打敗賭場的算牌高手 | 戴開元文集

（刊於1998年6月紐約《世界周刊》）

華人好賭，港、台、大陸、海外皆然。美國的華人賭客，最喜歡去美國西部的拉斯維加斯和東海岸的大西洋城。一年四季，無數黃皮膚黑眼珠的同胞搭乘賭場提供的免費發財巴士直奔賭城，搖老虎機，打百家樂，玩輪盤睹，或賭廿一點。華人去睹場，當然是為贏錢。但據筆者觀察，除個別幸運者以外，絕大多數人都是輸的多，贏的少。許多人辛辛苦苦打工來的血汗錢，一點一滴攢下來準備養老的保命錢，都送給了賭場老闆，有些華人賭客，甚至輸得傾家盪產，家破人亡。

在賭場賭博究竟能不能贏錢？有人說，賭場自己設計的賭博規則，保障賭場只贏不輸；如果多數賭客能贏錢，賭場就要關門了。然而，芸芸賭客之中的確有極少數人，運用統計學家建立的算牌理論和技術，加上自己的智慧、細心、耐性和毅力，賭廿一點或撲克遊戲機，在賭場贏了大錢。這些人既有職業賭徒，也有退休老婦。既有美國人，也有華人，他們就是賭客中的「算牌(card-counting)」高手。

廿一點算牌高手柯提斯

42歲的安東尼·柯提斯（Anthony Curtis），是全世界最優秀的廿一點高手，曾獲1987年世界廿一點大賽冠軍。他在睹場睹廿一點，施展算牌技術，不僅發了財，還辦了一家出版社，專門出版有關賭博理論和算牌技術的書籍。

柯提斯在底特律長大，是個天生的賭徒，四歲起就喜歡各種賭博。16歲那年，友人送他一本查爾斯·艾因斯坦(Charles Einstein)的《賭廿一點的贏錢術》（How to Win at Blackjack）。他讀了這本書之後，立志去拉斯維加斯賭城，靠賭博為生。

柯提斯認真研究算牌書籍，每日苦練算牌術，練得頭昏腦脹，手上磨起了乾繭。1979年他21歲，放棄了加州大學洛杉磯分校的獎學金，搬到拉斯維加斯，以自己積蓄的1800美元作為賭本，到「撒哈拉賭場」初次下海。第一天他贏了22美元，但第二天卻輸掉900元。初涉賭場的柯提斯經受不了這種打擊，在牌桌上精神恍惚，呼吸急促，後來病倒在床。

初戰失利以後，柯提斯返回現實世界。他先去當股票經紀，後來在拉斯維加斯賭場當保安。這時候，柯提斯遇到一位伯樂，這就是對算牌術頗有研究的統計學與金融學教授斯坦福·翁(Stanford Wong)。翁教授一眼看出柯提斯是個賭博天才，全力支持他參加廿一點比賽，而且獲得一屆冠軍。柯提斯用翁教授提供的資金作為賭本，在賭場中贏了一大筆錢。1989年他開辦杭亭頓出版社 （Huntington Press），出版《焚燒拉斯維加斯牌桌》（Burning the Tables in Las Vegas）、《廿一點理論》（The Theory of Blackjack）、《賭場秘密》（Casino Secrets）等暢銷賭博書。現在，柯提斯只在空閑時才去賭場顯顯身手。

柯提斯只賭廿一點，不搞其他任何賭博。據他研究，賭場的各式賭博中，只有廿一點等極少數賭博，賭客才有勝算的可能，其他絕大多數賭博屬於所謂「負值期望」賭博，即只要賭徒賭博足夠長的時間，賭場一定贏錢，賭客肯定會輸，輸的錢與賭本的比率為1%至60%。例如，輪盤賭就是一種「負值期望」賭博。輪盤有38塊方格，18塊紅色，18塊綠色，2塊為「雙零」。假設賭徒在紅色方格下注，賠率一比一，贏的機率為18/38，輸的機率為20/38，總的機率為1×18/38-1×18/20=-2/38，即-5.3%。換句話說，只要持久賭下去，賭客每下注100元，就會輸掉5元30美分。

