物理學上複雜的理論公式 | 好生活

07-22

克斯韋，薛定諤方程等有很多參數，那麼這些公式是如何得到的呢？

確切的說物理學家做的是用數學語言描述物理量之間的關係，通常一列出來就是方程的形式。數學推導工作很大程度其實是在於解方程。真正體現物理學家的素養的是在於這方程怎麼列。方程都是體現了一定的規則的。物理學家的觀點是以方程的形式表達的。例如E=m c^2就是愛因斯坦的觀點，他認為E就不等於m c^3或者m^2 c。方程就是用來體現類似這種規定性的。所以，不如問物理學家是怎樣形成新的觀點的，因為形成了之後剩下的就是用數學表達出來，這就是數學好不好的問題不是物理好不好的問題。在所謂奧卡姆剃刀的原則下，到底什麼時候需要形成新的觀點？那就是觀察到自然界有新的規律性，是用現有的理論沒辦法描述的。就是說，這種規律性或必然性，沒有被現有的理論體系所規定。按現有的理論體系，並沒有這種必然性。這時你就需要給現有的理論體系「加一條規定」，使得它不違反已有的所有理論，又能預測出新發現的規律。要不違反已有的理論，你最方便的方法不是靈機一動想到一個再拿去與已有理論一一對應（這是民科的做法，他甚至還不屑於對應），而是乾脆就從已有理論出發來思考新的規定。這在數學上類似於是給已有方程組加一條方程的動作。

例如，液體的流動，需要滿足質量守恆、動量守恆和能量守恆。但光這三條守恆律並不能解釋流體力學中這麼多的現象，因此對於一個具體的流動問題，你需要再加一個方程來描述除以上三個守望恆律外的具體的規律。這個方程在流體力學裡叫本構方程。它無論被怎麼設計，都必須滿足質量守恆、動量守恆和能量守恆這三條方程。除此之外，你只需要把它設計到能與實驗結果相符即可，這一步跟使把戲一樣。

真正需要推導的，是當本構方程已經寫好了之後，要給出具體問題的解。這時需要解方程。如果你設計的本構方程形式很坑爹，解方程就會在數學上很困難。但這在物理上，只是技巧性的問題。

中小學學習到的「公式」，很多不過是方程的解。沒讓你們接觸到方程本身。

不大理解你說的有很多參數是什麼意思. Maxwell 方程是幾個實驗定律的高度數學總結. 裡面的幾個係數都是有物理意義的, 如介電常數, 磁化率等. 這些和你研究的物質直接相關. 最簡單的是真空, 無源的情況. 稍複雜的是真空, 考慮有源, 比較難處理的是不為真空的情況, 又有各向同性介質和各向異性的介質…. 這些係數都是有根據的, 在你研究問題之前就確定了的. Schordinger方程是不能被嚴格推導出來的, 教科書里的推導都用到了類比, 即把一般的物理量對應為算符表示.裡面的常用待定量是V(x,y,z)也就是勢的情況. 隨著研究的問題不同, 形式也不一樣. 如一維勢阱, 中心勢(H原子的例子)等.公式的形式其實已經很簡結了, 且抓住了物理中最需要考慮的內容. 把這些公式應用到真實的問題中才是最複雜的. Maxwell 方程就四個公式,但是要解決一個實際的問題, 還要考慮邊界條件等等的問題. 看看張之翔的電動力學題解吧, 裡面全是很有意思的問題和解決方法, 遠比四個方程複雜的多.

新的理論總是基於舊的理論和假設之上，例如E=mc^2基於洛倫茲變換，上圖大多數物理公式不是嚴格推導出來的。而是拼湊出來的。很不可思議吧。這就涉及到一點:古典物理（牛頓經典力學）和近代物理（量子力學）體系的不同。古典物理學家一般也都是數學家，他們推導過程邏輯嚴謹，（如自然哲學的數學原理）讓人看起來感覺很有邏輯美。近代量子力學就要求物理思維更重要了（物理直覺），畢竟公式再完美，沒有物理意義也沒用。比如薛定鍔（之前以為是中國如人汗）方程。首先，薛定鍔的導師，認為電子有波的性質，那麼做為一種波，這個波肯定滿足一個方程。看好了，薛定鍔可是先知道:方程的解是波的形式fai的，然後往回去湊方程的形式。當然，這裡還是要遵守一些運演算法則的。不過不符合也沒關係，就等於定義了一種新的運算關係（比如:量子力學裡狄拉克符合；當年亥母霍茲解電報方程也不懂拉普拉屎變換.可他就這麼用了）。類似的公式產生有:普郎克的量子常數；質能方程.狹義相對論等你所謂的參數多可能是你還沒學一些物理所需要的數學知識，如高等微積分和數理方程等。麥克斯韋方程組中的三個方程是由前人寫的，比如第一個方程是散度定理也就是高斯定理的變形，第二個方稱是安培環路定理的變形，它在數學上是斯托克斯定理，第三個方程是法拉第電磁感應定律，第四個方程右邊第一項類比法拉第電磁感應定律很容易得到，麥克斯韋最偉大的貢獻是引入了第二項也就是位移電流，這樣一來實驗和理論外完美結合起來。由此可以看出每一個偉大理論的出現少不了前人的貢獻。而你的問題是麥克斯韋怎麼想到的？這正是麥克斯韋的偉大預見，當時實驗說明缺少位移電流的方程與實驗不能吻合，麥克斯韋便人為插進這一項，就是他通過嚴謹思考「猜」出來的，但這個「猜」不是憑空猜出來的，有理可循！又符合實驗，於是人們承認他是對的。薛定諤公式就真的是他猜出來的，可是你說他參數多。可能你沒學過偏微分吧。方程的每一個參數都是那麼的必要，而方程本身又是那麼的美妙。據說，後來有一位物理學家像另外一個物理學家抱怨：其實薛定諤方程我之前也寫出來過，可是我後來把他放棄了。另一個物理學家說：如果一個人面對如此優美的方程而無動於衷的話，那麼他不適合學物理。（並未含沙射影）薛定諤但是大筆一揮寫下了這個優美的方程，然後他試著解氫原子的波函數，竟然被他解出來了，於是人們承認方程是對的！總結一下，每一個偉大的方程背後一定有物理學家超出前人的遠見，但是絕非憑空想像，其背後必然有作者紮實的物理功底作為基礎（德布羅意大神除外）。他既要不循規蹈矩，思想還要高出普通人。擁有一個以自己名字命名的方程是每一個物理學工作者至高無上的夢想！與樓主共勉！

麥克斯韋方程組是通過實驗總結出來的，至於裡面用到的符號的數學意義只不過是套用進來，然後賦予物理意義。薛定鍔的那個我目前還沒學很多，但是教授推倒的時候是把已有的波方程做了個變換，然後得到的。（也就是說已我現在學的，薛定鍔方程是從一個看起來不合理的方程而弄出來的，結果符合實驗）另外就是力學裡的拉格朗日方程，漢密爾頓方程，都是基於d』Alembert方程的純數學變換，就是為了能少分析一點描述運動的量，而且還把牛頓力學裡沒有考慮的動量、能量守恆考慮在內。費曼說過，物理實際上是一個不斷追求精確的學科，實際上物理並不是完完整整描述自然現象，而是通過數學手段來做近似，所以物理公式還有可能就是從簡單變化為複雜（考慮更多因素）。例子也是麥克斯韋方程，從電靜力學到電動力學總之，一個物理學家方程牛的地方在於總結前人的智慧和自身預見性下的成立！

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