奎伯的寵物

a．又是奎伯教授。

　　奎伯教授：我給你再出一個難題。假如在我所有的寵物中，除了兩隻以外都是狗，除了兩隻以外都是貓，除了兩隻以外都是鸚鵡，那我有多少寵物？

　　b．你算出來了嗎?

　　．奎伯教授恰好有3隻寵物：一條狗，一隻貓和一隻鸚鵡。

　　「全部」即是一

　　這個混淆的小問題可以用心算來解決，只要你認識到「全部」這個詞也可以只是一個動物，最簡單的情況——一條狗、一隻貓、一隻鸚鵡——就給出了答案。但是，這是把問題用代數式解決的一個很好的練習。

　　用x，y和z代表狗、貓和鸚鵡的數量，n表示全部動物的數量，我們可以寫出四個聯立方程式：

　　n=x+2

　　n=y+2

　　n=z+2

　　n=x+y+z

　　這些方程可用任何標準解法來解，從前三個方程中得到x=y=z，從n=x+2和n=3x(從第四個方程中得到)我們可以寫出x+2=3x，它給出x的值是1，從x的值隨後就可以得到全部的答案。

　　由於動物的數量是正整數，我們可以把奎伯的寵物問題認為是對所謂丟番圖問題的簡單檢驗，這是一個必須用整數求解的代數方程問題。丟番圖問題可以無解、一個解、有限解和無限解。這是一個難度較小的丟番圖問題，涉及三種不同動物的聯立方程式。

　　1頭奶牛值10美元，1頭豬值3美元，1頭羊值50美分。一個農夫要買100頭牲畜，每種至少買1頭，總共花100美元，每種牲畜各買多少?

　　用x表示奶牛數，y表示豬數，z表示羊數，我們可以寫兩個方程：

　　10x+3y+z/2=100

　　x+y+z=100

　　在第一個方程中各項都乘以2消去分式，然後再減去第二個方程，這就消去了z，得到：

　　19x+5y=100

　　x和y應是什麼整數值?求解的途徑是安排方程左邊的最小係數：5y=100-19x兩邊用5除：y=(100-19x)/5現把100和19x用5除，把5的余項放後邊形成未尾的分式，結果是：y=20-3x-4x/5

　　顯然，表達式4x/5一定是整數，這意味著x必須是5的倍數，5的最小倍數是5自身，這給出y的值是1(代回兩個原方程式)，得z的值為94，如x取大於5的倍數，y就是負值，所以這個問題只有一個解：5頭奶牛，一頭豬和94頭羊。

　　只要在這個問題中改變動物的價格，你就能發現許多基本的丟番圖分析。例如，奶牛4美元，豬2美元，羊1/2美元，如果這個農夫用100美元買100頭牲畜，每種牲畜至少一頭，各買多少頭?這種情況下有三個解。如果奶牛5美元，豬2美元，羊50美分呢?此時無解。

　　丟番圖分析是數論的一個重要分支，有無限應用前景，一個著名丟番圖問題——費馬最後定理，對於方程xn+yn=zn是否有整數解，這裡n是大於2的正整數，(如果n=2，稱為畢達哥拉斯三角形，從32+42=52。開始有無限解)，這是數論中最著名的沒有解決的問題，沒有人找列一個解或證明其無解。