溫故而知新 | DOE實驗設計學習系列之（八）：解碼公差設計（附視頻）

眾所周知，DOE實驗設計常常用在新產品的設計和研發工作中，而產品設計常常可以分為系統設計、參數設計和公差設計（又稱容差設計）三個階段，或稱三次設計。

今天，我們就與大家一起來聊聊，這三個階段中的最後一個設計：公差設計！這也是高級DOE中非常常用的一類。

準備好，開足馬力，進入主題！

何時進行公差設計？

公差設計

公差設計（Tolerance Design）通常是在完成系統設計和參數設計後進行的，此時一般來說，各元件（參數）的質量等級較低，參數波動範圍較寬。公差設計的輸出結果就是在參數設計階段確定的最佳條件的基礎上，確定各個參數合適的公差。

Tolerance Design

按照一般原理，每一層次的產品（系統、子系統、設備、零部件），尤其是交付客戶的最終產品都應儘可能地減少質量波動，縮小公差，以提高產品質量，增強客戶滿意度；但與此同時，每一層次產品也應具有很強的抗干擾（包括加工誤差）能力，即應容許其下屬零部件有一定的波動範圍。下屬零部件可通過公差設計確定科學合理的公差，作為生產製造階段符合性控制的依據。

公差設計的指導思想

因此，公差設計的指導思想是：根據各參數的波動對產品質量特性貢獻（影響）的大小，從技術的可實現性和經濟性角度考慮有無必要對影響大的參數給予較小的公差（例如用較高質量等級的元件替代較低質量等級的元件）。

另外值得注意的是，三次設計的順序並不是一成不變的。雖然公差設計的實施一般晚於參數設計，但有時為了獲取總體最佳，公差設計也會影響參數設計的再實施。

公差設計的實現途徑

公差設計的實現途徑很多，比較常見的有以下三類：

極值分析法

（Worst Case）

統計平方

公差法

（Root-Sum-Squares）

模擬法（Simulation）

接下來，我們就來結合實際案例來分別說明和相互比較下這三類途徑。

在JMP的協助下，公差設計的工作將更加高效，分析結果也更加清晰。所以，在本期的案例分析中，我們將在必要環節繼續用JMP作為方案實施的載體。

極值分析法

首先，我們來看看極值分析法 (Worst Case)！

極值分析法是目前應用範圍最廣泛、操作最簡便的公差設計方法，大多數的公差設計都基於這個理念。

在這種方法中，零部件都設計為名義值，然後假定公差完全向一個或另一個方向積累，最終的結果仍能滿足產品的功能要求。

在極值分析法中主要考慮的是設計規格的線性極值，它雖然確保了所有零件的組合，但往往導致最終結果過於保守，產生過大或過小的公差。而且嚴格地說，極值分析法並不屬於統計方法，但它為後面講到的統計平方公差法提供了比較的基礎，能夠幫助我們更好地意識到應用統計方法的好處。

下面，我們通過一個典型的機械系統設計案例來加深理解。

場景

在一個裝配環中裝入4個零件，如圖-1所示，要求裝配間隙的目標值T=0.016，波動範圍儘可能小。已知零件1~4服從技術規範1.225±0.003，裝配環服從技術規範4.916±0.003。試問：該系統的目標值是否達到要求？公差範圍是多少？

圖-1 機械裝配設計實例

根據極值分析法的分析思路：

由此我們可以得到：

也就是說，系統的目標值達到了要求，系統的公差範圍是[0.001，0.031]，然而實際情況果真如此嗎？

基於3σ原理，系統中每個零部件出現極值的概率分別只有大約0.0027，由此組成的系統（即間隙）出現極值的概率=0.0027的5次方=0.000000000000143，幾乎趨近於0。

這說明，通過極值分析法估算出來的公差範圍過大，沒有反應系統的真實情況。

統計平方公差法

統計平方公差法（Root-Sum-Squares），基於這樣一個假設理論：大多數的零部件在它們的公差範圍內呈正態分布，此時由它們所構成的系統與各個零部件線性相關，則系統的分布也可以用一個正態或近似正態的分布來表示。

