天公鬥巧乃如是——開普勒怎樣為天空「立法」（上）

07-21

現

在，太陽位於太陽系中心、眾行星環繞太陽運行的太陽繫結構已是人人皆知的常識。但是，從兩千年前的古希臘時代以來，直到16世紀80年代，關於太陽系的結構曾經先後出現了托勒密地心體系、哥白尼日心體系和第谷的折衷體系，是開普勒最終「一錘定音」確立了哥白尼體系不可動搖的地位，這「一錘」便是他關於行星運動定律的發現。開普勒的發現是繼哥白尼提出日心說以後天文學史上的又一個里程碑式的事件。

天空的立法者

在開普勒所處的時代，人們把宇宙看成是由一個套一個的天球組成的。地心說中太陽與各個行星的運行軌道都是圓周，附著在相應的天球上，而這些天體的運行速度都是勻速圓周運動。由於以這樣的結構模型描述的天體運動與天體的實際觀測位置不符合，人們便設計了本輪均輪系統，甚至本輪上面疊加本輪來描繪天體的運行。即使哥白尼的日心說仍因循這一結構，只是太陽與地球交換了位置。各天球層連同外圍的「恆星天」一起構成了「宇宙體系」。自從哥白尼於1543年發表《天體運行論》提出日心體系以後，關於宇宙體系的爭論便在學術界持續不斷，尤其從16世紀末至17世紀初這種爭論更趨劇烈。

▲「天空的立法者」——開普勒

爭論終於在17世紀的頭一個10年行將結束時見了分曉。德國天文學家約翰尼斯·開普勒運用丹麥天文學家第谷·布拉赫的觀測資料分析行星運動，提出了行星運動定律。這實際上否定了托勒密體系和第谷體系，最終肯定並發展了哥白尼體系，把哥白尼體系抬升到新的高度，並且為日後牛頓提出萬有引力定律準備了觀測基礎。由於開普勒的這一卓越貢獻，他在天文學史上被譽為「天空的立法者」。

且看開普勒怎樣為天空立法。

探索行星分布規律

開普勒的青少年時代家境貧寒。他天資聰穎，學習成績一貫優良。他靠獎學金讀完了蒂賓根大學3年預科，又拿到獎學金進入蒂賓根大學深造。在大學求學期間，數學教授麥斯特林對這名聰明好學的學生十分器重。麥斯特林在課堂上公開講授地心說，因為當時的羅馬教廷把地心說奉為經典的「主流」學說，作為維護其統治地位的理論基礎，不允許宣揚日心說等「異端邪說」。受羅馬教廷統制的歐洲各個封建王朝亦步亦趨，也竭力推行這一反動政策。但是，麥斯特林私下裡向開普勒講解哥白尼日心體系的原理，剖析日心體系較之地心體系的優越性。這使開普勒成為日心說的堅定擁護者，在他的心田裡播下了發展新天文學的種子。

▲開普勒在小時候看過的1577年大彗星

1594年4月，23歲的開普勒就任奧地利格拉茨新教教會學校教師，講授數學並編纂占星學的書籍。與此同時，他開始了有關宇宙奧秘的探索。開普勒相信上帝不會隨意選擇行星的距離，所以他著手去發現其中玄機。經過起初的多次失敗之後，1595年的一天，正在上數學課的他突然間獲得了靈感。他在黑板上畫出了一個等邊三角形，有3條等長的邊，又畫出了一個通過3個角的外接圓。無意間他忽生疑問，如果在三角形裡面再畫一個圓周與它的各邊相切又會如何。當他測量了兩個圓周后發現，它們的大小與木星和土星的軌道有相同的比例。開普勒興高采烈，以為已經找到了答案。但是他用三角形或諸如四邊形或六邊形這類平面圖形之間的幾何關係，並不適合其他行星。於是他想到是否應該用立體圖形去擬合行星呢？

從古希臘時代以來，數學家就已經知道只有5個「完美的」立體圖形，它們被稱為柏拉圖多面體，也就是正多面體，其上每一面都是正多邊形（即各條邊長相等的多邊形），因而每一面與其他各面都相同。最為人熟知的是立方體，6個面都是正方形。還有金字塔形的正四面體（每一面都是正三角形），以及8面（每一面都是正三角形）、12面（每一面都是正五邊形）和20面（每一面都是正三角形）的正多面體。開普勒設想，正多面體只有5種，而行星正好只有水星、金星、地球、火星、木星和土星6顆。上帝這位偉大的幾何學家正是在6顆行星所在的天球上安置了5種正多面體，使每顆行星所在的天球外接於一種正多面體，而又內切於另一種正多面體。只有最外面的土星只外接於一種正多面體，而最裡面的水星只內切於另一種正多面體。5種正多面體與6顆行星相配正是他心目中的「天作之合」。當時，哥白尼在《天體運行論》一書中已給出了各顆行星到太陽的距離之比（取地球至太陽的距離為1）。開普勒對哥白尼日心體系深信不疑，於是，他下面要做的工作便是去揭示上帝是如何把正多面體與行星相配置的問題了。經過反覆的試算，他獲得了6個行星和5種正多面體從外向內的配置關係是：土星–正六面體–木星–正四面體–火星–正十二面體–地球–正二十面體–金星–正八面體–水星。

