實數系基本定理（一）

07-20

實數系基本定理（一）

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確界

設 $E$ 是 $mathbb{R}$ 中的一個非空有上界數集.

若實數 $eta$ 滿足：

（1）對任何 $xin E$ ，有 $xleqeta$ ，即 $eta$ 是 $E$ 的上界；

（2）對於任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $x_{varepsilon}in E$ ，使得 $x_{varepsilon}>eta-varepsilon$ ，

即 $eta$ 是 $E$ 的最小上界.

則稱實數 $eta$ 為集合 $E$ 的上確界，記為 $eta=sup,E$ .

類似的

設 $E$ 是 $mathbb{R}$ 中的一個非空有下界數集.

若實數 $alpha$ 滿足：

（1）對任何 $xin E$ ，有 $xgeqalpha$ ，即 $alpha$ 是 $E$ 的下界；

（2）對於任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $y_{varepsilon}in E$ ，使得 $y_{varepsilon}<alpha+varepsilon$ ，

即 $alpha$ 是 $E$ 的最大下界.

則稱實數 $alpha$ 為集合 $E$ 的下確界，記為 $alpha=inf,E$ .

Cantor確界存在定理

又稱確界原理

設 $E$ 為實數集 $mathbb{R}$ 中的非空數集，若 $E$ 有上界，則 $E$ 必有上確界；若 $E$ 有下界，則 $E$ 必有下確界.

單調數列

如果數列 $left{ x_{n} ight}$ 各項滿足：

$x_{n}leq x_{n+1}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

則稱此數列為遞增數列；

如果數列 $left{ x_{n} ight}$ 各項滿足：

$x_{n}geq x_{n+1}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

則稱此數列為遞減數列.

若果上面兩個不等式都是嚴格的，即

$x_{n}<x_{n+1}$ （或 $x_{n}>x_{n+1}$ ）

則稱此數列為嚴格遞增的（或嚴格遞減的）

遞增數列和遞減數列統稱為單調數列.

Cantor單調有界收斂定理

又稱單調有界定理

實數集 $mathbb{R}$ 中，有界的單調數列必有極限.

Cauchy列

設 $left{ x_{n} ight}$ 是一實數列.

對於任意給定的 $varepsilon>0$ ，若存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ，使得對任意的 $m,ninmathbb{N}^{*}$ 且 $m,n>N$ 時，有

$left| x_{m}-x_{n} ight|<varepsilon$

則稱數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個基本列或Cauchy列.

基本列的一個等價的定義是：

對於任意給定的 $varepsilon>0$ ，若存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ，

使得對任意的 $ninmathbb{N}^{*}$ 且 $n>N$ 時，以及任意的 $pinmathbb{N}^{*}$ ，有

$left| x_{n+p}-x_{n} ight|<varepsilon$ ，

則稱數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個基本列或Cauchy列.

Cauchy基本列收斂定理

又稱Cauchy收斂原理、Cauchy收斂準則

實數集 $mathbb{R}$ 中，數列 $left{ x_{n} ight}$ 收斂的充分必要條件是它是基本列.

閉區間套

設閉區間列 $left{ I_{n} ight}$ ， $I_{n}=left[ a_{n},b_{n} ight]$ 是閉區間，具有單調減少的包含關係.

即 $I_{n}supset I_{n+1}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

也就是說 $I_{1}supset I_{2}supset I_{3}supset cdotssupset I_{n-1}supset I_{n}supset I_{n+1}supsetcdots$ ， $n=1,2,cdots$ ；

則稱 $left{ left[ a_{n},b_{n} ight] ight}$ 為閉區間套，或簡稱區間套.

Cauchy-Cantor定理

又稱閉區間套定理

若 $left{ I_{n} ight}$ ， $I_{n}=left[ a_{n},b_{n} ight]$ 是一個閉區間套，

則交集 $igcap_{n=1}^{infty}I_{n} evarnothing$ .

又如 $I_{n}$ 的長度 $left| I_{n} ight|$ 滿足 $lim_{n ightarrow infty}{left| I_{n} ight|}=0$

則交集 $igcap_{n=1}^{infty}I_{n}$ 有唯一點 $xi$ ，是單點集.

