信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。但是對於非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對於計算機來說是不可能實現的。所以對於離散信號的變換隻有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對於計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對於其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，後面我們要理解的也正是DFT方法。這裡要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至於考慮周期性信號是從哪裡得到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實數和複數兩種方法，對於實數方法是最好理解的，但是複數方法就相對複雜許多了，需要懂得有關複數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換(realDFT)，再去理解複數傅立葉就更容易了，所以我們先把複數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在後面我們會先講講關於複數的基本理論，然後在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解複數傅立葉變換。還有，這裡我們所要說的變換(transform)雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對於離散數字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散餘弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換演算法對應的是反傅立葉變換演算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最後還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。傅立葉級數的五個公式(周期性函數)
傅立葉（19世紀的法國人)認為：任何周期函數f(t)總是可以變成下面的傅立葉級數
（傅立葉公式1）
它等價於下面的公式
（傅立葉公式2）兩個公式的關係是：
公式中a0,an、bn都是常數。AkCosWkt+BkSinWkt即時域信號的第k個頻率分量對應的正弦波（即諧波）表示。an,bn也稱為傅立葉係數。時域的信號用f(t)表示，下面介紹這個信號如何轉換到頻域的表示方法。因為三角函數間有正交關係，如下1，兩個不同三角函數的乘積在[-pi,+pi]上的定積分為0。即正交。
2，兩個相同函數的乘積在[-pi,+pi]上的定積分為2Pi或pi.
解釋：上圖中的x對應傅立葉公式中的時間參數t。pi可對應時間周期T。首先：我們考慮如何對於 時域信號f(t) 分解出其中的各個子信號(子諧波)：AkCosWkt+BkSinWkt。然後可以得到各個諧波在頻域的表示方法:頻率W，幅度Cn、相位。這三項就是傅立葉變換的結果：頻域信號表示按上述的三角函數關係，要得到ak，就把f(t)乘以coswkt，並在整個周期內取積分。得
圖中的an就是ak.得到（下圖中的an就是ak.）
根據AkCosWkt+BkSinWkt這個波形的表示方法可以推導出：1,
就是這個正弦波的最大幅值（最大振幅）(也即幅值頻譜圖的y軸)。2,
就是這個正弦波的相位。經過簡單的三角函數運算，可以得到傅立葉級數f(t)的另一個表達方式：
（傅立葉公式3）它可以更方便的計算出振幅
和相位
（分別對應 幅度譜與相位譜）傅立葉級數f(t)的另一種表示方式是 復指數形式,它也是最簡捷的表達方式。
（傅立葉公式4）Cn是複數，定義為
從上面的f(t)推導出 復指數形式 的過程略，基本思想是利用了歐拉公式e^jx = cos(x) +jsin(x)及
解釋：頻域分量轉成的時域信號都是複信號（含實部與虛部），雖然實際信號都是實的。實際上信號的傳輸都用實信號，而接收信號的處理中則使用複信號。三角函數 運演算法則是：
，從上面的 復指數傅立葉級數公式 中，可以直接得到各子頻率分量對應正弦波（諧波）的振幅 和相位。
復指數傅立葉級數公式（傅立葉公式4 ） 可以推導出三角函數形式
