漫談數學的兩重性

漫談數學的兩重性

zhangxiaoping

摘要：數學在人類文明的進程中發揮了巨大的作用，人類對數學本質的認識隨著數學的發展也應該是多視角的。通過對數學多個側面的考察分析，揭示了數學在不同方面都折射出兩重性的特點：數學是演繹的科學，也是歸納的事實；數學的真理性和數學基礎中存在著裂縫；數學是工具，也是文化；數學是發現的，也是發明的；數學是抽象的，也是直觀的。

關鍵詞：數學 演繹 歸納 真理 文化 發現 發明 抽象 直觀

數學在人類社會的歷史演化中發揮著巨大的作用，數學是人類思維智慧的結晶，是人類文化和文明的思想瑰寶。數學理論的形成過程，就是人類對科學真理不斷探索和追求的過程。巴爾扎克曾經說過，沒有數學，我們整個文明大廈將坍塌成碎片。數學作為人類心靈最崇高和獨特的作品，永恆矗立在人類理性發展的巔峰之上。

人類對數學本質的認識隨著數學的發展與時俱進。關於數學的定義，最為引人注目的有兩個，一個是恩格斯在十九世紀給出的：數學是研究客觀世界數量關係和空間形式的科學。一個是數學的當代定義：數學是關於模式和秩序的科學。前一個直觀，後一個抽象，人們對此見仁見智。我們認為，這兩個定義的觀點是一種繼承關係，是數學發展歷史積澱的必然結果。前者反映了數學的本源，後者是從數學的抽象過程和抽象結構方面對數學本質特徵的闡釋，反映了數學發展的當代水平。

美國著名數學家柯朗（Courant．R）在《數學是什麼》中揭示了數學具有兩重性的特點。他寫道：「數學作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、縝密周詳的推理和對完美境界的追求。它的基本要素是邏輯和直覺、分析和推理、一般性和特殊性。雖然不同的流派各自強調數學不同的側面，然而，正是這些相互對立的側面之間相互滲透和相互辨析，才構成了數學科學的生命力、實用性和崇高價值。」 因此，對數學的兩重性，我們應該有一個深入的了解。

一、數學是演繹的，也是歸納的

一般說來，人們認識客觀世界的方式有兩種，一是由認識個別的、特殊的事物，進而認識一般的事物，這種認識方法稱為歸納法。一是由認識一般的事物，過渡到認識特殊、個別的事物，這種認識方法稱為演繹法。認識的深化，是在歸納和演繹的交替過程中實現的。歸納把對許多事物的特殊屬性的認識發展為對於一類事物的共同屬性的認識。演繹把從歸納得出的一般結論作為依據，去研究其它個別事物的特性。因此，歸納是演繹的基礎，而演繹是歸納的深化。

美國的數學教育家波利亞（Pólya．G）曾精闢地指出：「數學有兩個側面，一方面它是歐幾里德式的嚴謹科學，從這個方面看，數學是一門系統的演繹科學。另一方面，創造過程中的數學，卻像是一門試驗性的歸納科學。」 美國數學家馮·諾依曼（Von Neumann．J）認為，數學的本質具有兩個側面，就是數學理論的抽象性、嚴謹性和形式化與數學發現過程中的直觀性、經驗性和歸納性。

《幾何原本》是數學發展史上的第一座理論豐碑。歐幾里得(Euclidean)將原有的數學知識進行梳理提煉，把理論的起點建立在人們的直覺上，找出少數最直觀的原始概念和公設、公理，藉助人類思維的先進邏輯推理模式，逐條推演出以後的命題，採用演繹法的體系建構了平面幾何理論，從而確立了公理化思想，確立了演繹推理的範式。人們對數學演繹體系的推崇，表達了對科學理論方法的絕對信服。數學從此步入發展的坦途。

公理體系使得數學具有鮮明的學科特點，清晰的邏輯起點，明確的概念，正確的判斷。是演繹推理使得數學內容條理清晰，基礎敦實，結論正確，因而顯示出巨大的力量。演繹可以引導歸納，當演繹推理出現阻礙時，就是向歸納提出問題，促使歸納超越模糊、零散和殘缺。

然而，由邏輯演繹構築起的理論體系制約著思維的自由，因為體系裡面多是同語反覆，只能環流，不能前進。這就是歐式幾何理論成為長期制約非歐幾何產生的藩籬的重要原因。由此看出，邏輯演繹的主要功能不是發現新的結論，而是架構基本概念、基本運算和基本命題之間的必然聯繫。邏輯演繹擅長的是檢驗這些聯繫之間的途徑是否有效，卻難以確定通往正確方向的途徑，因為確定通往正確方向的途徑是需要做出選擇的，而這恰恰是歸納法之所長。