閉區間套定理的一個等價形式是：

設閉區間序列 $left{ left[ a_{n},b_{n} ight] ight}$ 滿足條件：

$a_{1}leq a_{2}leqcdotsleq a_{n}leq a_{n+1}leqcdots leq b_{n+1}leq b_{n}leqcdotsleq b_{2}leq b_{1}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

則在實數系中存在點 $xi$ ，使得 $xiin left[ a_{n},b_{n} ight]$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

即 $a_{n}leqxileq b_{n}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

又如果 $lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)} =0$

則點 $xi$ 是唯一的.

Cantor確界存在定理的證明：

只證明上確界原理，下確界當然是同樣的證明方法

（一）使用Cauchy基本列收斂定理

華東師範大學《數學分析》上冊，P167——168

設 $E$ 是 $R$ 中的一個非空有上界數集

由阿基米德原理，對任何正數 $alpha>0$

存在正整數 $k_{alpha}inmathbb{N}^{*}$ ，使得 $lambda_{alpha}=k_{alpha}alpha$ 為 $E$ 的一個上界

$lambda_{alpha}-alpha =k_{alpha}alpha-alpha=left( k_{alpha}-1 ight)alpha$ 不是數集 $E$ 的上界

則存在 $xin E$ ，使得 $x>left( k_{alpha}-1 ight)alpha$

取 $alpha=frac{1}{n}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

對每個正整數 $ninmathbb{N}^{*}$ ，存在相應的 $lambda_{n}$

使得 $lambda_{n}$ 為 $E$ 的上界，而 $lambda_{n}-frac{1}{n}$ 不是 $E$ 的上界

則存在 $xin E$ ，使得 $lambda_{n}-frac{1}{n}<xleqlambda_{n}$

對正整數 $minmathbb{N}^{*}$ ，存在相應的 $lambda_{m}$ ，使得 $lambda_{m}$ 為 $E$ 的上界，

則 $xleqlambda_{m}$

這樣顯然有 $lambda_{n}-frac{1}{n}<xleqlambda_{m}$

同理存在 $yin E$ ，使得

$lambda_{m}-frac{1}{m}<y<lambda_{n}$

這樣有 $lambda_{n}-lambda_{m}<frac{1}{n}$ 以及 $lambda_{m}-lambda_{n}<frac{1}{m}$

那麼顯然 $left| lambda_{m}-lambda_{n} ight|< maxleft{ frac{1}{m},frac{1}{n} ight}$

所以對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ （比如取 $N=frac{1}{varepsilon}+1$ ）

對任意的 $m,ninmathbb{N}^{*}$ 且 $m,n>N$ ，有

$left| lambda_{m}-lambda_{n} ight|<varepsilon$

這樣，數列 $left{ lambda_{n} ight}$ 是一個基本列，由Cauchy基本列收斂定理，它是收斂的

記 $lim_{n ightarrow infty}{lambda_{n}}=lambda$

則對任意 $ain E$ 以及任意正整數 $ninmathbb{N}^{*}$ ，有 $aleqlambda_{n}$

$lim_{n ightarrow infty}{lambda_{n}}=lambda$ ，由極限保不等式性， $aleqlambda$

所以 $lambda$ 顯然是數集 $E$ 的一個上界

由於 $lim_{n ightarrow infty}{lambda_{n}}=lambda$ ，以及 $lim_{n ightarrow infty}{frac{1}{n}}=0$

那麼對任意給定的 $varepsilon_{0}>0$ ，存在 $N_{0}inmathbb{N}^{*}$ ，對任意的 $ninmathbb{N}^{*}$ ， $n>N_{0}$ ，有

$left| lambda_{n}-lambda ight|<frac{varepsilon_{0}}{2}$ ，且 $left| frac{1}{n}-0 ight|<frac{varepsilon_{0}}{2}$

即 $lambda-frac{varepsilon_{0}}{2} <lambda_{n} <lambda+frac{varepsilon_{0}}{2}$ ， $frac{1}{n}<frac{varepsilon_{0}}{2}$

$lambda_{n}-frac{1}{n}$ 不是數集 $E$ 的上界，則存在 $xin E$ ，使得 $lambda_{n}-frac{1}{n}<xleqlambda_{n}$