傅立葉公式5另外，在傅立葉公式4 中看起來出現了「負頻率」，但實際上它們是不存在，只是數學的一種表示方法。所以在傅立葉公式5 中就消除了「負頻率」這裡給出了五種 傅立葉級數f(t)的表示方式，它們都是等價的，並可互相推導出來。傅立葉積分(非周期性函數)非周期性函數使用傅立葉積分來得出頻譜。因為這個函數總可以在時間間隔之外按其本身形狀來重複，這裡可使用傅立葉級數來計算頻譜。而當時間間隔不斷增大，在極限情況下就變為傅立葉積分。考慮一個周期函數f(t)，用傅立葉級數表示。
其頻譜圖如下，
其相鄰各諧波頻率之間間隔為
所以這個f(t)可以寫為
，將△W代入原f(t)公式而得。當T->無窮大時，
，而Wn也->0，所以 頻譜會由 離散頻率點變為連續頻譜。則Cn作為諧波Wk的幅值也會變為連續函數F(w)
則我們得到非周期函數f(t)的傅立葉積分表示方法f(t)。
非周期函數f(t)的時域、頻域圖 舉例如下：
把F(w)的計算公式稱為傅立葉積分 公式。F(w)稱為f(t)的傅立葉變換。f(t)公式即傅立葉反變換公式。F(w)與f(t)的計算公式看起來很像，甚至可以互相調換f(t)與F(w).由F(w)公式得出時域信號f(t)的頻率分量。頻率、頻譜 從本質上說是某種數學抽象。振幅譜和相位譜的關係上面的頻譜圖實際上是振幅譜，看不出相位與頻率間的關係。F(w)是頻率的複函數。F(w)也可分解為振幅譜和相位譜。
,它隨頻率變化。它們有奇怪的對稱性。振幅譜是頻率的偶對稱函數。相位譜是頻率的奇對稱函數。可以推導出：
即相位就是
解釋：時域中的相位，與頻域中的相位完全不同。頻域中相位是指各諧波的相位，它隨頻率而時間變化。所以：1，頻域中完全看不出時間，只有諧波的各 頻率、幅值、相位 。這些諧波在非穩定信號中 可能並不會在所有時間中存在，這是另一個信號處理領域的問題。2，時域信號中看不出頻率，只有各諧波疊加後的信號。時域信號的周期=各諧波信號中的最大周期，即基波的周期。頻率也相當於基波的頻率。相位則是各諧波疊加後形成（相位在時域與頻域沒有固定的、可按公式計算出的關係）。時域信號的一個周期中的 符號 包括了以下信號的疊加（且可通過正交分解出來）：一個基波在一個周期內的符號，一次諧波在2個周期內的符號，二次諧波在3個周期內的符號，三次諧波在4個周期內的符號。。。在快速傅立葉變換中，因為時域抽樣點必須是2的K次方，所以偶次諧波的幅值總為0，即不攜帶信息或空符號功率譜從電路分析可知，如
代表1歐電阻上的電壓，則在此電阻內損耗的平均功率為（An2+Bn2)/2瓦。所以振幅頻譜的平方就是不同頻率上（n=0,1,2...)1歐電阻內所損耗功率的測量。 各個頻率上的功率相加，就得到周期性電壓加到電阻上的平均損耗功率。任意電壓f(t)加到1歐電阻上的瞬時功率就是｜f(t)｜2傅立葉變換推導出：時移原理與頻移原理，對偶性質 傅立葉變換有兩個重要的原理：1，時間移位原理將時域時間原點從t=0處移到t=t0處，則相當於頻域F(w)的相移
，即
2，頻譜搬移原理如果F(w)的角頻率移動了W0弧度/秒，則f(t)要乘上
，即：
推導公式是：
在調製技術中，信號f(t)要調製到載波上產生的頻率移動，即通過上述關係確立。基帶信號(帶有信息)f(t)對載波信號CosW0t的調幅結果（即已調製信號），可表示為
f0=W0/2pi，為時域載波信號的頻率已調製信號的傅立葉變換結果為：
即：調製之後，f(t)的頻譜被移動了，
比如：先將一段音樂的離散時間信號做傅里葉變換(FFT)，再將得到的頻譜向高處搬移，最後做傅里葉反變換(IFFT)，恢復到時域，聽到的聲音會比原來的聲調高。時間-頻率間的對應關係對應關係1：時間變化速率(即時域信號的變化速率) 與 頻譜呈正比關係時域信號波形中，振幅的變化構成整個信號的包絡。下面是一個調幅信號在一個周期內波形的例子，振幅的變化代表了傳送的信息。
，2A是最大振幅
上式經簡單的三角運算後，得到
其頻譜如下：
當原信息信號變化更快時（Wm增大），使得振幅調製後的信號也變化更快，邊帶頻率(W0-Wm,W0+Wm)也更遠的離開載波。所以：較快速的變化相當於較高頻率的變動。即：時間變化速率增加，頻率也增高了(這點在上升時間與帶寬 關係中也可見)對應關係2，時間周期T 與 頻譜呈反比關係下面用 矩形脈衝序列 來深入討論 時間-頻率之間的關係。
它的頻譜可以表示成
再寫成
給出一個歸一化的無量綱變數
，則
函數sinx/x 在x=0處有最大值，此處sinx->x,(sinx/x)->1，而當x->無窮大時，它->0 函數 sinx/x 的形狀如下
因為n是離散的，所以Wn也取離散值（W1=2pi/T的各諧波），所以歸一化參數x也是離散點，但Cn的包絡無疑與上圖一致。
雖然周期函數包括有基本頻率的所有整數倍的頻率分量，但在較高頻率上，振幅的包絡減小。並且基本周期T越小（即每秒的脈衝數增多），頻率譜線越移越開。時間函數比較快速的變化則相當於比較高的頻率分量：周期T減少，則頻譜變大（因為△f=2pi/T 變大）由於集中在低頻區的譜線有較高的幅度，所以這個周期波所具有能量的大部分都分布在較低的頻率分量上。當函數變化增快（T減小）時，在較高頻率範圍內所包含的能量所佔的比重將增大。對應關係3：脈衝寬度 與 頻譜：呈反比關係從上圖可見，隨著脈衝寬度
