實分析Ⅱ|筆記整理（7）——勒貝格積分後續應用

07-22

來自專欄一個大學生的日常筆記29 人贊了文章

同學們好！

首先可能還是要很抱歉的和大家說一句。因為這一個學期的學期安排的壓力實在過大（我真不是吹，只要有一天休息，就要多趕三四天的作業）。所以如果時間不允許，原書對應第五章的筆記可能不會出現在這裡。（我也不怕丟人了，我的數值分析，復變，數分什麼的都還是零起步，如果不複習我可能要掛）這真的是我的無奈之舉，因為這個學期的課程壓力超越了我能夠承受的極限（這學期的11門課沒有任何一門是簡單的，而且實變和拓撲學過的都知道，是很困難的兩門課，意味著不敢通過突擊的方式解決），意味著有很多需要按照正軌來走的步驟需要「抄近道」，需要採取突擊的方式來解決。

廢話不多說了，我們繼續趕第四章的筆記。

提供之前的筆記：

實分析Ⅱ|筆記整理（6）——一般可測函數積分
實分析Ⅱ|筆記整理（5）——非負可測函數積分
實分析Ⅱ|筆記整理（4）——第二三章部分習題解答
實分析Ⅱ|筆記整理（3）——第一章部分習題及解答
實分析Ⅱ|筆記整理（2）——開集，閉集等集合性質深化
實分析Ⅱ|筆記整理（1）——集合論補充，相關應用習題舉例（1）

我們開始本節的內容，本書所對應原書內容為P163-181

可積函數與連續函數

顯然這一部分是根據可測函數與連續函數的密切關係來引申出來的。它也有很多應用。

Theorem 1:
設 $f in L(E)$ ，那麼對任意的 $epsilon>0$ ，存在 $mathbb{R}^n$ 上具有緊支集的連續函數 $g(x)$ 使得 $int_E |f(x)-g(x)| dx <epsilon$ 。

首先根據 $f in L(E)$ 可知存在 $mathbb{R}^n$ 上的具有緊支集的可測簡單函數 $varphi(x)$ 使得 $int_E |f(x)-varphi(x)|dx<epsilon/2$ 。所以如果要證明原來的結論，考慮 $int_E |varphi(x)-g(x)|dx$ 是必要的。

根據Lusin定理的推論（原書3.19）可得存在具有緊支集的連續函數 $g(x)$ 使得 $|g(x)| le M(x in mathbb{R}^n)$ ，且 $m({x in E : |varphi(x)-g(x)|>0})<epsilon/(4M)$ 。這樣的話，根據 $|varphi(x)-g(x)| le 2|varphi(x)| le 2M$ 可得 $int_E |varphi(x)-g(x)|dx < epsilon/2$ 。將兩部分加在一起即可。

它一共有四個推論。簡單的兩個推論如下，我們不再給出詳細的證明。

Corollary 1:
設 $f in L(E)$ ，那麼存在 $mathbb{R}^n$ 上具有緊支集的連續函數列 ${g_k(x)}$ ，使得
(1) $lim_{k o infty}int_E |f(x)-g_k(x)|dx=0$
(2) $lim_{k o infty}g_k(x)=f(x), ~ a.e. ~ xin E$
Corollary 2:

設 $f in L([a,b])$ ，那麼存在其支集在 $(a,b)$ 內的連續函數列 ${g_k(x)}$ ，使得
(1) $lim_{k o infty}int_{[a,b]}|f(x)-g_k(x)|dx=0$
(2) $lim_{k o infty}g_k(x)=f(x),~ a.e. ~ x in [a,b]$ 。

書上給了一個例子，可以認為是一個函數幾乎處處為0的一個判別法。

Example 1:
設 $f in L (mathbb{R}^n)$ ，若對一切 $mathbb{R}^n$ 上的具有緊支集的連續函數 $varphi(x)$ 。有 $int_{mathbb{R}^n}f(x)varphi(x)dx=0$ 。那麼 $f(x)=0 ~ a.e. ~ x in mathbb{R}^n$ 。

我們採用反證法來解決這個問題。設 $f(x)$ 在有界正測集 $E$ 上有 $f(x)>0$ ，那麼可以作具有緊支集的連續函數列 ${varphi_k(x)}$ ，使得 $lim_{k o infty}int_{mathbb{R^n}}|chi_E(x)-varphi_k(x)|dx=0$ ，並且有 $|varphi_k(x)| le 1,lim_{k o infty}varphi_k(x)=chi_E(x) , ~ a.e. x in E$ 。