但許多賭客不明白這一點，僅1998年他們就向賭場奉送550億元，平均每人輸掉203美元。過去十年來，美國賭博浪潮空前高漲，賭場的盈利倍增。

柯提斯賭博時明鬆暗緊，外馳內張。在牌桌上，他似乎非常輕鬆，悠閑地喝啤酒，有時還與莊家開玩笑，好像一個來度假的觀光客。但他的眼睛卻一直掃描著莊家翻出的每一張牌，腦海里不停地進行幾種變數的運算。在牌桌下，他用左腳來計算出現的A牌數，出現第一張A牌，他左腳後根著地；出現第二張A，腳掌左側著地；第三張A，腳趾著地；第四張A，腳掌右側著地。同時，他的大腦計算著出現的其他牌：二點和八點計為（ 1），三點、四點、六點、七點計為（ 2），五點計為（ 3），九點是（-1），十點和J、Q、K牌（在廿一點中都算十點）計為（-3）。

柯提斯的基本理論是：和其他賭博不同，廿一點是一種事件存在相互依賴關係的賭博；追蹤打出的每一張牌，可以獲得剩餘牌的有用資訊。如果在剩餘牌里有較多的十點牌和A牌，這種形勢對賭客有利，因為賭客容易得到廿一點（莊家的賠錢率是一點五比一），而莊家必須遵守五條規則，容易爆牌。當他計算的數值為正數，他就增加賭注。用這種並不太複雜的算牌技術，只要堅持相當長時間，每個賭客都可在賭場贏錢。

史考特太太積少成多

61歲的退休婦女珍·史考特（Jean Scott）及其老伴布拉德，兩年內用在賭場贏的錢在拉斯維加斯買了一套公寓。她說：「人們常說，如果大家都贏錢，誰來為賭場的輝煌燈火交電費？我就沒有。」

史考特出身於牧師家庭，父親從小對她灌輸的觀念是：賭博是魔鬼的陷阱。她直到35歲，才首次聽說撲克牌遊戲中的「四同花」（four suits）。但她決心補償失去的光陰。她寫的書《儉省的睹客》（Frugal Gambler），剖析了撲克遊戲機的秘密，傳授贏錢之道。她為自己晚年賭博辯護說：「我告訴人們，我是在幫上帝做事，從那些萬惡的賭場老闆那裡把錢拿走。」

史考特認為，賭客不應該去外地觀光客雲集的大賭場，而應該到那種以本地居民為主要對象的小賭場，因為在小賭場賭博，贏錢的機率比其他賭場要大。

史考特玩的是「撲克遊戲機」（video poker）中的「打五張」（five-card draw），每小時大約玩600局，輸贏總額平均達3000美元。這種賭博的規則是：遊戲機發給賭客的五張牌，賭客自己丟掉不好的牌，向機器索要新牌以湊成五張好牌。每台遊戲機顯示該機的賠錢率。例如，每局賭五美元，賭客得到一對J牌以上的牌，就贏五美元；賭客如果湊成「同花大順」(royal flush)，可以贏4000美元。

史考特進賭場做的第一件事是挑選遊戲機。她先用筆記本記錄各台機器的賠錢率和賭博規則，然後加以比較，尋找贏錢機會較大的機器。例如，「滿堂紅」（full house，即三張同點，另外兩張也同點）賠率為九倍的遊戲機，就比賠率為八倍的機器好。回家以後，她把資料輸入電腦程式「撲克贏家」（Win Poker）進行運算。這種程式摹擬數百萬次撲克賭博，算出贏得某種牌出現的機率，然後與遊戲機的賠率進行比較。數秒鐘以後，史考特就得兩個重要數據：對於某一台遊戲機，打哪種牌具有最高的回吐率，以及其回吐值是多少。賭場禁止賭客使用電腦，但並不禁止賭客把記載有最佳賭博方法的資料帶入賭場。