的減少，信號的頻率分量分布的更寬思考：因為
那麼因為sinxx的圖形不變，當sinxx=0時的x不會變，則此時
減少，表示Wn會變大。同時在
處的第一個零交點在頻率軸上移遠。 因此，在 脈衝寬度或持續時間 與脈衝的頻率展布之間，有反比關係存在。用脈衝寬度定義帶寬如
（即很窄的脈衝），則大部分信號能量將落在下式的範圍內:
這個點也當作信號的帶寬。
解釋：上面三點其實與 上升時間越小，對應帶寬越大的關係是一致的。頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜與 周期性函數的頻譜頻譜就是時域信號經過傅立葉變換後的複信號；因為Cn是複數。幅度譜就是復頻譜取幅度後得到的幅度與頻率之間的關係曲線；相位譜就是復頻譜取出相位後得到的相位與頻率之間的關係曲線；功率譜就是功率與頻率之間的關係曲線。周期性函數按上面傅立葉級數的推導方法來得到頻譜（以頻率Wn為x軸、幅值Cn為y軸）
按傅立葉公式1中
定義，可知每個頻率點間的間隔是2Pi/T,那麼第0個頻率點即基波，它的頻率=2Pi/T。T是時域信號的周期，所以基波頻率=時域信號的時鐘頻率，基波表示時域信號的直流分量。從頻譜圖也能看出，相鄰各諧波頻率之間間隔為
,它就是基波角頻率。（角頻率與頻率之間就是多了個2pi的關係，那麼基波頻率就是時域信號的頻率 ）W0在傅立葉級級數中用常數a0表示。周期=2pi/W0.一次諧波分量W1：周期是基波分量周期的1/2，頻率是基波頻率的2倍。二次諧波分量W2：周期是基波分量周期的1/3，頻率是基波頻率的3倍。。。。 所以：頻域各諧波頻率一定是時域信號時鐘頻率的倍數。基波的定義是：將非正弦周期信號按傅里葉級數展開，頻率與原信號頻率相同的量。在複雜的周期性振蕩中,包含基波和諧波。和該振蕩最長周期相等的正弦波分量稱為基波。相應於這個最長周期的頻率稱為基本頻率。頻率等於基本頻率的整倍數的正弦波分量稱為諧波。周期為T 的信號中有大量正弦波，其頻率分別為1/T Hz、2/T Hz、…、 n/THz，稱頻率為1/THz的正弦波為「基波」，頻率為等 n/THz（n≠1）的正弦波為n次「諧波」。解釋：基波諧波 來自於 原時域信號的頻譜中各頻率點的頻率、相位在時域中體現為各正弦波，它們疊加在一起形成了原時域信號。在簡諧振動中，在單位時間內物體完成全振動的次數叫頻率，用f表示。頻率也表示單位時間波動傳播的波長數。頻率的2π倍叫角頻率，即ω=2πf。在國際單位制中，角頻率的單位也是弧度/秒。頻率是描述物體振動快慢的物理量，所以角頻率也是描述物體振動快慢的物理量。頻率、角頻率和周期的關係為ω= 2πf = 2π/t。在簡諧振動中，角頻率與振動物體間的速度 v 的關係為v =ωasin( ωt + φ )。圓周運動中的角速度ω與簡諧振動中的角頻率ω，雖然單位相同且都有ω= 2π/T的相同形式，但它們並不是同一個物理量。角頻率對時間的積分等於相位的改變數。周期函數、非周期函數的頻譜總結，與對稱頻譜的意義動態信號從時間域變換到頻率域主要通過傅立葉級數和傅立葉變換實現。周期信號靠傅立葉級數，非周期信號靠傅立葉變換。兩個域都有自己的測量工具：時間是示波器，頻域是頻譜分析儀。而在一個域進行測量，通過換算可求得另一個域的結果。傅立葉級數公式中，Cn表示了各次諧波的振幅隨頻率變化的情況，一般所指的頻譜是幅度譜，指頻率和振幅的關係，表示每個頻率分量及其所佔的比重大小，如振幅大小或功率大小。周期函數的頻譜是離散的。它的頻率是一個不連續的離散值。因為頻譜函數Cn的公式由傅立葉級數公式（實際上是一個三角函數級數）推導出，其中的n=0,1,2...，n是整數，那麼Wn=W1,W2,W3..Wn也是離散值。非周期函數的頻譜是連續的。由於頻譜函數F(W)的公式由傅立葉積分推導出，根據積分的定義，所以：其中的W是連續變化的。這說明非周期函數 的頻率成分比 周期函數 的頻率成分豐富。傅立葉級數、傅立葉積分可以取出兩種函數的不同頻率成分及其幅值。
上圖是共軛複數 的出發點，它說明了頻譜圖中出現的 負頻率只是數學上的方便寫法。(註：必須記住頻域只有數學意義，在現實中是不存在的)頻譜圖中會得到一個關於y軸對應的頻譜圖。現實中負頻域是不存在的。這是因為在由傅立葉級數到指數形式的轉化過程中，歐拉公式對傅立葉級數係數重新分析，即Cn對an和bn進行了共軛對稱調整，使得各頻率分量的幅度折半按y軸分配，使之出現了對稱的頻譜和負頻域形式。離散傅立葉變換與抽樣：時域的抽樣點數與頻域點數的關係 所謂信息，是指信號隨時間的變化。 奈奎斯特定理已經證明。為了從抽樣信號中無失真的再現原信號，當原信號(為頻帶有限的模擬信號)帶寬為BHz時，最小抽樣速率，應該為每秒2B個樣值。即抽樣時間間隔=1/2B秒。這些樣值包含了原信號的全部信息。具體證明過程如下：以下的信號以頻帶有限的信號。設其帶寬為BHz。即理想情況下，頻域中，超過f=B就絕對沒有任何頻率分量（實際波形中，超過BHz後，頻率分量幅度迅速下降，也可視為信號帶寬=B）。1，原信號轉換成抽樣點時，即抽樣速率為多少對周期信號f(t)抽樣時，只要抽樣速率f0>=2B，則抽樣不會損害其信息含量。1/2B為抽樣間隔。設周期脈衝信號為S(t)，脈衝幅度為1，寬度為τ，周期T=1/f0則抽樣後信號為fs(t)=f(t)S(t)。f(t),S(t)都可以展開成傅立葉級數(公式1），根據傅立葉頻譜搬移原理， 可以得到fs(t)的傅立葉變換為