根據 $|f(x)varphi_k(x)| le |f(x)|$ 和控制收斂定理，可以得到 $0< int_E f(x)dx = int_{mathbb{R}^n}f(x)chi_E(x)x=lim_{k o infty}int_{mathbb{R}^n}f(x)varphi_k(x)dx=0$ ，就產生了矛盾。

回到正題，繼續說這個定理的相關推論。

Corollary 3:
若 $f in L(mathbb{R}^n)$ ，那麼 $lim_{h o 0}int_{mathbb{R}^n}|f(x+h)-f(x)|dx=0$

我們回到Theorem 1做一番觀察，不難得到，對於任意一個可積的函數 $f(x)$ ，都會存在一種分解 $f(x)=(f(x)-g(x))+g(x)$ 使得 $f(x)-g(x)$ 的積分任意小，而 $g(x)$ 是具有緊支集的連續函數。所以根據這個思路，設 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ ，就可以設 $f_1(x)$ 為具有緊支集的連續函數， $f_2(x)$ 滿足 $int_{mathbb{R}^n}|f_2(x)|dx<epsilon/4$ 。

注意 $f_1(x)$ 還是一個一致連續的函數（非零的範圍是一個有界閉集），所以存在 $delta>0$ ，使得 $|h|<delta$ 時有 $int_{mathbb{R}^n}|f_1(x+h)-f_1(x)|dx<epsilon/2$ 。故 $int_{mathbb{R}^n}|f(x+h)-f(x)|dx < int_{mathbb{R}^n}|f_1(x+h)-f_1(x)|dx+int_{mathbb{R}^n}|f_2(x+h)-f_2(x)|dx le epsilon/2+2int_mathbb{R^2}|f_2(x)|x<epsilon$ ，就證明了結論。

Corollary 4:
若 $f in L(E)$ ，那麼存在具有緊支集的階梯函數列 ${varphi_k(x)}$ ，使得
(1) $lim_{k o infty}varphi_k(x)=f(x) ~ a.e. x in E$
(2) $lim_{k o infty}int_E |f(x)-varphi_k(x)| dx =0$

根據Theorem 1可以得到，對任意的 $epsilon>0$ ，存在 $mathbb{R}^n$ 上的具有緊支集的連續函數 $g(x)$ 使得 $int_E |f(x)-g(x)|dx<epsilon/2$ 。那麼不妨設 $g(x)$ 的支集含於某一個閉正方體 $I={x=(zeta_1,zeta_2,cdots,zeta_n): -k_0 le zeta_i le k_0(i=1,cdots,n),k_0 in mathbb{N}^*}$ 中，這樣容易得到，存在支集含於 $I$ 內的階梯函數 $varphi(x)$ 使得 $varphi(x)=sum_{i=1}^{N}c_ichi_{I_i}(x),int_I |g(x)-varphi(x)|dx<epsilon/2$ ，其中每一個 $I_i$ 為含於 $I$ 內的矩體。故 $int_E |f(x)-varphi(x)|dx le int_E |f(x)-g(x)|dx+int_E |g(x)-varphi(x)|dx le epsilon$ 。

針對每一個 $epsilon$ 我們都已經取定了一個 $varphi(x)$ ，所以我們只需要再令 $epsilon_k = 1/k$ 。這樣的話，就容易得到 $lim_{k o infty}int_E |f(x)-varphi_k(x)|dx=0$ 。

現在如何證明第一條結論呢？只需要注意到設 $E_k(delta)={x in E : |f(x)-varphi_k(x)| ge delta}$ ，其中 $delta>0$ 任意給定。那麼根據 $delta m (E_k(delta)) le int_E |f(x)-varphi_k(x)|dx$ 可知 $m(E_k(delta)) o 0(k o infty)$ 。也就是依測度收斂。那麼根據Riesz定理即可得到，存在 ${varphi_k(x)}$ 中的子列幾乎處處收斂於 $f(x)$ ，這個子列自然滿足題意。