$x>lambda_{n}-frac{1}{n} >lambda-frac{varepsilon_{0}}{2}-frac{varepsilon_{0}}{2} >lambda-varepsilon_{0}$

也即對任意給定的 $varepsilon_{0}>0$ ，都存在 $xin E$

使得 $x>lambda-varepsilon_{0}$

這說明 $lambda$ 是數集 $E$ 的上確界

（二）使用Cauchy-Cantor閉區間套定理

常庚哲、史濟懷《數學分析教程》上冊，P39——40

定光桂《極限論與微分學新探》，P27——29

謝惠民、惲自求、易法槐、錢定邊《數學分析習題課講義》上冊，P72（練習題）

設 $E$ 是 $R$ 中的一個非空有上界數集，它存在一個上界 $gamma$ ，任取一點 $xin E$

顯然， $E$ 的最小上界在區間 $left[ x,gamma ight]$ 中

令 $a_{1}=x$ ， $b_{1}=gamma$

閉區間 $left[ a_{1},b_{1} ight]$ 被中點 $frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ 一分為二

如果右端閉區間 $left[ frac{a_{1}+b_{1}}{2},b_{1} ight]$ 存在集合 $E$ 中的點，則將之記為 $left[ a_{2},b_{2} ight]$

否則的話，中點 $frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ 也是數集 $E$ 的一個上界，將左端閉區間 $left[ a_{1},frac{a_{1}+b_{1}}{2} ight]$ 記為 $left[ a_{2},b_{2} ight]$

顯然 $b_{2}-a_{2}=frac{b_{1}-a_{1}}{2}$

重複這一過程

閉區間 $left[ a_{2},b_{2} ight]$ 被中點 $frac{a_{2}+b_{2}}{2}$ 一分為二

如果右端閉區間 $left[ frac{a_{2}+b_{2}}{2},b_{2} ight]$ 存在集合 $E$ 中的點，則將之記為 $left[ a_{3},b_{3} ight]$

否則將左端閉區間 $left[ a_{2},frac{a_{2}+b_{2}}{2} ight]$ 記為 $left[ a_{3},b_{3} ight]$

顯然 $b_{3}-a_{3}=frac{b_{2}-a_{2}}{2}$

這樣不斷重複下去，可得到一列閉區間套 $left{ I_{n} ight}$ ， $I_{n}=left[ a_{n},b_{n} ight]$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

顯然滿足 $I_{1}supset I_{2}supset I_{3}supset cdotssupset I_{n-1}supset I_{n}supset I_{n+1}supsetcdots$

並且

$left| I_{n+1} ight|=frac{left| I_{n} ight|}{2}$

$b_{n+1}-a_{n+1}=frac{b_{n}-a_{n}}{2}$

$left| I_{n} ight|=b_{n}-a_{n} =frac{b_{1}-a_{1}}{2^{n-1}} =frac{gamma-x}{2^{n-1}}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

顯然閉區間套 $left{ I_{n} ight}$ 滿足：

每個閉區間 $I_{n}$ 的右端點的右邊沒有數集 $E$ 中的點

每個閉區間 $I_{n}$ （ $nin N^{*}$ ）都包含數集 $E$ 中的點

$lim_{n ightarrow infty}{left| I_{n} ight|}=0$

根據閉區間套定理，存在唯一的實數 $xiinigcap_{n=1}^{infty}I_{n}$

即 $lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)}=0$ ， $lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}=lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}=xi$

【1】

注意到

$a_{n}leqxileq b_{n}$

$lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)} =0$ ， $lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}=lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}=xi$

顯然數列 $left{ b_{n}-xi ight}$ 是一個無窮小量

每個 $b_{n}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）均為數集 $E$ 的上界

任取一點 $cin E$

顯然對任何 $ninmathbb{N}^{*}$ ， $cleq b_{n}$

令 $n ightarrowinfty$ ，則由極限的保序性，可得任意的 $cin E$ ， $cleqxi=lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}$

這說明 $xi$ 是數集 $E$ 的上界

$lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}=xi$

則對任意 $varepsilon>0$ ，存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ，對一切 $k>N$ ， $kinmathbb{N}^{*}$