每一項的中心位於抽樣頻率的倍數點上。所以：對f(t)抽樣的效果是使其頻譜搬移到抽樣頻率的所有諧波上。頻譜沿原先的頻率線對稱的分布。而對於非周期函數f(t)抽樣，也有類似效果。 頻譜如下：
當抽樣速率下降時，f0及所有諧波都會互相靠攏，則上圖中各頻譜分量會重疊在一起，比如中心位於f0的分量F(W+W0)會同中心位於原點的 未偏移項F(W)相混，這樣就不能從Fs(W)中分出F(W)，也就不可能從fs(t)中恢復f(t)。這種因抽樣間隔太寬而引起頻譜重疊並導致失真的現象稱為混淆。而開始相混的極限頻率，可從上圖中看出f0-B=B，即f0=2B。這就是 奈奎斯特抽樣速率。解釋：上面說明了，抽樣的過程即 周期脈衝信號（抽樣信號）與原信號（信息信號） 相乘，產生的結果信號:在頻域上，會保留原信號的所有信息（即其頻域分量會全部保留），但頻譜搬移到抽樣頻率的所有諧波上。即：以抽樣信號的頻譜各頻率點為中心，每個頻率點的上下邊帶都會保留全部的 原信號頻譜 信息。因為上下邊帶的存在，所以從數學上看，要避免頻譜分量重疊的辦法只有讓抽樣信號的頻譜間隔為2B，即△f=2B，它也是抽樣信號的基波頻率（見 基波的定義 部分），即時域信號的速率.如果抽樣速率較小，則抽樣信號的帶寬變小，諧波的頻率分量會更緊密的靠在一起。則很容易發生，原信號抽樣後，頻譜分量容易重疊在一起。如抽樣速率較大，則抽樣信號諧波的頻率分量間隔會增大，如上圖中的間隔。原信號抽樣後，不易發生重疊。抽樣速率不需要越大越好。因為那樣帶寬太大。並且只需要 一個頻率分量的上下邊帶 就可完全恢復原信號，比如上圖中fc、2fc左右邊帶就是無用的，在反傅立葉變換時只需要0點左右的頻譜分量作為輸入數據即可。2，從抽樣點可以得到周期信號的證明過程如下：註：抽樣點可以是 非周期性 的取得，比如每隔幾秒開始抽樣也可以。 已證明：每秒任何2B個獨立樣值就可完全表示一個頻帶有限的信號。或：完全規定一個T秒長間隔上的信號，只需要任何2BT個單獨的（獨立的）信息樣值。證明過程如下：設T秒時間上頻帶有限信號為f(t)，（即非周期信號），它可以展開成以T為周期的傅立葉級數，由於頻帶有限，則傅立葉級數中的項數是有限的，即諧波是有限的，也即頻譜中頻率點是有限的。 由於
，因為B是f(t)的最高頻率分量，則Wn=2piB（當n最大時），此時2piB=2pi*n/T，得出n=BT 所以：n的最大值是BT。基波C0是直流項，僅改變f(t)的平均電平，不提供任何信息（因為信息表示信號隨時間的變化）。由於頻譜的對稱性，所以傅立葉係數共有2BT個，即頻譜上的頻率分量共有2BT個。解釋：1，抽樣點的個數*2 =頻域中 頻率點的個數(含正頻率與負頻率)2，當T=1s時，只需要2B個頻譜分量即可恢復原信號，即：抽樣後信號，從頻域變換到時域後的信息 與抽樣前信號一樣。3，抽樣信號的解調 即：如何從2BT個樣值中恢復原信號f(t)。通過傅立葉變換可以證明，在各個抽樣點(時間點分別為：1/2B，2/2B...n/2B）給定信號f(t)時，對它們分別FFT之後可以得到相應的傅立葉係數Cn或F(w)。如下：
而對Cn或F(w)進行傅立葉反變換，可以得到所有可能時間上的f(t)解釋：反變換之前是頻域，沒有時間參數。反變換之後則是時域的連續信號。這裡的方法是：從 頻域的離散頻譜 反變換後生成時域的連續信號。而頻域信號來自於時域的抽樣值。所以，連續信號f(t)先抽樣，再FFT，然後再IFFT可以得到原時域信號f(t)。 上述過程已經證明：用 時間相隔1/2B的各個抽樣點上的f(t)信號 就足以確定所有時間的f(t)。 上述過程已經證明，讓信號樣值通過一個帶寬為Bhz的理想低通濾波器，可以再現原信號f(t)。這就是解調。 即：N個採樣點，經過FFT之後，頻譜上得到N個頻率點的幅值，反變換到時域得到連續函數f(t)。採樣速率越高或採樣點數越多，相當於從頻域反變換到時域時得到的諧波越多，疊加後得到的f(t)更像原信號。比如：原信號帶寬500Hz，時域的採樣頻率則應為1024Hz（則1秒內得到的採樣點為1024個），那麼根據採樣點變換到頻域後最大帶寬應該為1024（解釋：因為發生了頻譜搬移。）1秒時間的採樣，得到1024個採樣點，FFT變換到頻域後得到1024個頻率點，橫坐標的頻率的最大值是採樣頻率1024Hz，從小到大分別是：0Hz，1Hz，2Hz....1024Hz。而2秒時間的採樣，得到2048個採樣點，FFT變換到頻域後得到2048個採樣點，橫坐標的頻率的最大值仍是採樣頻率1024Hz，從小到大分別是：0Hz，0.5Hz，1Hz，1.5Hz，2Hz...1024Hz。頻率點之間的間隔是0.5hz。因為