這個定理相當於把連續函數的相關性質由簡單函數推廣到了階梯函數的情況（階梯函數的意思是說把簡單的集合換成了矩體，具體可以見Stein筆記的相關內容）。

好的，來看一個書上的例子。

Example 1:Riemann-Lebesgue的推廣
若 ${g_n(x)}$ 是 $[a,b]$ 上的可測函數列，且

(1) $|g_n(x)| le M (x in [a,b]) ( n=1,2,cdots)$
(2)對任意的 $c in [a,b]$ ，有 $lim_{n o infty}int_{[a,c]}g_n(x)dx=0$ 。
則對任意的 $f in L([a,b])$ ，有 $lim_{n o infty} int_{[a,b]}f(x)g_n(x)dx=0$

首先，我們根據上一個推論，可以得到，對於任意的 $epsilon>0$ ，可作階梯函數 $varphi(x)$ ，使得 $int_{[a,b]}|f(x)-varphi(x)|dx<epsilon/(2M)$ 。那麼設 $varphi(x)=sum_{i=1}^{p}y_ichi_{[x_{i-1},x_i)}(x),x in [a,b)$ （別忘了在一維的時候，矩體也就是區間）。其中 $a=x_0<x_1<cdots<x_p=b$ 。又因為 $|int_{[a,b]}varphi(x)g_n(x)dx| le sum_{i=1}^{p} |y_i int_{[x_{i=1},x_i]}g_n(x)dx|$ ，所以根據假設可得，存在 $n_0$ ，使得 $n ge n_0$ 時有 $|int_{[a,b]}varphi(x)g_n(x)dx| le epsilon/2$ 。另一方面，因為我們知道 $g_n(x)$ 是有界的，所以 $|int_{[a,b]}f(x)g_n(x)dx| le |int_{[a,b]}(f(x)-varphi(x))g_n(x)dx|+|int_{[a,b]}varphi(x)g_n(x)dx| le epsilon$ ，就證明了結論。

所以說，這一部分的內容其實都是大同小異的思路方法。比如說這一個例題，歸根到底還是要根據函數有界或者積分值無限小，對研究的函數 $f(x)$ 分解為 $(f(x)-varphi(x))+varphi(x)$ 即可。

有人可能會問Lesbegue-Riemann引理是什麼。它就是

$lim_{n o infty}int_{0}^{2pi}f(x)sin (nx)dx=lim_{n o infty}int_0^{2pi}f(x)cos (nx)dx=0$

Lebesgue積分與Riemann積分的關係

這一塊內容在Stein里就是一個小結論。在國內的書上則鋪墊了比較多的內容。

首先從熟悉的情況開始

Notation 1:
設 $a=x_0^{(n)}<x_1^{(n)}<cdots<x_{k_n}^{(n)}=b(n=1,2,cdots)$ 是符合Riemann積分定義的極限分劃。令 $M_i^{(n)}=sup {f(x): x_{i-1}^{(n)} le x le x_i^{(n)}},m_i^{(n)}=inf {f(x): x_{i=1}^{(n)} le x le x_i^{(n)}}$ 。那麼定義積分的Darboux上下積分為 $ar int_a^b f(x)dx=lim_{n o infty}sum_{i=1}^{k_n}M_i^{(n)} (x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)})$ ， $underline int_a^b f(x)dx=lim_{n o infty}sum_{i=1}^{k_n}m_i^{(n)} (x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)})$

首先，鋪墊一個引理。

Lemma 1:

設 $f(x)$ 為定義在 $I=[a,b]$ 上的有界函數，令 $omega(x)$ 為 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的振幅函數，那麼 $int_I omega(x)dx=$ $ar int_a^b f(x)dx-underline int_a^b f(x)dx$ 。

首先要知道的是， $omega(x)$ 是 $[a,b]$ 上的有界可測函數，因此它可積。

針對一個固定的分劃序列 ${Delta^{(n)}}$ ，設

$omega_{Delta^{(n)}}(x)=egin{cases}M_i^{(n)}-m_i^{(n)} & x in (x_{i-1}^{(n)},x_i^{(n)} ) \ 0 & x是Delta^{(n)}的分點end{cases}$ ，並且設 $E={x in [a,b]: x為Delta^{(n)}(n=1,2,cdots)的分點}$ ，那麼 $m(E)=0$ ，並且有 $lim_{n o infty}omega_{Delta^{(n)}}(x)=omega(x), x in [a,b] ackslash E$ 。並且根據有界性和有界收斂定理，可得 $lim_{n o infty}int_I omega_{Delta^{(n)}}(x)dx = int_I omega(x)dx$ 。