$xi-varepsilon<a_{k}<xi+varepsilon$

而在區間 $I_{k}$ 中，一定存在數集 $E$ 中的點 $d$ ，滿足

$xi-varepsilon<a_{k}leq d$

根據上確界定義， $xi$ 是數集 $E$ 的上確界

【2】

假設 $xi$ 不是數集 $E$ 的上界，那麼一定存在 $x_{0}in E$ ，使得 $x_{0}>xi$

則令 $delta_{0}=x_{0}-xi>0$

$xiin I_{n}=left[ a_{n},b_{n} ight]$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

$lim_{n ightarrow infty}{left| I_{n} ight|}= lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)}=0$

顯然存在 $n_{0}inmathbb{N}^{*}$ ，使得 $left| I_{n_{0}} ight|=b_{n_{0}}-a_{n_{0}}<frac{delta_{0}}{2}$

$b_{n_{0}}<a_{n_{0}}+frac{delta_{0}}{2}<xi+delta_{0}=x_{0}$

$b_{n_{0}}$ 是區間 $I_{n_{0}}$ 的右端點，所以這顯然與區間 $I_{n_{0}}$ 右端不含數集 $E$ 中的點矛盾

從而 $xi$ 一定是數集 $E$ 的上界

對任意的 $delta_{1}>0$ ，存在 $n_{1}inmathbb{N}^{*}$ ，使得

$left| I_{n_{1}} ight|=b_{n_{1}}-a_{n_{1}}<delta_{1}$

$a_{n_{1}}<xi<b_{n_{1}}$

則顯然 $xi-a_{n_{1}}<delta_{1}$

$a_{n_{1}}>xi-delta_{1}$

任意 $xin I_{n_{1}}$ ，必有 $xgeq a_{n_{1}}>xi-delta_{1}$

$delta_{1}>0$ 是任意的

根據上確界定義， $xi$ 是數集 $E$ 的上確界

Cantor單調有界收斂定理的證明：

只針對單調增數列證明，單調減數列當然是同樣的證明方法

（一）使用Cantor確界存在定理

華東師範大學《數學分析》上冊，P35

常庚哲、史濟懷《數學分析教程》上冊，P40

定光桂《極限論與微分學新探》，P29

謝惠民、惲自求、易法槐、錢定邊《數學分析習題課講義》上冊，P68

設數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個單調增數列，並且存在上界 $M$

由Cantor確界存在定理，數列 $left{ x_{n} ight}$ 存在上確界，不妨記為 $xi=sup_{nin mathbb{N}^{*}}left{ x_{n} ight}$

顯然 $x_{n}leqxi$ 對任意 $ninmathbb{N}^{*}$ 成立

對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ， $xi-varepsilon<x_{N}$

又由數列 $left{ x_{n} ight}$ 的單調性，對一切 $ninmathbb{N}^{*}$ ， $ngeq N$

$xi-varepsilon<x_{N}<x_{n}$

又 $x_{n}leqxi<xi+varepsilon$

這樣，對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ，對一切 $ninmathbb{N}^{*}$ ， $ngeq N$

$left| x_{n}-xi ight|<varepsilon$

這就說明數列 $left{ x_{n} ight}$ 以 $xi=supleft{ x_{n} ight}$ 為極限

（二）使用Cauchy-Cantor閉區間套定理

謝惠民、惲自求、易法槐、錢定邊《數學分析習題課講義》上冊，P72（練習題）

設數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個單調增數列，並且存在上界 $M$

（它的一個下界顯然是 $x_{1}$ ）

顯然，數列 $left{ x_{n} ight}$ 中的所有項都在閉區間 $left[ x_{1},M ight]$ 上

令 $a_{1}=x_{1}$ ， $b_{1}=M$

閉區間 $left[ a_{1},b_{1} ight]$ 被中點 $frac{a_{1}+b_{1}}{2}$ 一分為二

如果右端閉區間 $left[ frac{a_{1}+b_{1}}{2},b_{1} ight]$ 存在數列 $left{ x_{n} ight}$ 中的項，則將之記為 $left[ a_{2},b_{2} ight]$

