在地球上鑿出貫穿地球的隧道並跳進去，人會怎樣下落呢？

翻譯：山寺小沙彌

審校：Alex Yuan

這是一個有趣的問題，這樣的問題可以當成一個思想實驗，而且需要一些數學技巧。既然它只能是一個思想實驗，那麼該實驗在現實中是無法做到的。假設人類在地球上鑿出了一個地洞，並跳進這個洞里，當人下落還不到30英里時（這段距離還不到隧道長度的0.4%），你會發現這時候隧道充滿了岩漿，這些岩漿幾乎可以毀滅一切。

跳入一個貫穿地球的隧道，我們將面臨著哪些棘手的問題呢？

假設我們可以製造出特殊的管道，這種管道的材料不受岩漿的影響，將其貫穿我們挖的那條隧道，這樣前面描述的岩漿問題就可以不用考慮。即使是這樣，我們仍然不能忽略管道中空氣的影響，除了空氣的阻力之外，當人在隧道深處時，上空的空氣壓力非常大。我們在地球表面測到的最高氣壓略低於16 psi（約為110kpa），只有在正常的大氣壓強下，人類才能保持苗條的身材。如果管道中的空氣的壓力和溫度增加規律和大氣類似，那麼人類只需要下降大約50公里，管道中的壓力就如海底一般。更糟糕的是，在這個管道中，越靠近底部，溫度越高（建立在管道內壓強和溫度的變化規律和大氣中壓強和溫度的變化規律一樣的基礎上。海拔每升高100米,氣溫下降0.6℃）。所以當人類下落20英里之後就會發現周圍變得很熱（已經忽略岩漿的影響），過了幾百英里之後（假設人類此時還存活著），空氣似乎液化了，再過段距離之後，空氣就固化了。

即使我們忽略管道空氣的影響，我們仍然會遇到其他問題。由於地球自轉，在很短的時間內，人類就會被甩到管壁上，此時人類要麼摔得粉碎，要麼慢慢地滑到地球中心。也就是說，地轉偏向力不可忽視（地轉偏向力是科里奧利力，它來自於物體運動所具有的慣性，在旋轉體系中進行直線運動的質點，由於慣性的作用，有沿著原有運動方向繼續運動的趨勢，但是由於體系本身是旋轉的，在經歷了一段時間的運動之後，體系中質點的位置會有所變化，而它原有的運動趨勢的方向，如果以旋轉體系的視角去觀察，就會發生一定程度的偏離。）要準確描述科里奧利力需要使用角動量，但是我們可以這樣理解，地球上越高大的物體移動速度越快。例如，一座10層建築頂部的移動速度比地面快約0.001英里/小時（大家有沒有注意到呢？），因此從這座建築上方放下一個物體（忽略空氣及其他因素的影響），那麼它下落的地點將偏離直線目的地1毫米左右。回到我們討論的話題，我們可以算出，大約在地球中心的位置，人相對於管壁的側向移動速度將達到1500英里/小時，因此人會被甩到管壁上。

離中心越遠，移動得越快

但是，假設我們有一個相當給力的管道，以至於我們可以忽略空氣的影響，並且假設地球停止轉動（甚至排除了其他干擾因素，例如靜電場等，並假設地球的密度處處相同，地球是一個球體），那麼人類可以暢通無阻的下落到地球另一側，但是，一旦我們到達另一側之後，我們馬上就會原路返回，也就是從另一側又落到起點，這樣來回振蕩類似於彈簧振子或者鐘擺。從地球的一側下落到另一側，大概需要42分鐘。

人在下降的過程中，就好像不斷的落到其他的星球，只是這個星球的半徑一直在減小

事實證明，球對稱的東西，包括像地球這樣的東西，有一個特點：球體里任意一點受到的重力與其上面的物體構成的球殼無關，而與其下面的物體構成的球體有關。因此當人掉進隧道之後，人體上空（把地球看成一層層的球殼累積起來的）的球殼對人是沒有重力影響的，人們在下降的過程中，就像到了不同大小的星球一樣（也就是說受到的重力慢慢的變小，到達中心為0）。

萬有引力的公式為

，其中M是大物體的質量，m是小物體的質量。人在下落過程中受到的重力取決於人下方球體。假設地球的密度處處相同，設為ρ，此時，

，因此我們可以將萬有引力公式改寫為

。

這時候我們會發現，它的形式竟然和胡克定律一樣，F=-kx！因此為什麼人會在這個隧道來回振蕩也就得到了解釋。球體半徑r和下落時間t的關係為：

，其中R為地球半徑。

順便指出，人在星球中的隧道來回振蕩的時間只取決於該星球的密度，而與星球的大小無關。

原文：http://www.askamathematician.com/2012/08/q-if-you-could-drill-a-tunnel-through-the-whole-planet-and-then-jumped-down-this-tunnel-how-would-you-fall/

編輯：Alex Yuan

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