等比數列求和公式

萬年曆 2013年3月6日 星期三 10:43 癸巳年 正月廿五 設置鬧鐘 站內搜索 支持本站 公益活動 等比數列等比數列的通項公式等比數列求和公式　　(1) 等比數列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 　　 (2) 通項公式：an=a1×q^(n-1)； 　　推廣式：an=am×q^(n-m)； 　　 (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) 　　 Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) 　　 (q為比值，n為項數） 　　 (4)性質： 　　 ①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，則am*an=ap*aq； 　　 ②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列. 　　 ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am*an=aq^2 　　 (5) "G是a、b的等比中項""G^2=ab（G ≠ 0）". 　　 (6)在等比數列中，首項a1與公比q都不為零. 　　注意：上述公式中an表示等比數列的第n項。 等比數列　　如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 　　

（1）等比數列的通項公式是：An=A1*q^（n－1） 　　若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q＞0時，則可把an看作自變數n的函數，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。 　　

（2）等比數列求和公式：Sn=nA1(q=1) 　　 Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 　　 =(a1-a1q^n)/(1-q) 　　 =(a1-an*q)/(1-q) 　　 =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) 　　 (前提：q≠ 1) 　　任意兩項am，an的關係為an=am·q^(n-m) 　　（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 　　（4）等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。 　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 　　另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是「同構」的。 　　等比中項定義：從第二項起，每一項（有窮數列和末項除外）都是它的前一項與後一項的等比中項。 　　（5）無窮遞縮等比數列各項和公式： 　　無窮遞縮等比數列各項和公式：對於等比數列 的前n 項和，當n 無限增大時的極限，叫做這個無窮遞縮數列的各項和。 性質　　 ①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則am*an=ap*aq； 　　 ②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列. 　　 「G是a、b的等比中項」「G^2=ab（G≠0）」. 　　 ③若（an）是等比數列，公比為q1，（bn）也是等比數列，公比是q2，則 　　（a2n），（a3n）…是等比數列，公比為q1^2，q1^3… 　　（can），c是常數，（an*bn），（an/bn)是等比數列，公比為q1，q1q2，q1/q2。 　　（4）按原來順序抽取間隔相等的項，仍然是等比數列。 　　（5）等比數列中，連續的，等長的，間隔相等的片段和為等比。 　　（6）若（an）為等比數列且各項為正，公比為q，則（log以a為底an的對數）成等差，公差為log以a為底q的對數。 　　 (7) 等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) 　　 (8) 數列{An}是等比數列，An=pn+q，則An+K=pn+K也是等比數列， 　　在等比數列中，首項A1與公比q都不為零. 　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 　　 (6)由於首項為a1，公比為q的等比數列的通向公式可以寫成an*q/a1=q^n，它的指數函數y=a^x有著密切的聯繫，從而可以利用指數函數的性質來研究等比數列。 　　 求等比數列通項公式an的方法：　　（1）待定係數法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an　　 構造等比數列a（n+1）+x=2（an+x）　　 a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3 　　所以a（n+1）+3/an+3=2 　　 ∴｛an+3｝為首項為4，公比為2的等比數列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3 等比數列的應用　　等比數列在生活中也是常常運用的。 　　如：銀行有一種支付利息的方式——複利。 　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金， 　　在計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。 　　按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期 等比數列小故事： 　　根據歷史傳說記載，國際象棋起源於古印度，至今見諸於文獻最早的記錄是在薩珊王朝時期用波斯文寫的．據說，有位印度教宰相見國王自負虛浮，決定給他一個教訓．他向國王推薦了一種在當時尚無人知曉的遊戲．國王當時整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無聊賴，很需要通過遊戲方式來排遣鬱悶的心情． 　　國王對這種新奇的遊戲很快就產生了濃厚的興趣，高興之餘，他便問那位宰相，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什麼賞賜．宰相開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8粒……即每一個次序在後的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數目的倍數，直到最後一個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了． 「好吧！」國王哈哈大笑，慷慨地答應了宗師的這個謙卑的請求．　 　　這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接寫出數字來就是18，446，744，073，709，551，615粒，這位宰相所要求的，竟是全世界在兩千年內所產的小麥的總和！ 　　如果造一個寬四米，高四米的糧倉來儲存這些糧食，那麼這個糧倉就要長三億千米，可以繞地球赤道7500圈，或在日地之間打個來回。 　　國王哪有這麼多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩·班·達依爾的一筆永遠也無法還清的債。 　　正當國王一籌莫展之際，王太子的數學教師知道了這件事，他笑著對國王說：「陛下，這個問題很簡單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎麼會被它難倒？」國王大怒：「難道你要我把全世界兩千年產的小麥都給他？」年輕的教師說：「沒有必要啊，陛下。其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數一粒，數完18，446，744，073，709，551，615粒麥子所需要的時間，大約是5800億年（大家可以自己用計算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地數，數到他自己魂歸極樂，也只是數出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜。」國王恍然大悟，當下就召來宰相，將教師的方法告訴了他。 　　西薩·班·達依爾沉思片刻後笑道：「陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了！」當然，最後宰相還是獲得了很多賞賜（沒有麥子）。
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