否則將左端閉區間 $left[ a_{1},frac{a_{1}+b_{1}}{2} ight]$ 記為 $left[ a_{2},b_{2} ight]$

顯然 $b_{2}-a_{2}=frac{b_{1}-a_{1}}{2}$

重複這一過程

閉區間 $left[ a_{2},b_{2} ight]$ 被中點 $frac{a_{2}+b_{2}}{2}$ 一分為二

如果右端閉區間 $left[ frac{a_{2}+b_{2}}{2},b_{2} ight]$ 存在數列 $left{ x_{n} ight}$ 中的項，則將之記為 $left[ a_{3},b_{3} ight]$

否則將左端閉區間 $left[ a_{2},frac{a_{2}+b_{2}}{2} ight]$ 記為 $left[ a_{3},b_{3} ight]$

顯然 $b_{3}-a_{3}=frac{b_{2}-a_{2}}{2}$

這樣不斷重複下去，可得到一列閉區間套 $left{ I_{k} ight}$ ， $I_{k}=left[ a_{k},b_{k} ight]$ ， $kinmathbb{N}^{*}$

顯然滿足 $I_{1}supset I_{2}supset I_{3}supset cdotssupset I_{k-1}supset I_{k}supset I_{k+1}supsetcdots$

並且

$left| I_{k+1} ight|=frac{left| I_{k} ight|}{2}$

$b_{k+1}-a_{k+1}=frac{b_{k}-a_{k}}{2}$

$left| I_{k} ight|=b_{k}-a_{k}=frac{b_{1}-a_{1}}{2^{k-1}}$ （ $kinmathbb{N}^{*}$ ）

顯然閉區間套 $left{ I_{k} ight}$ 滿足：

每個閉區間 $I_{k}$ 的右端點的右邊沒有數列 $left{ x_{n} ight}$ 中的項

每個閉區間 $I_{k}$ （ $kinmathbb{N}^{*}$ ）都包含數列 $left{ x_{n} ight}$ 中的項

$lim_{k ightarrow infty}{left| I_{k} ight|}=0$

根據閉區間套定理，存在唯一的實數 $xiinigcap_{k=1}^{infty}I_{k}$

即 $lim_{k ightarrow infty}{left( b_{k}-a_{k} ight)} =0$ ， $lim_{n ightarrow infty}{a_{k}}=lim_{n ightarrow infty}{b_{k}}=xi$

而對於任意的 $minmathbb{N}^{*}$ ，一定存在數列 $left{ x_{n} ight}$ 中的項 $x_{N_{m}}$ 包含在 $I_{m}$ 中

由 $left{ x_{n} ight}$ 的單調性，對一切 $n>N_{m}$ ， $ninmathbb{N}^{*}$ ， $x_{n}$ 均包含在閉區間 $I_{m}$ 中

而 $left| I_{m} ight|$ 又可以任意小

換而言之，對任意給定的 $varepsilon>0$ ，取存在 $minmathbb{N}^{*}$ ，使得 $left| I_{m} ight|leqvarepsilon$

對應這樣的 $minmathbb{N}^{*}$ ，又存在 $N_{m}inmathbb{N}^{*}$ ，對一切 $n>N_{m}$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

$b_{m}-varepsilon<x_{n}<a_{m}+varepsilon$

$b_{m}<xi<a_{m}$

$0<b_{m}-a_{m}<varepsilon$

那麼顯然

$xi-varepsilon<x_{n}<xi+varepsilon$

這就得出，對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $N_{m}inmathbb{N}^{*}$ ，對一切 $n>N_{m}$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

$left| x_{n}-xi ight|<varepsilon$

這說明數列 $left{ x_{n} ight}$ 以 $xi$ 為極限

Cauchy基本列收斂定理的證明：

必要性很顯然：

設數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個收斂數列，其極限為 $A$

則對於任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ，對任意 $ninmathbb{N}^{*}$ ， $n>N$ ，都有

$left| x_{n}-A ight|<frac{varepsilon}{2}$

則對任意 $m,ninmathbb{N}^{*}$ ， $m,n>N$

$left| x_{m}-A ight|<frac{varepsilon}{2}$ ， $left| x_{n}-A ight|<frac{varepsilon}{2}$

$left| x_{m}-x_{n} ight| =left| x_{m}-A+A-x_{n} ight| leqleft| x_{m}-A ight|+left| x_{n}-A ight| <frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2} =varepsilon$