用公理化思想呈現出的數學理論，實際上也不是邏輯演繹的一統天下，其中的原始概念就是歸納的結果。甚至邏輯推理本身也不能說就完全是演繹的，它的發展路徑是需要選擇的，這隻能靠歸納法來完成。如果沒有歸納法的參與，演繹法將寸步難行。另外，數學中的公理是不能用演繹法證明的，它是基於數學家的觀念歸納出來的。演繹法所用的形式邏輯也是不能用演繹法證明的，它是基於人類思維經驗的積澱和哲學信念的選擇。由此看來，演繹法的過程須臾也離不開歸納，更不要說數學裡的發現和創造了。

費爾馬大定理是在1637年由法國數學家費爾馬(Pierre de Fermat)提出的一個猜想。在猜想提出以後的三百多年裡，一批天才的數學家都在研究它，儘管他們都是演繹推理的大師，也認識到要徹底解決這個難題是需要特殊理論工具的，但是苦於找不到這個工具，或者這個工具當時就沒有誕生，所有嘗試去證明它的努力都付諸東流。英國數學家安德魯·懷爾斯(Andrew J. Wiles)自小就立志要證明費爾馬大定理。恰恰是他認識到谷山——志村猜想與費爾馬大定理之間的聯繫是突破這個難題的關鍵，而且選擇了他非常熟悉的有理數域上的橢圓曲線理論作為工具， 在1994年攻克了這個數學難題。他說「那是1986年夏末的一個傍晚，我正在一個朋友家中飲茶。談話間他隨意告訴我，肯·里貝特已經揭示了谷山-志村猜想與費爾馬大定理之間的聯繫。我感到極大的震動。我記得那個時刻，那個改變我生命歷程的時刻，因為這意味著為了證明費爾馬大定理，我必須做的一切就是證明谷山——志村猜想。」由此可見，懷爾斯找到實現他童年夢想的道路首先應該取決于歸納法。

我們在完成對一個數學問題的證明和計算之前，往往是通過歸納推理建立猜想，探究證明的途徑和計算的程序，形成較為成熟的思路，而後才用演繹法把它呈現出來。歸納法通過試驗、觀察和聯想，總能得到有別於邏輯的判斷，因此，歸納法成為人們探索和發現真理的主要工具。要創造新的數學領域，就要有新的觀念，開拓新的領域，創立新的方法，提出新的概念。在這些方面，演繹法都是望塵莫及的，試驗、類比、觀察、推廣、概括、檢驗等歸納方法卻起著不可替代的作用。坐標系的建立，集合論的發現，微積分的確立等幾乎所有數學裡程碑的矗立，無一不是歸納的結果。如此看來，歸納法是數學理論的助產士，它不僅不會影響數學的嚴謹性，而且還增強了人們對數學嚴謹性的信心，使人們對數學的無矛盾性深信不疑。

歸納是演繹的基礎，演繹是歸納的升華。歸納與演繹是人類認識世界的兩個基本方法，他們相互影響，相互補充，相得益彰。

例如，在證明恆等式=，可以將x的三個特殊值代入進行檢驗，如果等號都成立，就能肯定它是恆等式。這是歸納法。那麼為什麼只用三個特殊值就能證明這個恆等式呢？這就需要用演繹法證明，因為二次方程最多只有兩個根。在這個具體問題上，演繹法支持了歸納法，演繹法證明了歸納法的有效性。

中國古代的數學不可謂不發達，但是卻只是停留在歸納的層次上，沒有出現像歐幾里德《幾何原本》那樣嚴密邏輯演繹的著作。歷史告訴我們，沒有邏輯演繹是可以有數學的，沒有歸納法就一定不會有數學。但是沒有邏輯演繹不會有成熟的數學。中國古代的數學沒有形成理論系統，就是因為中國沒有邏輯演繹的傳統。在數學發展的歷史上，應該說歸納法是居於主導地位的，演繹則居於主體地位，它們共同組成了數學騰飛的雙翼。

中學數學作為數學的基礎，當然兼具歸納和演繹的特徵，我們在數學教學中既要培養學生演繹思維的縝密，又要培養學生觀察、歸納、類比、聯想、推廣、猜想、實驗等合情推理的思維習慣，在教證明之前，先教好猜想。在數學教材中，對知識的呈現形式大多都採用演繹的方式。我們的教師在做教學設計時，要根據學生的認知特點，大多情況下，都有必要將數學知識的呈現形式改造成歸納的方式，以利於激發學生的學習興趣和創新能力。數學教學的功夫要用在研究歸納法的教學上，當然，這樣做決不能以淡化演繹法的教學做交換。

