一、整數乘方的個位數字
一、整數乘方的個位數字
整數的個位數字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十種。下面我們列出表格，看一看經過不同次數的乘方之後，個位數字如何變化。
a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
a3 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9
a4 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1
a5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
…………
從表中可以看出：
（1）平方數的個位數字只可能是0，1，4，5，6，9，而不可能是2，3，7，8。
（2）三次方的個位數字從0，1到9都有可能。
（3）四次方的個位數字只可能是0，1，6，5，不可能是2，3，4，7，8，9。
（4）五次方的個位數字與一次方的個位數字完全相同。於是，六次方的個位數字與二次方的個位數字完全相同；七次方的個位數字與三次方的個位數字完全相同；八次方的個位數字與四次方的個位數字完全相同。
不難看出：
a1，a5，a9，……的個位數字相同；
a2，a6，a10，……的個位數字相同；
a3，a7，a11，……的個位數字相同；
a4，a8，a12，……的個位數字相同。
（5）個位為0，1，5，6的數無論多少次乘方，其個位數字保持不變。
例1 求31993＋41995＋51995的末位數字
分析：只要分別求出31993，41994，51995的個位數字，再相加即可求出31993＋41994＋51995的個位數學
解：∵51995的個位數字為5，
從各個數字乘方後的個位數字表中可以看到，4的奇次方的個位數字為4，偶次方的個位數字為6，∴41994的個位數字為6；
又34k＋1的個位數字為3，34k＋2的個位數字為9，34k＋3的個位數字為7，34k的個位數字為1，而1993＝4×498＋1，∴31993的個位數字與31的個位數字相同。
故31993＋41994＋51995的個位數字與3＋6＋5＝14的個位數字相同，即31993＋41994＋51995的個位數字為4。
例2 從1，1，3，3，5，5，7，7，9，9中取出5個數，其中至少有三個數不重複，且它們的乘積的個位數字是1。問這5個數的和應是多少？
分析與解：要求取出的5個數乘積的個位數字是1，顯然所取的5個數中不能有數字5，只能從1，3，7，9中取，由於要求至少有三個數不重複，那麼只能有一個數重複取兩次。
即只可能有1×1×3×7×9，1×3×3×7×9，1×3×7×7×9，1×3×7×9×9四種情形。
經檢驗上述四個乘積的個位數字分別為9，7，3，l。
故所取的五個數為1，3，7，9，9。
這五個數的和為29。
例3 我們把從1開始若干個自然數的連乘積用簡單的符號表示，如
1×2×3×4×5記作5！，讀作5的階乘；
1×2×3×……×100記作100！，讀作100的階乘；
1×2×3×……×n，1記作n！，讀作n的階乘。
求N＝1！＋2！＋3！＋……＋1992！＋1993！的個位數字。
分析：只要將1！，2！，3！，……，1992！，1993！的個位數字一一求出後相加，就可得出各個階乘的和的個位數字。
但要求出各個階乘的個位數字，需計算1993項，且每一項幾乎都是一大串數字之積，工作量是否會太大？
解：∵1！＝1，
2！＝1×2＝2，
3！＝1×2×3＝6，
4！＝1×2×3×4＝24，
5！＝1×2×3×4×5＝120，
可以看出6！直至1993！的個位數字都是0。
因此，N＝1！＋2！＋3！＋4！＋5！＋……＋1993！的個位數字就是1＋2＋6＋24＋0＋……＋0的個位數字。
即N的個位數字為3。
例4 求14＋24＋34＋……＋19924＋19934的個位數字。
分析與解：1，2，3，……，1992，1993，這些數的個位數字不過是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0。其四次方的個位數字依次為1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，……。
前十個數字和為1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，個位數字為3。
這樣就可將14＋24＋34＋44＋……＋19924＋19934分為十項一組，每組的個位數字均為3。
即（14＋24＋34＋……＋104）＋（114＋124＋134＋…＋204）＋…＋（19814＋19824＋19834＋…＋19904）＋19914＋19924＋19934。
前1990項的和的個位數字與3×199的個位數字相同，即為7。而19914的個位數字為1，19924的個位數字為6，19934的個位數字為1。
所以14＋24＋……＋19924＋19934的個位數字與7＋1＋6＋1＝15的個位數字相同，即為5。
下面我們來研究兩個相鄰的自然數乘積的個位數字。
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