所以數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個基本列

必要性得證

引論

基本列一定有界

實際上，設數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個基本列

對 $varepsilon=1>0$ ，存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ，對任意 $m,ninmathbb{N}^{*}$ ， $m,n>N$ ，都有

$left| x_{m}-x_{n} ight|<varepsilon=1$

取 $m=N+1$ ，則當 $ninmathbb{N}^{*}$ ， $n>N$ ，有

$left| x_{n}-x_{N+1} ight|<1$

則

$left| x_{n} ight|=left| x_{n}-x_{N+1}+x_{N+1} ight| leqleft| x_{n}-x_{N+1} ight|+left| x_{N+1} ight| <left| x_{N+1} ight|+1$

這樣

$left| x_{n} ight|leq M$

其中正實數 $M=maxleft{ left| x_{1} ight|,left| x_{2} ight|, cdots,left| x_{N} ight|,left| x_{N+1} ight|+1 ight}$

這樣可得，基本數列 $left{ x_{n} ight}$ 是有界的

充分性：

（一）使用Cauchy-Cantor閉區間套定理（一）

謝惠民、惲自求、易法槐、錢定邊《數學分析習題課講義》上冊，P76

使用三分法構造閉區間套

設數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個基本列

則它當然有界

存在常數 $a_{1},b_{1}$ ，滿足 $a_{1}leq x_{n}leq b_{1}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

將閉區間 $left[ a_{1},b_{1} ight]$ 三等分

令 $c_{1}=frac{2a_{1}+b_{1}}{3}$ ， $d_{1}=frac{a_{1}+2b_{1}}{3}$

可得三個長度相同的子區間 $left[ a_{1},c_{1} ight]$ ， $left[ c_{1},d_{1} ight]$ 和 $left[ d_{1},b_{1} ight]$

很顯然，閉區間 $left[ a_{1},c_{1} ight]$ 和 $left[ d_{1},b_{1} ight]$ 中，至少有一個子區間只含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的有限多項

否則的話，假設閉區間 $left[ a_{1},c_{1} ight]$ 和 $left[ d_{1},b_{1} ight]$ 都含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的無窮多項

則在 $left[ a_{1},c_{1} ight]$ 中取 $x_{m}$ ，在 $left[ d_{1},b_{1} ight]$ 中取 $x_{n}$ ， $m,ninmathbb{N}^{*}$ 且可以任意大

滿足不等式 $left| x_{m}-x_{n} ight|geqfrac{b_{1}-a_{1}}{3}$

這與數列 $left{ x_{n} ight}$ 是基本列的假設矛盾

從而閉區間 $left[ a_{1},c_{1} ight]$ 和 $left[ d_{1},b_{1} ight]$ 中，至少有一個子區間只含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的有限多項

於是可在閉區間 $left[ a_{1},b_{1} ight]$ 中去掉只含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的有限多項的子區間 $left[ a_{1},c_{1} ight]$ 或 $left[ d_{1},b_{1} ight]$

如果子區間 $left[ a_{1},c_{1} ight]$ 和 $left[ d_{1},b_{1} ight]$ 都只含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的有限多項，則任意去掉其中一個

將得到的新區間記為 $left[ a_{2},b_{2} ight]$

顯然 $b_{2}-a_{2}=frac{2}{3}left( b_{1}-a_{1} ight)$

重複這一過程

將閉區間 $left[ a_{2},b_{2} ight]$ 三等分

令 $c_{2}=frac{2a_{2}+b_{2}}{3}$ ， $d_{2}=frac{a_{2}+2b_{2}}{3}$

可得三個長度相同的子區間 $left[ a_{2},c_{2} ight]$ ， $left[ c_{2},d_{2} ight]$ 和 $left[ d_{2},b_{2} ight]$

很顯然，閉區間 $left[ a_{2},c_{2} ight]$ 和 $left[ d_{2},b_{2} ight]$ 中，至少有一個子區間只含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的有限多項

於是可在閉區間 $left[ a_{2},b_{2} ight]$ 中去掉只含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的有限多項的子區間 $left[ a_{2},c_{2} ight]$ 或 $left[ d_{2},b_{2} ight]$

如果子區間 $left[ a_{2},c_{2} ight]$ 和 $left[ d_{2},b_{2} ight]$ 都只含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的有限多項，則任意去掉其中一個

