恆表孿生素數公式

07-22

提要孿生素數猜想是數論中的著名未解決問題。這個猜想產生已久；在數學家希爾伯特在1900年國際數學家大會的著名報告中，它位列23個「希爾伯特問題」中的第8個問題，可以被描述為「存在無窮多個素數p，並且對每個p而言，有p+2這個數也是素數」。由於孿生素數猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯繫，因此不斷有學術共同體外的數學愛好者試圖證明它。有些人聲稱已經證明了孿生素數猜想。然而，尚未出現能夠通過專業數學工作者審視的證明。（引自百度『孿生素數』詞條。）因此，在此不介紹該問題的研究進展和成果。

由此可見孿生素數問題，特別是孿生素數公式是數論研究的一個重大的熱門課題。[1][2][3][4][5][6][7][8]

根據素數判定定理即可推導證明恆表孿生素數公式。

關鍵詞恆表孿生素數公式

引理素數列前r項之積加上或減去1，都不被大於第r項素數、小於和或差平方根的素數整除時，必為孿生素數。

推論一任意改變積的若干個因素的指數，引理依然成立。

推論二當積的因數（除開2外）缺項（即其指數改變為0）時，和或差不被所缺項素因數整除時，引理依然成立。

定義令p、pr、px、py表素數。

n、r表自然數,且｛n｝=｛1、2、3、4、5···n｝，n≥r ，｛r｝=｛1、2、3、4、5···r｝，r=1時，2的指數≥2。

pr!i=自然數列前r項或其中若干項之積，且除開2的指數不為0外，各項的因數指數可以任意改變。

pr＜py≤ p、p+2平方根。

px表pr!缺項的素因子。

「|」為整除號，「?」為不整除號。「i」為任意改變指數號（簡稱變冪號）。

則引理可表述為：

孿生素數公式p=pr!-1p+2=pr!+1px、py?p、 p+2

證明pr|pr!,pr?1 =〉pr?p+2、p；又r=r≥1，所以前r項素數都?p、 p+2。

已知px、py?p、 p+2。=〉所有小於或等於p、 p+2平方根的素數都?p、 p+2。

假定有一個大於py的素數|p、 p+2 ，已知py≤ p、p+2平方根=〉必然同時有一個pr或py同時|p、 p+2，這與前面已證pr、py?p、 p+2矛盾。=〉假設不成立。

綜上=〉p、 p+2必為孿生素數。引理得證。同理可證推論一、二成立。

例如根據引理可得孿生素數：

p+2= 2x2+1=5p=2x2-1=3

p+2= 2x3+1=7p=2x3-1=5

p+2=2x3x5+1=31p=2x3x5-1=29

（各式積的末位因數即pr的取值，下同。）

根據推論一，改變引理例式中各因數的指數可得孿生素數：

p+2=2x2x3+1=13p=2x2x3-1=11

p+2= 2x3x3+1=19p=2x3x3-1=17

p+2=2x3x5x5+1=151p=2x3x5x5-1=149

p+2=2x2x3x5+1=61p=2x2x3x5-1==59

p+2=2x2x2x3x3+1=73p=2x2x2x3x3-1=71

p+2=2x2x3x3x3+1=109p=2x2x3x3x3=1=107

p+2=2x2x3x3x5+1=181p=2x2x3x3x5-1=179

p+2=2x2x2x2x2x2x3+1=193p=2x2x2x2x2x2x3-1=191

p+2=2x2x3x5x7+1=421p=2x2x3x5x7-1=419

根據推論二，改變引理例式中pr的值和各因數的指數可得孿生素數：

p+2=2x3x7+1=43p=2x3x7-1=41

p+2=2x2x5x5+1=101p=2x3x17+1=103

p+2=2x3x23+1=139p=2x3x23-1=137

p+2=2x3x3x11+1=199p=2x3x3x11-1=197

又因為偶數都是2的倍數；任意一個奇合數都是若干個奇素數的積，所以任何奇合數分解質因數都必然是引理及推論中的一種形式；由此推知引理及推論可以表出任意奇數，包含了所有孿生素數，從而推知引理及推論可以表計全部孿生素數，證畢。

引理及推論合併表述為：

恆表孿生素數公式

p=pr!i-1p+2=pr!i+1px、py?p、 p+2，p、 p+2必表孿生素數，且其值集就是全部孿生素數。

pr≤自然數n, n!(分解合數項質因數)=pr!=>此式可表述為：

孿生素數定理自然數列前n項之積，或n內任意若干項(除開2的指數不為0外，各項或其素因子指數可以任意改變)之積，加上或減去1，和或差都不被缺項的素因子、大於n的素數小於或等於和或差的平方根的素數整除時，必為孿生素數。且所有孿生素數都可以如此表計。

例如p+2=1x2x3+1=7p=1x2x3-=5

p+2=1x2x3x3x4+1=73p=1x2x3x3x4-1=71

p+2=1x2x3x7+1=43p=1x2x3x7=41

p+2=1x2x3x4x13+1=313p=1x2x3x4x13-1=311

p+2=1x2x3x53+1=319p=1x2x3x53-1=321

參考文獻

[1] 華羅庚著《數論導論》［M］1957年7科學出版社

[2] 徐馳著《哥德巴赫猜想》[N] 1978年2月17日《人民日報》

[3] 百度百科[詞條]「哥德巴赫猜想」[DB/OL]

[4]百度百科[詞條]「素數普遍公式」」[DB/OL]

[5]百度百科[詞條]「孿生素數」[DB/OL]

[6]百度百科[詞條]「梅森素數」[DB/OL]

[7]百度百科[詞條]「陳氏定理」[DB/OL]

[8]王曉明著《哥德巴赫猜想傳奇》[J]【中華傳奇】1999年3期pp. 25-38.

修改問題

1、如果列印版式不合要求；文字、技術錯誤，請改正。

2、有些算式中有相同的數的乘積，最好在「和、差」前再「=」一次，把它們改寫成乘方，其它數不變。

3、把px、py、pr等角標數字x、y、r打規範。

筆者打不成，沒法修改。