結合上一個機械系統的案例，這個理論可以用圖-2表示。

圖-2 裝配間隙的波動構成

所謂的統計平方是指：

系統的方差是其零部件方差之和，即：

一般假設零部件的公差，

所以得到系統的統計平方公差：

統計平方公差法採用統計分析方法進行公差分析，防止了產生過於保守的設計，適當地擴展了零部件的允許公差，如果清楚過程能力，甚至可以得到更寬鬆的公差。

這時候，在同一個機械系統的狀況下，根據統計平方公差法的定義：

間隙的總公差=

間隙的最小值=0.016-0.0067=0.0093

間隙的最大值=0.016+0.0067=0.0227

也就是說，系統的公差範圍變為[0.0093，0.0227]，相對於極值分析法的結論，它顯得更加接近現實情況。

但是，統計平方公差法也存在一個先天性的缺陷：當初始的假定理論不成立，即零部件明顯不呈正態分布，又或者系統與各個零部件呈非線性相關時，原先統計平方公差的計算公式也就不成立了。

模擬法

最後，我們再來看看模擬法。

模擬（Simulation），也稱模擬，是指通過設定若干個隨機變數以及相互之間的關係建立系統的數學模型或邏輯模型，並對該模型進行充分的模擬實驗，以獲得對該系統行為的認識或者幫助解決決策問題的過程。

自上世紀八十年代起，隨著電子計算機軟硬體的普及，模擬得到了廣泛應用，它的操作也越來越簡單。

在公差設計時應用模擬技術，分析人員無需組建真實的系統就能夠評價模型，或者在不干擾現有系統的情況下對模型進行驗證。而且模擬法對零部件的分布和模型的線性要求較低，比許多其它的分析方法更容易被人理解。

再次借用機械系統的案例，我們首先通過JMP獨有的模擬器對裝配過程中的各個零部件參數進行設置，一般認為參數服從正態分布，均值等於中心值，標準差為半公差的1/3，即：

具體操作參見圖-3。

圖-3 模擬前的零部件參數設置

短短几秒鐘後，匯總十萬次模擬結果的間隙分布就由JMP自動生成了。

圖-4 模擬後得到的間隙分布

從圖-4可以看到，通過模擬法得到的系統的公差範圍約為[0.009，0.023]，與統計平方公差法的結論十分相似，非常接近現實情況。

同時，模擬法的分析過程生動形象，由它獲取的結果的可讀性很強。更重要的是，當遇到電子線路等非線性模型時，統計平方公差法已不適用，但模擬法卻依然有效。

如何調整公差設計設置？

以上花了很多篇幅介紹了如何正確地預測系統的公差範圍。那麼，一旦發現系統的公差範圍過大時，應該怎樣調整零部件參數的公差設置呢？

正如我們所知道的，減少零部件參數的公差會提高質量，減少系統功能波動的損失，但缺憾是往往需要增加成本。通過公差設計，可以設定各參數的合理公差，使質量損失與材料成本之和達到最佳平衡。接下來繼續使用簡單易懂的模擬法來簡要說明。

例如，若設定在上述的機械系統中客戶滿意的間隙波動範圍為[0.012，0.020]，那麼顯然會有相當一部分產品被判為不合格。如果將各個零部件參數的公差都縮小一半，即：

效果是否會明顯改善呢？

在JMP模擬器幫助下，我們很快會得到如圖-5所示的缺陷前後對比。

圖-5 模擬後得到的間隙分布

從圖5可以清晰地看到，間隙的缺陷數量從原先的73460PPM迅速下降到改進後的330PPM，充分說明效果是明顯的。如果能夠進一步證明因此改進而增加的成本不高，那我們就更有信心將零件1~4的公差範圍設定為1.225±0.0015，裝配環的公差範圍設定為4.916±0.0015。

對案例感興趣的小夥伴，也可以跟著老師精心準備的5分鐘小視頻，快速練習起來吧！

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