二、數學的真理性和數學基礎中的裂縫

數學作為一門邏輯嚴密的科學，雖然都認為它是數學家心智自由的創造物，但是還沒有任何一位嚴肅的自然科學家提出，數學的真理性必須經過實踐的檢驗後，才能應用於其它科學領域。這不僅僅是因為數學植根於客觀世界，深刻揭示了客觀世界的必然規律，極大地推動了科學技術的進步。還因為數學理論是建立在邏輯的基礎之上，根據邏輯規則進行演繹推理，形成了抽象的形式。邏輯是人類公認的對客觀世界進行思維的正確方法和理論，數學中所反映的抽象結構、秩序和變化，是客觀世界裡最基本的概念和最本質的關係。所以，數學的本質具備了客觀性和真理性。

但是，數學自身並沒有孤芳自賞，數學從來不忌諱自身的瑕疵。二十世紀初，巍然屹立的數學大廈的基礎陸續發現了裂縫，最著名的就是羅素（Russell）悖論。於是，數學家們開始關注和審視數學基礎的問題。

德國數學家康托（Cantor）在十九世紀下半葉創立了集合論，初期曾經遭到一些數學家的詰難。但是也有一些數學家們發現，從自然數和康托集合論出發，可能建立起數學理論的大廈。在1900年的國際數學家大會上，法國數學家龐加萊(Jules Henri Poincaré)就宣稱：「藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈。今天，我們可以說絕對的邏輯嚴密性已經達到了」。 德國數學家希爾伯特(David Hilbert）一直堅信「人類理性提出的問題，人類的理性一定能夠回答」的理念，他在大會上提出了二十三個數學問題，其中第二個就是關於確立數學體系的協調性，即無矛盾性。然而，僅僅過了三年，英國數學家羅素就在集合論里發現了漏洞，提出了羅素悖論。

所有集合可以分為兩類：第一類的集合以其自身為元素，即P={A∣A∈A}，第二類的集合不以自身為元素，Q={A∣A?A}。顯然P∩Q=。那麼，集合Q作為元素，應該屬於P 呢？還是 屬於Q呢？

若Q∈P，那麼根據第一類集合的定義，必有Q∈Q，引出矛盾。若Q∈Q，根據第二類集合的定義，Q?Q，還是矛盾。

羅素悖論被通俗地稱為理髮師悖論。某個城市裡有一位理髮師，他為且僅為城市裡所有不給自己刮臉的人刮臉。那麼，他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於「不給自己刮臉的人」，他就要給自己刮臉。如果他給自己刮臉呢，他又屬於「給自己刮臉的人」，他就不該給自己刮臉。

羅素悖論所涉及的只是集合論中最基本的概念和關係，簡潔明了，卻使集合論產生了悖論，這極大地震動了數學界。

這時，希爾伯特經過思考，提出了一個元數學方案，希望能構造一個有關自然數的有限公理系統，從若干公理出發，用邏輯演繹的方法，經過有限步驟將系統形式化，以克服悖論給數學帶來的危機，一勞永逸地消除對數學基礎以及數學推理方法真理性的懷疑。繼而建立起實數和分析的協調性方案，最後構建整個形式主義的數學體系。

這樣就要求，數學理論系統要滿足獨立性，還要滿足完備性和協調性。獨立性是指系統里的公理之間不能互相推出；完備性是指在系統里，一個命題一定是可以證明或者證偽的；協調性是指系統里不能存在矛盾。

希爾伯特的想法鼓舞了奧地利數學家哥德爾 (K.G?del）。哥德爾 1930年獲得博士學位之後，為了取得在大學的授課資格，必須要做一個數學研究課題，他就選擇了研究希爾伯特的這個問題。他開始完全是沿著希爾伯特制定的方案路線，首先考慮建立自然數公理系統的協調性，然後再建立實數公理系統的協調性。然而，歷史卻開了一個玩笑，哥德爾得到的結論完全出乎意外。他在1931年1月發表了《論〈數學原理〉及有關係統中的形式不可判定命題（I）》一文，向世人宣告了兩個令人驚奇的定理，一舉粉碎了希爾伯特的美麗構想，證明了自然數公理系統的協調性不能用有限步驟證明。