另一方面，根據勒貝格積分的定義，可得 $int_{I} omega_{Delta^{(n)}}(x)dx=sum_{i=1}^{k_n}(M_i^{(n)}-m_i^{(n)})(x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)})$ ，所以兩邊令 $n o infty$ ，根據Darboux上下積分的定義即可得到結論。

其實也不難看出來，這一部分就是在模仿Riemann積分的劃分的「加細」的過程。只不過這個過程的證明有效性，在實分析里，用控制收斂定理得到了保證。

下面，就可以給出在實分析里有關Riemann積分的兩個最重要的結論了。

Theorem 2:
若 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的有界函數，那麼 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可積的充要條件是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的不連續點集是零測集。

一方面，如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Riemann可積，那麼函數的上下積分相等，也就是說振幅函數積分為0。因為 $omega(x) ge 0$ ，所以 $omega(x)=0 ~ a.e. ~ xin [a,b]$ ，也就是說 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上幾乎處處連續。

另一方面，如果振幅函數幾乎處處為0，那麼根據引理自然可以得到積分的Darboux上下積分相等，這就足夠證明函數Riemann可積了。

Theorem 3:

若 $f(x)$ 在 $I=[a,b]$ 上Riemann可積，那麼 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上Lebesgue可積，並且其積分值相同。

首先根據Theorem 2可知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上幾乎處處連續，所以幾乎處處有界，這可以說明 $f in L(I)$ 。其次，作 $[a,b]$ 的一個分劃 $Delta: a=x_0 < x_1 < cdots < x_n =b$ 。那麼會有 $int_I f(x)dx=sum_{i=1}^{n} int_{[x_{i-1},x_i]}f(x)dx$ 。而 $m_i (x_i-x_{i-1}) le int_{[x_{i-1},x_i]}f(x)dx le M_i(x_i-x_{i-1})(i=1,2,cdots,n)$ ，故可得到 $m_i (x_i-x_{i-1}) le int_I f(x)dx le M_i(x_i-x_{i-1})(i=1,2,cdots,n)$ 。根據這個積分Riemann可積，即可得到上下積分相等。因此左右兩邊對一切分劃各取上下確界，即可得到 $int_I f(x)dx = ar int_a^b f(x)dx=underline int_a^b f(x)dx$ ，這就是想要的結論。

要注意到的是，這一部分所探討的Lesbegue積分和Riemann積分的關係，目前還只是在有界函數的情況下的。但是無界的情況可能就不是這麼簡單了。

Theorem 4:
設 ${E_k}$ 是遞增的可測集列，並集為 $E$ ，又 $f in L(E_k)(k=1,2,cdots)$ ，那麼若極限 $lim_{k o infty}int_{E_k}|f(x)|dx$ 存在，則 $f in L(E)$ ，並且 $int_E f(x)dx = lim_{k o infty}int_{E_k}f(x)dx$ 。

首先要注意到的是 $lim_{k o infty}|f(x)|chi_{E_k}(x)=|f(x)|,x in E$ ，所以根據Levi非負函數漸升列積分定理可知 $int_E|f(x)|dx=lim_{k o infty}int_E |f(x)|chi_{E_k}(x)dx=lim_{k o infty}int_{E_k}|f(x)|dx<+infty$ 。這樣的話就得到了 $f$ 可積。結合 $|f(x)chi_{E_k}(x)| le |f(x)|$ 可知 $lim_{k o infty}int_{E_k}f(x)dx=int_E f(x)dx$ （控制收斂定理），這就證明了結論。

也就是說，這裡的Lesbegue積分其實針對的是絕對收斂的積分。在積分絕對收斂的情況下，可以通過計算Riemann函數的值來得到對應的Lesbegue積分的值。

下面來看一個例子，雖然我覺得它和之前的定理啥的沒啥聯繫……

Example 2:
求 $I=int_0^1frac{ln x}{1-x}dx$ 。

注意到 $-frac{ln x}{1-x}=sum_{n=0}^{infty}-x^nln x$ 以及 $int_0^1x^nln xdx=-frac1{(n+1)^2}$ 即可得到 $int_0^1 -frac{ln x}{1-x}dx=sum_{n=0}^{infty}frac1{(n+1)^2}=frac{pi^2}{6}$ 。所以原式的結果是 $-pi^2/6$ 。