▲ 5種正多面體

今天我們知道，開普勒的模型並不符合事實。讓我們來試算開普勒的這個「模型」在多大程度上符合實際。我們按照開普勒的配置，取相應多面體的棱長為1 ，先計算各多面體的外接球與內切球的半徑之比，如下表所列。

正多面體

內切球半徑

外接球半徑

外接球與內切球半徑之比

正六面體

0.5

0.866

1.732

正四面體

0.204

0.612

正十二面體

1.114

1.402

1.259

正二十面體

0.756

0.951

1.258

正八面體

0.408

0.707

1.733

進而按照上表的數值，取日地距離為1，計算各顆行星至太陽的距離（即模型距離），並與實際距離相比較，計算相對誤差。這裡所謂的實際距離乃是精確測定的現代值。結果列於下表。由表可見，在當時的測量精度下，各行星到太陽距離的數值可謂差強人意。開普勒認為，他找到了揭示行星距離規律的金鑰匙，激動得熱淚盈眶，宣稱「我相信是上天的安排讓我在偶然間得到了先前費盡心計都未能達到的結果。」

行星

至太陽的模型距離

至太陽的實際距離

相對誤差比

土星

6.55

9.58

32%

木星

3.78

5.20

27%

火星

1.26

1.52

17%

地球

金星

0.79

0.72

10%

水星

0.46

0.37

18%

1596年他出版了《宇宙的神秘》一書，公布了上述見解。他把這本書寄贈給當時許多有名的學者，其中一本寄給了天文觀測大師第谷。第谷收到開普勒的贈書後，評價後者的設想是「一種聰穎而又能自圓其說的冥思苦想」。他雖然不贊成書中提出的見解，但卻很欣賞開普勒進行理論思維的才能，由此而認為後者將是處理自己的觀測資料獲得理論結果的不二人選，於是就有了之後兩人的合作。

▲ 開普勒為各行星離太陽的距離建立的宇宙模型

第谷的測量資料和宇宙體系

第谷·布拉赫出身於丹麥的貴族世家，通常人們稱呼他的名字。1576年，鑒於青年第谷顯示了他精於天文觀測的才能，丹麥國王腓德烈二世把丹麥東側海上的汶島賜予第谷，並撥給在島上建天文台的經費，而且每年提供可觀的津貼，讓第谷開展天文觀測和研究。第谷在此建造了一座稱為天堡的天文台，後來在天堡圍牆外南側又建造了一座稱為星堡的天文台。在天堡和星堡中，裝備了由第谷親自設計、就地製造的巨型牆式象限儀、大渾儀、赤道渾儀、方位儀、三角儀、天球儀等17種古代天文儀器。第谷的儀器製造和安裝的精度很高，尺度也往往較大。其中，尺度最大的是巨型牆式象限儀和大渾儀。巨型牆式象限儀依附在正南北取向的牆上，即安裝在子午面內。它的主體是一個半徑1.8米的刻度精細的90°銅圓弧，圓弧上裝有一個觀測天體的瞄準器。南側一堵東西方向的牆的上端有一觀測孔，觀測者使用瞄準器對準這個觀測孔觀測天體。隨後，他把觀測器對準的銅圓弧上的觀測讀數高聲宣讀出來，由銅圓弧正前方的助手記錄下來。銅圓弧內南北方向的牆上畫著一幅巨大的壁畫，壁畫中第谷的手指正好指向觀測孔。

▲ 第谷與丹麥國王腓德烈二世

▲ 具有斯堪的納維亞古建築特色的天堡天文台

▲第谷·布拉赫的第二天文台。第谷為汶島上兩座天文台所取之名，皆有來歷。較大的那座名「天堡」（Uraniborg），意為「天上的城堡」、「絕妙無雙的城堡」，源於希臘神話中女神Urania之名——她正是九位繆斯中司天文的。稍小的那座名「星堡」，拉丁文為Stellaeburgum，得名於拉丁文stellae，即恆星之意。

