數學擺(1):周期與角度的關係

令振幅（即與豎直平面偏轉的角度）為 ，對重力進行分解。弦對單擺的拉力計為 。

根據牛頓第二定律，有：

約去單擺質量 後得：

整理得：

小角度近似：

當 很小時， ，代入上式，解得: 。 為振幅， 為角頻率， 為相位角。

對 求導兩次，得 ，根據定義，

非小角度單擺：

現在需要對二階微分方程 進行求解。

為了將二階微分方程轉換成一階微分方程，引入 ：

由於 ,

帶入方程，

分離變數得：

兩邊同時積分：

該微分方程的通解為：

當 時，令 ，此時

因為 ,對兩邊同時積分可解出所需時間。考慮 ,此時應從0積到最大的位移角，也就是：

接下來計算下面的積分：

考慮換元：令

換元得：

則該積分變為：

查表得該積分為一類橢圓積分。

參考文獻：