例如，一台叫Deuces Wild的撲克遊戲機，只要嚴格遵照電腦推薦的最佳打牌模式，賭足夠長時間，其回吐率為100.67%。以每小時打600局推算，每小時可贏22.8美元。但史考特說，完全遵照電腦模式打牌是不可能的，通常她的出錯率為0.5%，扣掉之後，她實際上每小時可以贏15美元。

假設遊戲機熒屏上出現一張方塊十、紅桃十、紅桃K，方塊K和梅花J。一般賭客會丟棄梅花J，以便湊成「滿堂紅」。但史考特卻會丟棄兩張十點和梅花J，以便想湊成「四同花」。因為根據電腦計算，這台機器平均每賭47.1局會出現一次「滿堂紅」，賠率為一賠三；但每睹15.39局就會出現一次「四同花」，賠率為一賠五。因而「四同花」才是這台機器的最佳贏錢模式。這台遊戲機的最佳回吐率為100.76%，其中近三分之一來自「四同花」。

史考特說，她嚴格按照電腦指示，抓住一連串中等賠率的贏錢機會，但一般賭徒最易犯的錯誤是想湊成賠率最高的「同花大順」，因為他們不知道遊戲機的最佳贏錢模式。根據電腦計算，同花大順的回吐量只佔總回吐量的1.7%-2.0%。要使遊戲機保持高於100%的回吐率，賭客必須賭很長時間才能得到一次「同花大順」。對於Deuces Wild遊戲機來說，賭客需要打40390局才會得到一次同花大順，每小時打600局的賭客需要連續打67小時。

史科特認為，算牌技術早就是公開的秘密。只要認真閱讀有關讀書籍，會用電腦，每個賭徒都可以在賭場贏得可觀的錢。

算牌術的科學理論

算牌術的基礎理論是概率論。

美國最早對賭博術進行科學分析的著作，是1956年9月《美國統計學協會會刊》發表的論文《廿一點的最佳戰略》，作者是美國陸軍的四名數學家，他們後來被人稱為「包德溫小組」（Baldwin group）。論文分析了在賭廿一點如何獲得最大贏錢機會的賭法，賭客只要遵守論文中描述的規則，就一定會贏錢。這篇論文的發表，使廿一點成為美國賭場最有吸引力的賭博。

「包德溫小組」主要研究怎樣根據手中的紙牌，獲得最大的贏錢機會，但他們認為算牌是不可能的。麻省理工學院數學教授愛德華·索普（Edward O. Thorp）是研究廿一點理論的大師，柯提斯對他佩服得五體投地。索普1962年寫了一本書《打敗莊家》（Beat the Dealer）。他依靠當時還很稀罕的電腦，獲得兩項理論突破：聰明的賭客可以在賭博時算牌，而且，賭客可以利用算牌，保持比莊家更大的贏錢機會。

1950年代以來，數學家研究出數十種關於廿一點算牌術，普通賭客也可以學會。天體物理學家奧拉夫·范庫拉（Olaf Vancura）和電氣工程師肯·福克斯（Ken Fucks），用自己編寫的摹擬程式，在電腦上以每小時賭兩億局的速度進行摹擬計算，獲得一種「K.O.算牌法」，它可能是迄今為止最簡單易行和最可能贏錢的算牌術。他們寫的《打敗廿一點》（Knock-out Blackjack）一書說，在單副牌賭局（single-deck game）中，如果賭客完美無缺地按照「K.O.算牌法」操作，贏錢機率是101.53%。

各種算牌術都要求賭客將撲克牌賦予一定的數值，但K.O.算牌法的賦值辦法最簡單：二至七點為 1，八至九點為0，十點、J、Q、K為-1，A為-1。在實際計算時， 1的牌和-1的牌可以相互抵銷（如一張七點和一張J）。在各手牌之間，只需要記住數張牌。