將得到的新區間記為 $left[ a_{3},b_{3} ight]$

顯然 $b_{3}-a_{3}=frac{2}{3}left( b_{2}-a_{2} ight)$

這樣不斷重複下去，可得到一列閉區間套 $left{ I_{k} ight}$ ， $I_{k}=left[ a_{k},b_{k} ight]$ ， $kinmathbb{N}^{*}$

顯然滿足 $I_{1}supset I_{2}supset I_{3}supset cdotssupset I_{k-1}supset I_{k}supset I_{k+1}supsetcdots$

並且

$left| I_{k+1} ight|=frac{2}{3}left| I_{k} ight|$

$b_{k+1}-a_{k+1}=frac{2}{3}left( b_{k}-a_{k} ight)$

$left| I_{k} ight|=b_{k}-a_{k} =left( frac{2}{3} ight)^{k-1}left( b_{1}-a_{1} ight)$ （ $kinmathbb{N}^{*}$ ）

顯然閉區間套 $left{ I_{k} ight}$ 滿足：

區間套 $left{ I_{k} ight}$ 中的每個區間的長度都是上一個區間的 $frac{2}{3}$ ，即

$left| I_{k+1} ight|=frac{2}{3}left| I_{k} ight|$

每個閉區間 $I_{k}$ 的右端點的右邊沒有數列 $left{ x_{n} ight}$ 中的項

每個閉區間 $I_{k}$ （ $kin N^{*}$ ）都包含數列 $left{ x_{n} ight}$ 從某項起的所有項

$lim_{k ightarrow infty}{left| I_{k} ight|}=0$

根據閉區間套定理，存在唯一的實數 $xiinigcap_{k=1}^{infty}I_{k}$

即 $lim_{k ightarrow infty}{left( b_{k}-a_{k} ight)} =0$ ， $lim_{k ightarrow infty}{a_{k}}=lim_{k ightarrow infty}{b_{k}}=xi$

所以對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $minmathbb{N}^{*}$

使得 $xi-a_{m}<varepsilon$ 且 $b_{m}-xi<varepsilon$

$xi-varepsilon<a_{m}<b_{m}<xi+varepsilon$

也即 $I_{m}=left[ a_{m},b_{m} ight] subsetleft( xi-varepsilon,xi+varepsilon ight)$

由於每個閉區間 $I_{k}=left[ a_{k},b_{k} ight]$ 都包含數列 $left{ x_{n} ight}$ 從某項起的所有項

則存在 $N_{m}inmathbb{N}^{*}$ ，對一切 $n>N_{m}$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

$x_{n}inleft[ a_{m},b_{m} ight]$

即 $xi-varepsilon<a_{m}leq x_{n}leq b_{m}<xi+varepsilon$

也即 $x_{n}inleft[ a_{m},b_{m} ight]subset left( xi-varepsilon,xi+varepsilon ight)$

從而對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $N_{m}inmathbb{N}^{*}$ ，對一切 $n>N_{m}$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

$left| x_{n}-xi ight|<varepsilon$

這說明數列 $left{ x_{n} ight}$ 以 $xi$ 為極限

（二）使用Cauchy-Cantor閉區間套定理（二）

華東師範大學《數學分析》上冊，P162——163

定光桂《極限論與微分學新探》，P31——32

設數列 $left{ x_{n} ight}$ 是一個基本列

對於任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ，使得對任意的 $ninmathbb{N}^{*}$ ， $n>N$ ，有

$left| x_{n}-x_{N} ight|<varepsilon$

從而有

$x_{N}-varepsilon<x_{n}<x_{N}+varepsilon$

也即閉區間 $left[ x_{N}-varepsilon,x_{N}+varepsilon ight]$ 內含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的除有限項外的所有項

令 $varepsilon=frac{1}{2}$ ，存在 $N_{1}inmathbb{N}^{*}$

使得閉區間 $left[ x_{N_{1}}-frac{1}{2},x_{N_{1}}+frac{1}{2}, ight]$ 內含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的除有限項外的所有項