，最大帶寬W與採樣時間無關，總是恆定值，當頻譜上頻率點n的次數增加時，頻率點之間間隔只能縮短。 所以：在採樣率確定的情況下：採樣時間越長，頻域的頻率點越多，即頻率解析度（即：兩個頻率點之間的間隔）越高。恢復到時域後諧波更多。 結論：頻域頻率解析度要精確到xHz，則需要採樣長度為1/x秒的信號，再做FFT變換到頻域。實際應用中，對實時處理的要求較高，可採用：採樣比較短時間的信號，然後在後面補充一定量的0作為採樣點，使其長度達到需要的點數。這也可以提高頻率解析度。如果想用時分復用的方式來同時傳送多路信號，在每路信號的抽樣間隔中，可以用來傳送其它信號的抽樣點。傅立葉變換與正交性在第一個傅立葉級數公式中，通過時域f(t)信號求頻譜Cn（先求an,bn）的過程中利用了三角函數的正交性。｛cos(nx),sin(nx)｝就像一個智能過濾裝置，只允許和自己完全同頻率的函數通過（可以得到這個頻率的頻域信號 ），將其餘的頻率完全正交化為0。這是傅立葉變換的原理與正交化的重要意義所在。傅立葉變換的 思想總結與優點傅立葉認為：任何周期信號都可用成諧波關係的正弦函數級數來表示。而非周期信號是不全成諧波關係的正弦信號的加權積分。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或餘弦函數）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。疊加 是指原始信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位 在時域的累加。解釋：時域上原信號波形，看起來頻率是固定的，但實際上信號波形只表達了二維空間，而在 三維空間中，還有一個軸是頻率軸，所以在頻率軸上每個點都有一個對應的時域諧波信號)。解釋：一般可以這樣看：時域沒有頻率，只有周期與時鐘頻率。頻域沒有周期，只有頻率。傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易於分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號分別進行處理、加工。最後還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。傅立葉的優點是：*傅里葉變換屬於諧波分析。*傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;*正弦基函數是微分運算的本徵函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常係數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對於複雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;*卷積定理指出:傅里葉變換可以化複雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;*線性性質：兩函數之和的傅里葉變換等於各自變換之和*頻移性質(見下）*微分關係：原函數及其導函數的傅立葉變換間的關係。*離散形式的傅里葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其演算法稱為快速傅里葉變換演算法(FFT)).解釋：傅立葉給出的定理大致是,任意一個周期函數都可以表示為sin與cos的無窮級數。前者（周期函數）是時域的表示方法。後者（sin與cos的無窮級數）是頻域的表示方法。時域，有周期T(時間),就有頻率f =1/T的概念.數學上任何相乘=1的東西都是互相垂直,也叫正交所以時域坐標想像成立方體的一個面,那麼頻域坐標系一定是其相鄰垂直的另一個面.換個說法,任何一個時域里的周期函數f(t),可以拆分得到一系列sin跟cos的疊加時域與頻域的對應關係，可以舉例：南郭先生吹竽的故事。齊宣王喜歡聽合奏，南郭先生也可混在裡面；齊宣王死了之後，就是齊泯王了，齊泯王要聽獨奏，南郭先生就跑了（濾波了）。傅里葉變換的目的就是將時間域裡面的合奏分解為頻率域裡面一個個獨奏的疊加\，然後你就可以去挑了。類似的例子還很多。如選美，選美小姐全部站在台上，甚至抱成一團，是挑不出美人的。要對她們作傅里葉變換，將她們一個個拉出來溜，才能將真正的美人選（濾波）出來。解釋：傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關鍵是：一個連續的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這麼分解後有助於處理。我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信號進行分割，每一部分只是一個時間點對應一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換後，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區間上的分信號，