哥德爾第一不完備定理：任何包含了自然數的數學形式系統，如果是協調的，就是不完備的。

即一個沒有矛盾的數學系統裡面必定存在不可判定真假的命題。數學真理原來並不總是可以證明的。希爾伯特希望建立完備性數學系統的願望落空了。

哥德爾第二不完備定理：任何包含了自然數的數學形式系統，如果是協調的，其協調性在這個系統內是不可證明的。

即一個數學系統里的無矛盾性不能用它自身的理論來證明。希爾伯特希望建立協調性數學系統的願望也落空了。

這兩個定理實際上表明，希爾伯特要構建的數學公理系統要麼是不完備的，要麼是不協調的。它明白無誤地向我們昭示了數學演繹推理方法的局限性。法國數學家外爾(Hermann Weyl)由此發出了幽默的感嘆：「上帝是存在的，因為數學無疑是協調的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種協調性。」

數學能夠發現和正視自身的局限性，這恰恰表明了數學已經發展到了非常成熟的階段。不過，要說明的是，不能證明自然數公理系統的協調性，並不是說這個系統就不是協調的，在一個更大的系統里就能證明它。事實上，它就被德國數學家根茨（G.Gentaen）在1936年使用蘊涵著非演繹邏輯的超限歸納法所證明。只是根茨用以證明自然數公理系統協調性的系統，卻又不能在它自身的系統里得到證明。

建立一個協調性的數學公理系統，是數學家們的美好願望。策梅洛1904年發表的論文給出了選擇公理（也稱為策梅洛公理），他在1908年建立了第一個集合論公理系統，給出了外延、空集合、並集合、冪集合、分離、無窮與選擇等公理，A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗又作了改進，增加了替換公理，馮·諾伊曼進一步提出了正則公理，後經策梅洛的總結構成了著名的集合論公理系統ZF，形成了公理集合論的主要基礎。

1924年，波蘭數學家巴拿赫和塔斯基運用選擇公理證明了一個分球怪論：將一個三維實心球分成有限部分，然後通過旋轉和平移重新組合，可以得到兩個體積和原來相同的球。

如此違反常識的數學結論無疑增加了人們對選擇公理的排斥。人們希望用ZF系統里的其它公理證明選擇公理是錯的，從而把選擇公理排除出去。可是，1940年哥德爾卻出人意料地證明，ZF系統里的其它公理和選擇公理並不矛盾，是彼此相容的。

承認選擇公理，就會出現分球怪論。而不承認選擇公理，情況會更糟糕，平均每年會出現一個怪定理，例如連續函數會變得不連續，一個空間會有兩個維數，不可測集變成了可測集等等。一向被譽為完美無缺的數學大廈竟存在著如此明顯的矛盾。由此不難知道，人類思維之謎僅靠數學體系自身的邏輯是無法自圓其說的。

恰恰是數學家們指出，數學的理論體系並不就是絕對真理。真理是不懼怕批評和質疑的，任何拒絕批評和質疑的理論都是偽善的。數學竟然可以在一片鶯歌燕舞的氛圍里，高舉起自我批判的大旗，審視自身的缺陷，一旦發現了悖論，並不迴避，立刻公布。這該是一種何等寬闊的理論胸襟和高貴的理論品質啊！

由於數學自己都在質疑自己的邏輯基礎，在數學教學實踐中，我們就完全沒有必要拘泥於數學教學形態的邏輯嚴密性，尤其是現在數學教材的編寫，已經淡化了邏輯線索，每個教學模塊之間的邏輯聯繫也是疏散的。在教學設計中，不要刻意渲染數學教學形態的邏輯嚴密性，重點要放在體現數學思維的教育價值上，關注情感態度價值觀方面的教學，提高學生的數學素養並不取決於數學邏輯的嚴密性。數學教學的真諦是要體現出讓學生經歷感受、體驗和思考的過程，通過自己的觀察、實驗、歸納、類比、概括等活動，建立起對數學的理解力，經歷「數學化」和「再創造」的數學思維過程，從根本上掌握數學的計算和證明方法。

三、數學是工具，也是文化

數學是科學的僕人，是打開科學之門的鑰匙。這是說數學是一種技術，是一個工具。數學經過理論的抽象和概括，形成了獨特的思想方法，在對人類生產生活實踐和科學技術等方面進行定性描述和定量刻畫中，數學技術顯示出了巨大的威力，有著最為廣泛的用途。普及數學知識，利用和發展數學技術，成為當今世界各個科學領域的一個主題。

早在1959年5月，數學大師華羅庚在《大哉數學之為用》的文章中就精闢地提到數學的各種應用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁等各個方面，無處不有數學的重要貢獻。

宇宙空間存在許多有趣的問題，天文科學家利用數學模擬研究太陽和其它恆星的消亡過程。數學模型已經證實，太陽系在相當長的時間內是穩定的，至少在10億年內不會消亡。太陽消亡的結果，是演化成一顆白矮星。當代最偉大的物理學家霍金(Stephen Hawking)用數學研究宇宙的黑洞現象，也取得了舉世矚目的成就。