Fubini定理

我們在Stein筆記的第六節已經涉及到了這一部分的內容。但是國內的教材中在這一塊的證明思想稍有不同。

其實這個定理關注的就是一個內容： $int_{mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy=int_{mathbb{R}^p}dxint_{mathbb{R}^q}f(x,y)dy$ 何時成立？

廢話不多說，直接開始我們的證明。根據書上的思路，我們先從非負可測函數開始。

Theorem 5:Tonelli
設 $f(x,y)$ 是 $mathbb{R}^n=mathbb{R}^p imes mathbb{R}^q$ 上的非負可測函數。那麼
(1)對於幾乎處處的 $x in mathbb{R}^p$ ， $f(x,y)$ 作為 $y$ 的函數是 $mathbb{R}^q$ 上的非負可測函數。
(2)設 $F_f(x)=int_{mathbb{R}^q}f(x,y)dy$ ，那麼 $F_f(x)$ 是 $mathbb{R}^p$ 上的非負可測函數。
(3) $int_{mathbb{R}^p}F_f(x)dx=int_{mathbb{R}^p}F_f(x)dx=int_{mathbb{R}^p}dxint_{mathbb{R}^q}f(x,y)dy=int_{mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy$ 。

思路和Stein一樣，記滿足這三個條件的函數類為 $mathcal{F}$ ，然後證明我們想要的函數都在這個函數類內。這個證明很長，所以需要先給一個引理，簡化一下。

Lemma 2:
(1)若 $f in mathcal{F}$ ， $a ge 0$ ，那麼 $af in mathcal{F}$
(2)若 $f_1,f_2 in mathcal{F}$ ，那麼 $f_1+f_2 in mathcal{F}$
(3) $f,g in mathcal{F}$ ，那麼若 $f(x,y)-g(x,y) ge 0,g in L(mathbb{R}^n)$ ，那麼 $f-g in mathcal{F}$ 。

(4)若 $f_k in mathcal{F}(k=1,2,cdots),f_k(x,y) le f_{k+1}(x,y)(k=1,2,cdots)$ ，且 $lim_{k o infty}f_k(x,y)=f(x,y),(x,y) in mathbb{R}^p imes mathbb{R}^q$ ，那麼 $f in mathcal{F}$ 。

首先根據積分的線性性質可得(1)(2)成立。對於(3)，注意到根據 $g$ 在這個函數類，且可積，可以得到 $F_g(x)$ 幾乎處處有限（根據Tonelli提供的第三個條件）。之後再轉換一下角度，可知對於幾乎處處的 $x$ ， $g(x,y)$ 看成 $y$ 的函數在 $mathbb{R}^q$ 上幾乎處處有限（第二個條件）。所以根據 $f=(f-g)+g$ 即可得到 $f-g$ 滿足三個條件。

而對於第四個結論，對於第一個條件愛你，這是顯然成立的。對於第二個條件，只需要注意到Levi定理有 $int_{mathbb{R}^q}f(x,y)dy=lim_{k o infty}int_{mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy$ 。而針對第三個條件，我們還是要用一下Levi定理。注意到 $int_{mathbb{R}^q}f(x,y)dy=lim_{k o infty}int_{mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy=lim_{k o infty}int_{mathbb{R}^p}dxint_{mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy$ $=int_{mathbb{R}^p}left[lim_{k o infty}int_{mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy ight]dx=int_{mathbb{R}^p}dxint_{mathbb{R}^q}lim_{k o infty}f_k(x,y)dy$ 即可。

這個證明的式子雖然看上去很繁雜，但是實際上，它的所有的積分規則和順序我們並不陌生，和數分三一樣的思路去走就好。

好的，我們開始證明這個比較重要的大定理。結合前面這個引理，其實我們只需要證明在可測集 $E$ 上的特徵函數 $chi_E(x,y)$ 都是在 $mathcal{F}$ 里的即可（想想為什麼）。但是 $E$ 本身也是有很多種的，這就需要對 $E$ 做比較多的討論了。

第一，考慮 $E= I_1 imes I_2$ 的情況，其中 $I_1,I_2$ 為 $mathbb{R}^p,mathbb{R}^q$ 的矩體。那麼自然有 $int_{mathbb{R}^n}chi_E(x,y)dxdy=|I_1| imes |I_2|$ 。此外對於每一個 $x in mathbb{R}^p$ ， $chi_E(x,y)$ 還是 $mathbb{R}^q$ 上的非負可測函數，並且 $F_{chi}(x)=egin{cases}|I_2| & x in I_1 \ 0 & x ot in I_1end{cases}$ （不難想吧？）。所以 $int_{mathbb{R}^p}F_chi(x)dx=|I_1 | imes |I_2|$ ，就說明了 $chi_E in mathcal{F}$ 。