那麼給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出一組信號其對應的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，
不過如果信號是周期的話，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數值。
傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以，當然把證明看懂了更好。對一個信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那麼相位呢，它有什麼物理意義？頻域的相位與時域的相位有關係嗎？信號前一段的相位（頻域）與後一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關係。傅里葉變換就是把一個信號，分解成無數的正弦波（或者餘弦波）信號。也就是說，用無數的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。想一想這個問題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成你需要的信號呢？答案是要兩個條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。所以現在應該明白了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。傅里葉變換用於信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數學模型，而數字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性。傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（餘弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（餘弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點。如減速機故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據各級齒輪轉速、齒數與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時域表示的信號，分解為多個正弦信號的疊加。每個正弦信號用幅度、頻率、相位就可以完全表徵。傅里葉變換之後的信號通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。在自然界，頻率是有明確的物理意義的，比如說聲音信號，男同胞聲音低沉雄渾，這主要是因為男聲中低頻分量更多；女同胞多高亢清脆，這主要是因為女聲中高頻分量更多。對一個信號來說，就包含的信息量來講，時域信號及其相應的傅里葉變換之後的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什麼作用呢？因為有的信號主要在時域表現其特性，如電容充放電的過程；而有的信號則主要在頻域表現其特性，如機械的振動，人類的語音等。若信號的特徵主要在頻域表示的話，則相應的時域信號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實際中，當我們採集到一段信號之後，在沒有任何先驗信息的情況下，直覺是試圖在時域能發現一些特徵，如果在時域無所發現的話，很自然地將信號轉換到頻域再看看能有什麼特徵。信號的時域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實際上都是同一個東西。正因為如此，在通常的信號與系統的分析過程中，我們非常關心傅里葉變換。
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