數學全才龐加萊

龐加萊的科學生涯及其哲學思想

科學史上，最早發現混沌並從理論和應用上認識到混沌研究的重要性的是偉大的龐加萊。龐加萊是數學家、物理學家、天文學家和哲學家。他在眾多的科學領域中均有突出的貢獻。由於複雜的原因，在我國只有少數專業工作者了解龐加萊。

一、輝煌的一生

龐加萊並非數學神童，1854年4月29日，在法國洛林地區南錫（Nancy）城一個殷實的家庭里，龐加萊降生於這個世界。作醫生的祖父曾跟隨拿破崙的部隊轉戰南北，龐加萊的父親繼承父業成長為在法國頗有名望的醫學教授和生理學專家。龐加萊沒有延伸父親的事業，但是秉承父親辦事認真、思維敏捷的性格。龐加萊的堂弟雷蒙·龐加萊（PoincareRaymond）於次年1月出任法蘭西第三共和國第九任總統至1920年年初。

幼年的龐加萊形象思維和語言能力發育遲緩，有時甚至語言與意識不協調，圖形識別能力也差。直到十五歲時才對數學發生興趣。龐加萊25歲那年以微分方程方面的論文獲博士學位。當年冬季，卡昂（Caen）大學向龐加萊發出講授數學分析的聘書，龐加萊欣然應允，開始了畢生從事的教學和研究事業。1881年被聘為巴黎大學教授擔任數學和理學院的課程，直到31年後的1912年7月17日逝世。

龐加萊讀書幾乎過目不忘，後來可以寫出一次定稿的大篇文章，顯示了驚人的記憶力和邏輯思維能力。龐加萊一生中獲得了「他的國家所能給予他的一切榮譽」以及國外頒發的許多獎金和榮譽。人們常常稱高斯為十九世紀數學的開創者，稱龐加萊為十九世紀數學的結束者。1905年，匈牙利科學院宣布要頒發一項波爾約（Bolyai）獎金，授於一位在過去的25年中對數學貢獻最大的數學家。大家一致認為應當在龐加萊和另一位跨世紀的大數學家希爾伯特（HilbertDavid）之間選擇，最後評委會決定授於龐加萊。

二、與高斯齊名的數學大師

數學大師高斯與龐加萊的光輝覆蓋了整個十九世紀的數學界。高斯逝世時，留下大堆未發表的手稿，主要內容為橢圓函數與微分幾何。龐加萊贏得世界聲譽的第一項研究成果正是對橢圓函數理論重要的推廣，其中重要而關鍵的一步是在非歐幾何的啟發下完成的。

作為單復變自守函數理論的開創者，龐加萊又完美地自己結束了這一划時代的理論。這一理論的完善程度使得後人幾乎沒有插足的餘地。

龐加萊的早期工作有一部分是埃爾米特連續約化方法。他給出整系型的虧格第一個一般性定義，推廣了高斯和愛森斯坦（EisensteinFerdinand Gotthold Mak）給出的定義。

龐加萊研究阿貝爾（Abel NielsHenrik）函數約化問題，證明了一般性完全可約性定理。

龐加萊首創代數拓樸學理論。從1894年開始，他發表了一系列有關代數拓樸學方面的研究論文。

在數學基礎理論方面，龐加萊既不贊成把數學歸結為集合論，也不贊成皮亞諾（PeanoGiuseppe）對自然數的公理化定義，而認為自然數是最基本的直覺概念。龐加萊關注數論問題，1901年他發表的最後一篇數論論文事實上標誌著有理數域上的代數幾何學的開端。

龐加萊還是多復變解析函數論的創始人，他首次對多複變函數重積分的殘數概念給出了令人滿意的推廣。

龐加萊的研究工作涉及的範圍之廣超過了同時代的任何一位數學家，他的探索足跡遍及數學和理論物理學的眾多前沿陣地。他的英名在數論、微分方程、非歐幾何、函數論、代數幾何、代數拓樸的每一本專著和教科書之中發出耀眼的光茫。

三、掌握天體力學航向的舵手

龐加萊與俄國數學家李雅普諾夫（Lyapunov）共同創立了天體力學的微分方程定性理論，早期研究成果彙集在《天體力學的新方法》三卷本（1892、1893、1899）中。這部巨著被認為是開闢了天體力學的新紀元，與拉普拉斯的《天體力學》相比毫不遜色。

龐加萊在天文學方面的主要貢獻有三方面：旋轉流體的形狀（1885），太陽系的穩定以及n體問題（1899）。

1885年，龐加萊證明，除麥克勞林（MaclaurinColin）橢球體和雅可比（Jacobi CarlCustav）橢球體外，均勻流體自轉時還存在另一類平衡形狀。天體的穩定性理論涉及到不能直接求解的運動方程，龐加萊為這類方程的求解開闢了一條新途徑——尋找運動方程的周期解，這是天體力學中最活躍的研究領域之一。

在研究周期解的三種基本方法中，有兩種方法最先由龐加萊提出。一種是採用拓樸學方法證明某類周期解的存在性的定性方法，另一種是分析方法。這些方法奠定了周期解理論基礎。n體問題是一個古老的天文學問題，由於天體質量、初始位置和初始速度都是任意的，使得問題難度大大增加，因而至今尚未完全解決。二體問題為12階微分方程，由於符合Jacobi條件可完全解出。三體問題（n=3）涉及18階微分方程，這一問題直到現在仍未解決。因此尋求三體問題的新積分成為解決三體問題的重要途徑。