海王星是距太陽系最遠的行星之一，它是在數學計算的基礎上被發現的。1845年，英國數學家亞當斯經過計算，分析了天王星運動軌道沒有按照數學規律分布，進而推斷這是由於其它行星的引力而產生的。他把這個結果通報給了英國皇家天文台。天文台卻將其束之高閣。 1846年，法國數學家勒威耶也計算出了同樣結果，而且比較精確地計算出了這顆行星的位置。德國天文台的伽勒博士按照他的計算結果，很快就找到了這顆新的行星——海王星。

數學在軍事方面大有用武之地，第一次世界大戰被稱為化學戰（彈藥），第二次世界大戰被稱為物理戰（原子彈），而海灣戰爭被稱為數學戰。 1990年海灣戰爭中，伊拉克軍隊點燃了科威特的數百口油井。這早在美軍的預料之中，戰爭之前就讓美國的太平洋-賽拉研究諮詢公司利用數學方法進行研究。他們為此建立了模擬煙霧流體的數學模型，利用NS方程計算後得出結論：油氣燃燒的煙霧將導致重大的污染，但是，還不至於對地球的生態和中東的經濟系統造成損失。這就促成了美軍下定了用武力打擊伊拉克的決心。

在研製核武器過程中，美國研製MZ導彈的發射試驗從原來的36次減少為25次，可靠性卻從72％提高到93％。我國研製原子彈，試驗次數僅為西方的1／10，從原子彈到氫彈只用了兩年零八個月，重要原因之一就是有許多優秀數學家參加了工作。

諾貝爾獎是不設數學獎的，但是，在諾貝爾獎獲得者中有許多是數學家。發明X射線計算機層析攝影儀（簡稱CT）是二十世紀醫學界的奇蹟。美國數學家科馬克（A．M．Cormark）利用數學中的拉東積分變換解決了計算機斷層掃描的核心理論問題，發現了人體不同組織對X射線吸收量的數學公式。英國的希斯菲爾德（C．N．Hounsfield）根據這個原理製作出了第一台CT機。他們共同獲得了1979年諾貝爾醫學和生理學獎。

豪普特曼（H．Hauptman）也是一位美國數學家，他和卡爾勒（J．Karle）在從事X 射線晶體學中的相角問題和矩陣理論的研究中，用統計數學方法分析晶體的衍射數據，經過大量的計算，推導出了衍射線相角的關係式，直接從衍射強度的統計中得到各衍射線相角的信息，建立了利用X 射線衍射測定晶體結構的數學理論和直接方法，一舉解決了困惑了化學家 四十多年的難題。他們共同獲得了1985年的諾貝爾化學獎。

康脫洛維奇（Leonid Vitaliyevich Kantorovich）是前蘇聯的著名數學家，他以線性規劃理論研究生產中的資源最優配置問題。怎樣利用有限的資源取得最大的效益，它可以抽象為一個約束極值問題。康脫洛維奇發現可以用Lagrange乘子法來處理，從而提出了一個新的經濟學概念。他獲得了1971年諾貝爾經濟學獎。

納什(John Forbes Nash)是美國普林斯頓大學的數學家，他在對「非合作博弈均衡分析和博弈論」的研究中，用數學方法區分了合作對策和非合作對策，提出了非合作對策的所謂「納什均衡」的概念，極大地改變了整個經濟學的面貌。他獲得了1994年諾貝爾經濟學獎。

1959年美籍法國數學家德布洛發表《價格理論》，對一般經濟均衡理論給出了嚴格的公理化表述，使公理化方法成為現代經濟學研究的基本方法。一般經濟均衡價格的存在問題是經濟學界長期關注但懸而未決的問題。直到1954年，德布洛和另一位美國經濟學家阿羅才第一次利用凸集理論、不動點定理等給出了一般經濟均衡的嚴格表述和存在性證明。阿羅和德布洛先後獲得1972年和1983年度諾貝爾經濟學獎。

有些數學家也有輕視數學工具性的傾向。哈代（ G．H．Hardy）是英國著名的數學家，他推崇純粹的數學，認為數學是永恆的藝術，對數學應用的工具性不屑一顧。他尤其認為數論和非歐幾何的理論毫無實際用處。但是，哈代生前親眼看到了質能方程在原子彈爆炸中的應用，看到了用數論理論編製的密碼控制著導彈的飛行。1908年，他發表的一篇論文，就解決了群體遺傳學中的一個實際問題。20世紀初，有些生物學家認為，在一個大的隨機交配的群體中，某種遺傳病在遺傳過程中，會使患者越來越多。哈代利用概率理論，證明了在無突變、無選擇、無遷移、無遺傳漂變的情況下，患者的分布是平穩的，不會隨時間的變化而變化。差不多同時，一位德國醫生溫伯格（W. Weinberg）也得到了同樣的結論。後來被稱為哈代——溫伯格平衡定律。