大渾儀的結構十分獨特，在北高南低的兩個基座上安裝了一根與地球自轉軸平行的極軸，直徑2.9米的大赤經圈裝在該極軸上並能繞極軸旋轉。從赤經圈中心向外對稱地裝有兩個可沿赤經圈移動的瞄準器。先用一個對準大圓弧中心的小圓柱瞄準天體，從赤經圈上讀得天體的赤緯值，然後再將大赤經圈繞極軸旋軸180°再瞄準同一天體，也讀得其赤緯值，取兩次觀測的平均值作為最後的觀測結果。這種方法可以消除多種測量誤差，大大提高測量精度。在大渾儀的下側有一個半圓形的弧圈，也可以同時讀出大赤經圈相對於此弧圈的讀數，配合所記錄的觀測時刻可以計算出天體的赤經。

為提高儀器的觀測精度，第谷還十分注意度盤刻度的劃分，提出了著名的橫斷點分弧法。這種方法將度盤上的1°分成6等份，每等份在橫向斜刻了10個點，這樣1°內就有60個點，從而使刻度的精度達到了1′。

▲第谷的橫斷點分弧法。該圖中，每6格為1°，加一數字標註，即每一格為10′，每一格由9個斜點均勻分成10份，故每隔一點相應於度盤上的1′。

第谷有一批訓練有素的助手，最多時達到40人，他對這些助手的要求都十分嚴格，要求他們一絲不苟地從事各項天文觀測，準確地記下每個觀測數據。

由於擁有舉世無雙的儀器和技術精湛又非常敬業的觀測團隊，第谷和他的助手們的觀測精度在望遠鏡問世以前是首屈一指的。根據後人研究，他們所測得的天體位置的誤差已小於2′，幾乎已達到肉眼觀測所能獲得的精度極限。他和他的助手們多次精確測定了許多恆星的位置。

不過，第谷在汶島最寶貴的天文觀測資料是有關行星的。他和他的助手們年復一年地測定各顆行星的視位置和它們在天球上的視運動，積累了大量行星運動的觀測資料。正是這些資料為開普勒建立行星運動三定律準備了條件。

▲1572年11月11日夜，第谷發現了一顆新星，即「第谷新星」。新星在仙后座，最亮時甚至在白天都能看到它。第谷鍥而不捨地對他發現的這顆新星堅持觀測了1年零4個月，直到1574年3月這顆新星消失。他詳細地記錄了新星的顏色、光度、所處方位等情況並發表了詳盡的論文「新星」。第谷觀測到的是我們銀河系裡的一顆超新星，從那時起到現在，只在1604年銀河系裡曾出現過另一顆超新星。

第谷不僅精於天文觀測，而且也在考慮宇宙體系這個大問題。主要通過將原有的兩個體系與實際觀測結果的比對，並出於宗教意識，經過反覆思考最終他提出了一個介於托勒密地心體系和哥白尼日心體系之間的折衷體系。這一體系認為五大行星繞太陽運行，而太陽則帶著它們繞位於宇宙中心靜止不動的地球轉動，最外層的恆星天每天繞地球轉動一周。這被稱為第谷宇宙體系。第谷認為自己的體系避免了「托勒密在數學上的荒謬和哥白尼在物理上的悖理。」這一體系完成於1582年，起初他只是把它畫在星堡頂樓的天花板上，直至1588年，在他出版的《最新天象一覽》中才正式公布。第谷感到自己理論思維能力不足，很希望有人能用他的高精度的觀測資料來證實上述宇宙體系。

▲第谷的巨型牆式象限儀。在一堵正南北向的牆上，有黃銅製成的四分之一圓周，半徑超過1.8米，刻度精確到10′（圖示每5格為5°，加一數字標註，每一格為1°，每一格由5個斜點均勻分成6份，故每隔一點相應於度盤上的10′）。圓心處是固定的準星，兩個後視照準器可以在圓周上滑動。觀察者（應該就是第谷本人）正在等候恆星上中天時刻的到來。一個助手正在測讀鐘錶（只有一個時針），另一個助手坐在桌子前記錄數據。大牆象限儀上在背景中，第谷的助手們正在用各種儀器進行觀測；而下面一層的圖書館中，更多的學生和助手在天球儀旁工作；再下面一層正是第谷的鍊金術試驗室。圖中甚至還畫上了第谷忠實的狗。第谷身後牆上的壁龕兩旁，掛著第谷的贊助人——國王和王后的肖像。

▲第谷的大渾儀

▲第谷的宇宙體系

（未完待續）