第二，考慮 $E$ 是開集的情況。注意到在 $mathbb{R}^n$ 中，開集可以表示為互不相交的半開閉矩體（我不知道我之前有沒有說過，如果你們之前不知道，那麼你們現在知道了）。所以 $chi_E in mathcal{F}$ 自然也成立。

第三，考慮 $E$ 是有界閉集，那麼只需要注意到它可以寫成兩個有界開集 $G_2,G_1(G_2 supset G_1)$ 的差即可由引理的第三個情況得到想要的結論。

第四，考慮 ${E_k}$ 為遞減可測集合列，並設 $E = igcap_{k=1}^{infty}E_k$ ，仿照引理中(4)的證明方法可得，若 $chi_{E_k} in mathcal{F}$ ，那麼 $chi_E in mathcal{F}$ 。

第五，若 $E$ 是零測集，那麼 $chi_E in mathcal{F}$ ，這是因為存在開集列 ${G_k},G_k supset E(k=1,2,cdots)$ ，使得 $lim_{k o infty}m(G_k)=0$ 。令 $H=igcap_{k=1}^{infty}G_k$ 得 $chi_H in mathcal{F}$ 。又 $E subset H,m(H)=0$ ，可得 $int_{mathbb{R}^p}dxint_{mathbb{R}^q}chi_H(x,y)dy=0$ ，自然根據包含關係容易推出來 $int_{mathbb{R}^n}chi_E(x,y)dxdy=0=int_{mathbb{R}^p}dxint_{mathbb{R}^q}chi_E(x,y)dy$ 。同樣還可以得到對於幾乎處處的 $x in mathbb{R}^p$ ，有 $F_{chi_E}(x)=int_{mathbb{R}^p}chi_E(x,y)dy=0$ （積分值都是0了，又是非負的，自然可以推出來這個結論）。所以對於幾乎處處的 $x in mathbb{R}^p$ ，有 $chi_E(x,y)=0 ~ a.e. mathbb{R}^q$ 。這就說明了它滿足了這個函數類的第1，2個條件。就證明了結論。

第六，若 $E$ 是一般可測集，那麼 $chi_E in mathcal{F}$ ，這是因為根據Lemma 2.13可以得到 $E = (igcup_{k=1}^{infty}F_k)cup Z$ ，其中 $F_k$ 是有界閉集， $m(Z)=0$ 。不難證明 $chi_K in mathcal{F}$ （我懶，我懶……），再根據 $chi_E(x,y) = chi_K(x,y)+chi_Z(x,y)$ 即可得到 $chi_E in mathcal{F}$ 。

最後，我們根據這個引理，給出最後一個定理——Fubini定理的證明，這也是我們要介紹的最後一部分內容（在時間範圍內……）

Theorem 6:Fubini
若 $f in L (mathbb{R}^n),(x,y) in mathbb{R}^n=mathbb{R}^p imes mathbb{R}^q$ ，那麼
(1)對於幾乎處處的 $x in mathbb{R}^p$ ， $f(x,y)$ 是 $mathbb{R}^q$ 上的可積函數。
(2)積分 $int_{mathbb{R}^q}f(x,y)dy$ 是 $mathbb{R}^p$ 上的可積函數。
(3) $int_{mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy=int_{mathbb{R}^p}dxint_{mathbb{R}^q}f(x,y)dy=int_{mathbb{R}^q}dyint_{mathbb{R}^p}f(x,y)dx$

事實上，只需要令 $f(x,y)=f^+(x,y)-f^-(x,y)$ ，那麼根據Theorem 5就可以得到 $f^+(x,y),f^-(x,y)$ 都滿足Theorem 5的條件，注意到所有的積分值都是有限的，所以可以作減法，就可以得到結論。

小結

本節結束了書上的第四章相關的內容，介紹了有關勒貝格積分的應用相關定理以及Fubini定理。其實這一部分定理證明的思想和過程大多都是有跡可循的，所以難度倒也不是特別大。多琢磨幾遍就好了。

抱歉這麼久才發出來這一篇，具體之後的打算已經發布在了「想法」內，也感謝大家一直以來的支持！

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