數學是科學的皇冠，這是說數學是一種文化。數學表現出的技術層面和應用方面的功能，那只是華麗的表象，數學理論的深度更多的是體現在文化和人文的維度上。唯有文化才能將數學與生命緊密聯繫。數學文化傳達的是一種人文關懷，數學文化體現的是一種人類的理性精神，敢於質疑批判和善於探索求真。

數學是人類智慧的創造活動，它對人的行為觀念、精神心靈和價值觀念都具有重大的影響，數學發生髮展過程中所積澱的數學思維方式、數學思想和數學理性品格，都成為人類文明發展史上優秀的文化遺產。

數學的文化價值豐富多彩，數學對於客觀事物的研究，是通過構建獨立的模式，因而它有重要的思維訓練功能，對於創造性思維的發展尤具重要意義。歐拉說過，數學是思維的體操， 數學是思維的科學，數學能夠啟迪人的智慧，發展人的思維。其他學科在培養思維的深度、廣度和系統性等方面都是不能與數學相提並論的。

數學是理性精神的聖地，數學思維高揚人類理性精神的旗幟，引領科學歷史發展的方向。古希臘數學家開人類理性之先河，學習數學不再僅僅是現世生活的需要，而更重要的是為了陶冶情操、追求真理和訓練心智。他們從數學研究中提煉出概括和簡化的自然科學原則，創立了科學思維的方式。柏拉圖堅持讓他的學生們研究幾何學，並不是為了發掘幾何學的實際應用價值，而是要發展人們的抽象思維能力，用於對人生和政治問題的哲學思考，從而奠定了西方哲學的理論基礎。畢達哥拉斯研究數學的理念是世界是數組成的，亞里士多德直接將數學應用於研究具體事物的真實性上，從而奠定了物質科學的基礎。

數學具有明確的向善價值取向，在學習探究數學的過程中，數學醇厚的文化內涵可以凈化人的心靈，讓人執著追求真理，理性堅韌如山，務實學習知識，謙虛嚴謹似水。質疑與反思，創新與開拓，完善著人的高貴氣質和品格。阿基米德面對侵略者的屠刀，研究數學面不改色心不跳。鮑耶面對數學權威的嘲笑和不屑，堅持自己創立的非歐幾何理論不動搖。

數學既然兼有工具性和文化性的特徵，在教學中我們就要將它們統一起來。如果數學課堂離開了數學文化的潤澤，離開了數學精神的指引，呈現在學生面前的數學知識一定是沉寂的，毫無生氣的。所以，課堂教學中必須全面體現數學斑斕的色彩和靈動的韻味，既要注重讓學生進行形式訓練，掌握知識和發展能力，熟練地模仿和練習，又要在數學課堂上傳播數學文化，讓學生去欣賞和領略數學撼人心魄的雄姿，讓學生喜歡上美麗的數字、奇異的符號、簡潔的公式和純凈的定理，感受數學豐富的方法、深邃的思想和智慧的理性光芒。

四、數學是發現的，也是發明的

所謂發現是指人們揭示出了客觀事物原來就存在的規律。所謂發明是指人們創造出了客觀上原來不存在的事物。在數學發展史上，理性得去揭示蘊藏的數學規律可以稱之為發現。獨闢蹊徑地去創造一種數學模式可以稱之為發明。我們自然要考慮這樣一個問題，數學中的概念、命題、公式、計演算法則和證明方法以及各種數學理論體系，是發現的還是發明的?

這個問題並不容易回答的。宇宙上即使沒有出現人類，世界上仍然存在著數學，勾股定理和費馬大定理仍然成立，只是沒有外顯的表達形式而已。數學的存在是不以人的意識為轉移的，數學好像只能被發現。另一方面，如果沒有人類的思維活動，世界上就不會有現在這樣的數學形態。尤其是現代數學的一些前沿學科，並不是建立在對客觀世界的直接概括和抽象上，比如，非歐幾何和群論，都是先提出一些最基本的概念和公理，然後用邏輯演繹的方法推導出理論體系。假如公理增減一條或者更改一條，理論體系就會面目全非。這樣看來，數學又好像是被發明的。還有一種現象，原來發明的數學形式，最後卻變成了發現的數學形式，比如，黎曼幾何原屬於非歐幾何的一個分支，後來被愛因斯坦用於廣義相對論的研究，黎曼幾何立刻就有了對應的客觀模型，原來現代物理規律里就蘊藏著這個數學理論。