許多算牌法還要求賭客同時進行「側面計算」（side counting），即獨立追蹤某種牌（通常事A牌）的出現頻率。但K.O.算牌法不需考慮這些。

最後，在多副牌賭局（Multi-deck game）中，許多算牌法要求賭客將已打出紙牌的計算數值，用賭客所估計的剩餘牌數目來除，所得到的「真實計數」(true count)，是決定下注大小的關鍵因素。例如：已打出牌的計算數值為 3。在兩副牌賭博中，已經打出大約一又四分之一迭牌，剩下四分之三副牌，用3/4來除 3，去掉尾數，得到真實計數為 4，這意味著這是賭客是下大注的好機會。但K.O算牌法只要求賭客計算已打出牌的數值，不需要計算「真實計數」。

儘管算牌高手可以使用算牌法，通過長時間賭博而贏錢，這個過程卻並非一帆風順，其中伴隨著大量的輸錢牌局。這是因為算牌的贏錢率只是長時間許多次賭博的平均值，其中存在輸贏的極大波動。柯提斯初次賭博，第一天贏22美元，第二天卻輸掉900美元，就是這種輸贏波動的表現。有時候，賭客可能在數周之內連續輸錢。史考特和她的丈夫布拉德，在某個運氣不好的月份，曾輸給賭場一萬美元。俗話說：輸不起的人不要上賭桌。許多完全可以贏錢的賭客，卻因為經受不起輸錢的精神壓力而放棄贏錢的機會。

另外，賭客用算牌法贏錢，還要有充足的賭本。如果賭本輸光了，拿什麼錢來翻本？算牌理論中的所謂「破產風險」（risk of ruin），就是指一定數量的賭本輸光之後再加倍贏回來的可能性。據范庫拉計算，使用他設計的一種算牌法，廿一點賭博有101.11%的期望回報率。如果賭本為最小賭注的25倍，在加倍贏回來之前，賭本輸光的可能性為47%。如果想要把賭本輸光的可能性減小到0.5%，賭本必須比最小賭注大1000倍以上，即如果最小賭注為5元，賭客最少需要有5000元的賭本。

陳立真的算牌隊

1998年3月7日，內華達州最高法院對華人算牌手陳立真與拉斯維加斯蒙地卡羅賭場的訴訟作出的裁決，不僅驚動了全美賭博界，而且使以陳立真為首的華人算牌隊在公眾中曝光。（見4月26日和5月8日《世界日報》）

陳立真是加州巴沙迪那噴射推進實驗室的電腦程式設計師。他和一些朋友組成的算牌隊，利用業餘時間出沒於拉斯維加斯各賭場，贏了不少錢。該算牌隊成員曹紅，十年前從大陸來美時根本沒有什麼錢，加入算牌隊以後獲得的收入，足夠她在加州大學爾灣分校兩年攻讀企管碩士學位的費用。

由於經常光顧賭場，陳立真已被賭場列入「不受歡迎的賭客」黑名單。三年前，為了避免被賭場認出，他在蒙地卡羅賭場使用假的緬甸護照換到44000美元的籌碼，在廿一點牌桌上贏了40400美元。這時候，賭場發現陳立真是算牌手，立即制止他繼續賭博，而且沒收了他贏到的錢，只把賭本退還給他。陳立真不服，向內華達州賭業管制委員會提出控告，該委員會裁決賭場勝訴。陳立真向地方法院提出上訴，法院駁回了上訴。最後，陳立真向內華達州最高法院上訴。州最高法院裁決說：「陳立真贏錢的首要原因是他賭廿一點的技巧，而不是他提供了假身份。假身份使陳立真換到44000美元籌碼，但並不是他贏錢的原因。」因此，蒙地卡羅賭場應該退還陳立真贏得的40400美元。