龐加萊對三體問題的關心是由對微分方程的研究引起的。初始動機來自對微分方程在奇點附近的解的性質的探討。1885年，瑞典國王奧斯卡（Oscar）二世為n體問題的解決設立獎金，龐加萊開始具體研究這一問題。

四、最早發現並研究混沌現象

二十世紀科學上的大事當推相對論、量子力學和混沌理論。而最早了解到混沌存在之可能的是龐加萊。

在不存在解析積分的情況下，通過研究微分方程解的長期性質來了解實際系統的長期性態，是極為困難的事情。在高維情況，利用龐加萊映射方法幾乎仍是研究混沌的唯一方法。混沌現象直到二十世紀七十年代才又重新被發現並受到關注，是很能說明問題的。

混沌研究的兩個主要理論淵源，動力系統理論和哈密爾頓（Hamilton）系統理論都是由龐加萊開創的，他於1889年嚴格證明了不可積系統的存在性。

有一個冠以龐加萊名字的猜想——龐加萊猜想，對後人的影響很大。龐加萊猜想指的是這樣一個命題：與n維球具有相同倫型的緊緻n維流型必同胚於n維球。

以後幾十年內，許多數學家曾聲稱證明了三維的龐加萊猜想，但是後來都被發現不正確。三維情況由斯梅爾（SmaleStave）證明。n維龐加萊猜想在2006年宣布已被證明

1930年出生的美國數學家斯梅爾是在1955年第一次聽說龐加萊猜想的，於1960年提交了最終關於廣義龐加萊猜想的成功的證明。這一成果使他獲得了維布倫（VeblenOswald）獎（1965）和菲爾茲（Fields JohnCharles）大獎（1966）。

龐加萊與混沌緊密相聯，混沌理論研究仍無法迴避龐加萊當時面對的現象和問題。

五、相對論與量子力學的拓荒人

龐加萊在巴黎大學講授物理達二十多年，就物理學問題發表了各種主題內容極為不同的文章和著作七十多種，這使他成為理論物理學所有分支的專家。

在龐加萊的推動下，洛倫茲（Lorentz HendrikAntoon）於1904年提出了完整的經典電子論。也是由於他的建議，客觀上促成了貝克勒爾（BecquerelAntoine Henri）於1896年發現了放射性。

1895年，龐加萊首先提出嘗試性建議，認為必要研究相對論原理。1898年，他又首先討論了假定光速對所有觀察者都是常數的必要性，以及用交換光信號確定兩地同時性的問題。這說明龐加萊在1900年前已經掌握了建造相對論的必要理論基礎。

愛因斯坦（EinsteinAlbert）於1905年9月發表的狹義相對論談到的時間和空間坐標在慣性參之間的變換關係，就是洛倫茲變換。1904年到1905年間，龐加萊給洛倫茲寫了三封信，其中在第三封信中完成了洛倫茲變換形成一個群的證明。令人讚嘆不已的是，龐加萊的文章縮寫本發表於1905年6月5日，全文發表於1906年。

1900年，普朗克（PlanckMax）在物理學中引入量子概念，標誌著以經典物理規律為基礎的量子論堀起。在生命的最後半年內，龐加萊寫出長篇專題論文和一篇評述性文章，對學術界，特別是英國學術界產生了很大影響，為量子論的傳播發展作出了貢獻。

六、手握科學利刃的哲學家

在前蘇聯、東歐甚至日本的出版物中，龐加萊被描述為科學史上「興風作浪」的反面人物，我國許多工具書有關龐加萊的辭條中，至今仍簡單地說他在哲學上信奉馬赫（MachErnst）主義和約定論，龐加萊便成了哲學上的反面人物。這是令人吃驚的。

客觀評價龐加萊的哲學思想並非完美無缺，但是他的哲學思想的確有更多的東西值得借鑒和汲取。龐加萊是一位在人類整個歷史上都可佔一席之地的科學家，他的睿智、他所佔有的可靠而又豐富的科學知識使純粹哲學家只能望其項背。龐加萊是一位具有哲學頭腦的科學家，同時又是一位手握自然科學利刃的哲學家。

龐加萊在科學哲學上對馬赫和赫茲（Hertz HeinrichRudolf）的傳統有所繼承，同時也汲取了康德（KantImmanuel）的一些思想。這使他本人成為一位溫和的約定主義者。龐加萊並未完全因襲馬赫或康德，龐加萊清醒地認識到，無論是康德的先驗論還是馬赫的經驗論，都不能說明科學理論體系的內在特徵。

龐加萊的哲學見解集中體現在他的三部專著中，即《科學與假設》（1902）、《科學的價值》（1905）、《科學與方法》（1908）。他所期望的第四部哲學著作——《最後的沉思》是在他逝世後第二年（1913）由勒邦（LeBon）集其遺著出版的。龐加萊的這些科學哲學著作被譯成英、俄、德、中、日、瑞典、西班牙、匈牙利等文字，幾乎傳遍整個文明世界。