實際上，數學既可以來自於對客觀世界的概括和抽象，也可以來自於人類思維的心智創造。 從數學發展史來看，人們對數學的認識是與時俱進的。數學源於分配物品、丈量土地和計算面積、容積等生產生活實踐，這個過程中產生的數學概念和數學研究的對象自然被認為是發現的。實際上，在 19世紀以前，人們普遍認為數學凸顯的是經驗科學的特徵，數學與客觀世界之間的聯繫千絲萬縷。19世紀中葉以後，隨著非歐幾何、抽象代數和集合論等數學學科的產生，數學向抽象、多元和高維發展，數學與客觀世界之間的聯繫漸行漸遠，顯露出了演繹科學的特徵。尤其是法國布爾巴基學派將其發揮到了登峰造極的地步。1939年，他們在法國巴黎出版了一套《數學原理》，這是一部關於現代數學博大精深的著作。這部著作將數學看成是關於結構的科學，數學的各個分支都是建立在代數結構、序結構和拓撲結構三種母結構之上的，不藉助於任何直觀，從集合論出發，行文邏輯嚴密，為數學建構起了清新的公理化的體系。這時，演繹推理的數學佔據了數學研究的制高點，人們對數學的認識更加深入，它研究的是量的關係和抽象的結構，是關於模式的科學。數學是發明的觀點露出了端倪，出現在了燈火闌珊處。數學被認為是人類思維的自由創造物。

這樣看來，數學的初期被認為是直接反映了客觀世界中的數量關係和空間形式，是被發現的。古希臘數學家阿基米德（Archimedes）認為，數學關係的客觀存在與人類能否解釋它們無關。柏拉圖主義認為，數學研究的對象都是客觀存在的，數學家提出的概念不是創造，只是對客觀存在的描述。而現代數學則被認為是人類純思維的產物，是被發明的。當代數學直覺主義學派就特彆強調，數學結構是人類主觀創造的。他們的領袖克羅內克（Kronecker）認為，除了自然數是上帝創造出來的之外，數學中的一切都是人類心靈的創造物。

其實，數學作為一個統一體，初期的數學和當代的數學只有層次上的不同，作為反映關係結構的模式是沒有本質區別的。圓周率和對數肯定是被發現的，但是，發現圓周率和對數的過程不能不說是一個發明的過程。

實際上，數學作為人類誕生以來經驗的積累，它的不同分支的理論都是從具有實際背景中經過抽象而形成的。純心智的產物也具有形式上的客觀性，數學理論的主要特徵是創造性思維的產物，理論體系一旦形成，不僅是形式上的一種客觀存在，在內容上的客觀性也是不容否認的。在數學創立過程中，發明與發現是水乳交融，不分彼此的。數學理論的闡釋和形式化過程，偏重於發明。揭示數學理論蘊涵的客觀性及其關係，則偏重於發現。

微積分是由牛頓（Newton）和萊布尼茲（Leihniz）共同創立的。微積分的基本原理是客觀存在的一種關係結構，不會是任何一位數學家精巧的有意設計。因此，可以說是他們發現了微積分。但是牛頓和萊布尼茲創立微積分的方式又是不同的，他們分別從運動學的瞬時速度和曲線的斜率引入了微積分。在創立過程中，他們還引進了不同的運算符號和語言體系，這明顯又帶有發明的意味。是不是也可以這樣說，數學的本質規律是人們的一種發現，數學的表達方式是人們的一種發明。 發現的過程是發明，發明的結果是發現。

數學教學是對每個學生個體的教學，要讓每個個體在學習數學的過程中，有意啟發他們重複人類創立數學理論的過程，掌握數學知識體系的途徑不外乎發現和發明，不要偏廢。讓學生髮現數學，老師只憑灌輸不是好辦法，要讓他們有一個親身體驗發現的過程。更為重要的是讓學生去發明數學，對每個模塊的教學，能否嘗試讓學生去架構這個局部的數學體系，包括研究從何入手，研究怎樣深入，用什麼樣的語言表達等等，都可以讓學生去體驗一下。

五、數學是抽象的，也是直觀的

數學源自於客觀世界，當它確定了原始概念和公理，就按照邏輯的法則去推理和演繹。理論體系形成後，它蛻蛹化蝶，不露一絲客觀世界的痕迹，因此，數學成為運用邏輯演繹方式探究客觀規律的唯一學科，形式化使得數學凸顯出抽象性的特點，數學也因此成為研究一般抽象模式的理論。