和單槍匹馬的算牌手比較，算牌隊具有許多優越性。首先，單個算牌手賭本有限，一旦全盤輸光，難以在短期內籌集足夠的賭本捲土重來。而算牌隊人多勢眾，可以聚集起大筆賭資。目前，陳立真的算牌隊已積累有80-100萬元賭資。其次，正如操買股票中的分散投資，算牌隊能夠分散輸錢的巨大風險和精神壓力。某個算牌手一次失利，有整個算牌隊的巨大賭本作堅強後盾，還可以因其他算牌手贏錢而減小自己的壓力。第三，在賭博時，算牌隊員之間還可以相互配合。例如，一個女隊員遇到壞牌、以小賭注連續輸錢之後，發現了可能獲得好牌的機會，為了避免突然增大賭注而引起賭場懷疑，她可以讓自己的「男友」上場。

當然，算牌隊人數較多，也帶來管理和贏利分配方面的困難，以及個別隊員從中舞弊的問題。陳立真的算牌隊是由相互信得過的朋友和夫妻檔組成。七年來，他的算牌隊僅開除過一名暗中貪污錢的隊員。

賭場的態度

賭場老闆開賭場，當然希望賭客輸的錢越多越好。算牌技術和算牌手的出現，似乎給賭場帶來莫大威脅。然而，對於雨後春筍般冒出來的算牌書籍、電腦軟體和講座，賭場卻似乎不聞不問甚至持暗中高興的容忍態度。這是為什麼呢？

1962年索普出版《打敗莊家》一書之後，《生活》畫報曾經預言，索普研究出的算牌技術會導致一場賭博業的大革命。各地賭場也惶恐不安，他們以為即將冒出一大批算牌手，連忙採取對應措施。1964年4月1日，拉斯維加斯德大多數賭場宣布修改廿一點賭博規則。例如，一對A牌不能分開計算，雙倍賠率只限於兩張牌點數為十一點。這種規則修改，就好像下國際象棋時，其中一方首先被拿掉一隻車。

但這樣一來，大批賭客拒絕賭廿一點，牌桌旁邊門可羅雀。賭場經理一看不妙。只好恢復原來規則，才把賭客拉回賭桌。一段時間之後，賭場經理放下心來。現在，不僅賭廿一點的人比原先還多，賭客下注的錢也多於過去，賭場當然也賺了更多的錢。這是因為更多的人認為賭廿一點最可能贏錢，而被吸引賭桌上來。范庫拉認為，大多數賭客沒有認真研究和熟練掌握算牌技術，就匆匆忙忙坐到賭桌上。

對於普通賭客的無知和無能，柯提斯、史科特等算牌高手感到十分驚訝。毫無疑問，賭客利用算牌技術完全能夠打敗賭場。他們希望賭客們不願繼續輸錢，使賭場巨額盈利萎縮。那些通過智力努力而不是碰運氣者的成功賭客，將激發新的認識，概率論的美妙、奇妙和不可阻擋力量。

最後，筆者想告誡讀者：不是算牌高手，最好別去賭場。

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算牌參考書籍：

彼得·葛瑞芬：《廿一點理論》（Peter Griffin：The Theory of Blackjack），Huntington Press，1999年第六版。此書介紹了關於廿一點賭博的數學理論，但如果沒有學過統計學，不易完全讀懂。

奧拉夫·范庫拉和肯·福克斯：《打敗廿一點》（Olaf Vancura & Ken Fuchs: Knock-Out Blackjack），Huntington Press，1998年版。此書介紹的算牌術簡單易行，但又保留了複雜算牌術的威力。

斯坦福·翁：《翁氏最新廿一點新聞》（Stanford Wong: Stanford Wong』s Current Blackjack News），月刊，Pi Yee Press。該雜誌報導一些對賭客很有用的全國賭場新聞。例如，為了吸引賭客，一些賭場經常在短期內修改廿一點賭博規則，這些規則修改對賭客贏錢有利。例如，把兩張牌廿一點的賠錢率從平時的一點五倍改為兩倍，該雜誌訂閱辦法見網址www.bi21.com。

珍·史考特：《儉省的賭客》（Jean Scott: Frugal Gambler），Huntington press，1998年版，介紹撲克遊戲機的贏錢法。

安東尼·柯提斯：《拉斯維加斯指南》（Anthony Curtis: The Las Vegas Advisor），月刊，Huntington Press。