數學是研究事物的量和形的科學。事物如果具有相同的量和形，就可以用數學方法將其抽象成同一個模式去研究。數學概念正是從眾多事物的共同屬性中抽象出來的，因而數學必然是抽象的。隨著數學概念的不斷擴充和產生，還要繼續對這些數學對象繼續進行簡化、整理和概括，進一步地進行抽象。數學的抽象過程，就是遠離紛繁粗糙的客觀世界和具體經驗的過程。抽象往往使人們意想不到數學的客觀情景，更難讓人去體驗或者感知數學的理論結構。

另一方面，數學既然源自於客觀世界，最初的基本概念還是比較直觀的。隨著這些概念的進一步抽象，與客觀世界的關係可能不再清晰，但是，也不可能不顯露出直觀的特質。數學的直觀就是概念和證明過程未經充分地概括和邏輯推理就外顯的數學本質。既然數學直觀必然趨向於抽象，那麼數學抽象中就一定蘊涵著直觀。直觀是抽象的基礎，抽象是直觀的升華。數學一定是直觀和抽象的統一體。

非歐幾何的理論全然是按照《幾何原本》的邏輯結構建立的，它的抽象性大大超出人們的想像，呈現出的「直觀」又完全是對歐式空間直觀的顛覆，這在當時可以說是一種另類的抽象。為此，非歐幾何的創立者們經歷了煉獄般的煎熬。高斯懼怕倘若發表論文，一世英名將毀於一旦。鮑耶和羅巴切夫斯基的論文發表後，遭到了數學界的一致唾棄。然而，1868年，義大利數學家貝爾特拉米(Beltrami，Eugenio)發表了論文《論非歐幾何學的解釋》，在歐式幾何空間建立了非歐幾何的直觀模型，在非歐幾何發展史上立起了一座豐碑，從直觀的層面令人信服地消除了人們對非歐幾何的理論非難。

複數概念的引入，是因為數學邏輯上的需求，被引入後的近兩個半世紀中一直給人以虛無縹緲的感覺，直至挪威的數學家維塞爾(Caspar Wessel)和德國數學家高斯（C.F. Gauss）等人相繼對它作出了幾何解釋與代數解釋後，把它與平面向量或坐標平面里的坐標（a,b）對應，才幫助人們直觀地理解了它的意義，在物理學上得到了實際應用。複數被數學理論所決定，並隨著數學理論的發展而發展，避免了當時人類整個文化情境對個人心理上的影響。

人們對數學做出判斷和猜想離不開直觀，數學問題的解決也離不開直觀。數學的直觀總是被抽象的緇衣所掩飾，揭示隱秘於幽深處的抽象關係，更多的是需要憑藉經驗、觀察、類比和聯想，實質上就是對數學直觀的領悟，這是一種思維活動，我們稱它為直覺思維。這種思維高度簡化，發散跳躍，認知結構開放，能直接清晰地識記和洞察到數學對象及其結構和關係。靈感和頓悟是它的表現形式，它是基於對數學對象的整體把握，是長期積累後瞬間產生的思維火花，思維過程不拘泥於細微末節，不因循守舊。

在數學中，模式是對客觀對象與關係的抽象，客觀對象與關係是模式的本質。抽象重於演繹，直觀重於發現和分析。數學經過形式化而趨於冷峻的抽象之美，又通過直觀化而返樸歸真，直觀可以引領數學的研究方向,可以決定數學理論的形式和架構。對數學概念，直觀可以呈現其形象的狀態。對數學證明,直觀可以提供證明的思路和技巧。直觀性直接推動了數學的發展。古希臘數學的畢達哥拉斯(Pythagoras)時代,數學直觀里浸透了萬物皆數的哲學理念。非歐幾何產生以前,數學直觀里浸透著歐氏公理是先驗不變真理的觀念。抽象的數學中帶有理論和哲學色彩，數學直觀帶有經驗、思想和感情因素。

數學作為一門思維的科學，抽象的概念，晦澀的語句時常令人費解。繁鎖的計算，冗長的推理讓人望而生畏。天才的數學家都是憑藉直觀性進行數學思維的，他能敏銳地洞察數學直觀里的本質。數學教育家更需要依賴直觀性進行數學教學。數學概念和證明經過抽象後，極大地增加了學生理解的難度。數學教學的過程首先就是將抽象的數學形態還原成直觀的教育形態，將數學直觀清晰地呈現給學生。數學教學的魅力就在於將直觀和邏輯嚴密性巧妙的融為一體。

數學中的抽象是用語言表達的，這就要求我們的教師運用語言的藝術，將抽象問題直觀化，繁雜問題簡單化，做到深入淺出，讓學生理解和接受。數學課堂的語言通常有書面語言、符號語言和生活語言。一個好的教師應該善於利用它們之間的關係，把數學課上得生動，降低數學的抽象形式對學生的消極影響。

參考文獻

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