將這個閉區間記為 $left[ a_{1},b_{1} ight]$

再令 $varepsilon=frac{1}{2^{2}}$ ，存在 $N_{2}inmathbb{N}^{*}$

使得閉區間 $left[ x_{N_{2}}-frac{1}{2^{2}},x_{N_{2}}+frac{1}{2^{2}} ight]$ 內含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的除有限項外的所有項

記 $left[ a_{2},b_{2} ight] =left[ x_{N_{2}}-frac{1}{2^{2}},x_{N_{2}}+frac{1}{2^{2}} ight] capleft[ a_{1},b_{1} ight]$

顯然閉區間 $left[ a_{2},b_{2} ight]$ 也包含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的除有限項外的所有項

這樣不斷令 $varepsilon=frac{1}{2^{3}},frac{1}{2^{4}},cdots,frac{1}{2^{n}},cdots,$ 重複下去

按上述方法，可得到一列閉區間套 $left{ I_{n} ight}$ ， $I_{n}=left[ a_{n},b_{n} ight]$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

顯然滿足 $I_{1}supset I_{2}supset I_{3}supset cdotssupset I_{n-1}supset I_{n}supset I_{n+1}supsetcdots$

並且

$left| I_{n+1} ight|leqfrac{left| I_{n} ight|}{2}$

$b_{n+1}-a_{n+1}leqfrac{b_{n}-a_{n}}{2}$

$left| I_{n} ight|leqfrac{b_{1}-a_{1}}{2^{n-1}} =frac{1}{2^{n-1}}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

顯然閉區間套 $left{ I_{n} ight}$ 滿足：

每個閉區間 $I_{n}$ 都含有數列 $left{ x_{n} ight}$ 的除有限項外的所有項

$lim_{n ightarrow infty}{left| I_{n} ight|}=0$

根據閉區間套定理，存在唯一的實數 $xiinigcap_{n=1}^{infty}I_{n}$

即 $lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)} =0$ ， $lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}=lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}=xi$

$a_{n}leqxileq b_{n}$

這樣，對給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $minmathbb{N}^{*}$ ，使得對任意的 $kinmathbb{N}^{*}$ ， $k>m$ ，有

$xi-a_{k}<varepsilon$ 且 $b_{k}-xi<varepsilon$

$I_{k}=left[ a_{k},b_{k} ight] subsetleft[ xi-varepsilon,xi+varepsilon ight]$

而數列 $left{ x_{n} ight}$ 的除有限項外的所有項都包含在 $I_{k}=left[ a_{k},b_{k} ight] subsetleft[ xi-varepsilon,xi+varepsilon ight]$ 中

也即此時存在 $N_{m}inmathbb{N}^{*}$ ，使得對任意的 $n>N_{m}$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

$x_{n}inleft[ a_{k},b_{k} ight]$

即 $xi-varepsilon<a_{k}leq x_{n}leq b_{k}<xi+varepsilon$

也即 $x_{n}inleft[ a_{k},b_{k} ight]subset left( xi-varepsilon,xi+varepsilon ight)$

從而對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $N_{m}inmathbb{N}^{*}$ ，對一切 $n>N_{m}$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

$left| x_{n}-xi ight|<varepsilon$

這說明數列 $left{ x_{n} ight}$ 以 $xi$ 為極限

Cauchy-Cantor閉區間套定理的證明

（一）使用Cantor單調有界收斂定理

華東師範大學《數學分析》上冊，P161——162

常庚哲、史濟懷《數學分析教程》上冊，P28——29

定光桂《極限論與微分學新探》，P30

若 $left{ I_{n} ight}$ ， $I_{n}=left[ a_{n},b_{n} ight]$ 是一個閉區間套

則顯然，數列 $left{ a_{n} ight}$ 為單調增數列，且它存在上界 $b_{1}$

由Cantor單調有界收斂定理，數列 $left{ a_{n} ight}$ 存在極限 $a$

$lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}=a$ ，且 $a_{n}leq a$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

同理，數列 $left{ b_{n} ight}$ 為單調減數列，且它存在下界 $a_{1}$

由Cantor單調有界收斂定理，數列 $left{ b_{n} ight}$ 存在極限 $b$

$lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}=b$ ，且 $b_{n}geq b$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

由於 $a_{n}leq b_{n}$ （ $nin N^{*}$ ），所以 $aleq b$

不等式 $a_{n}leq aleq bleq b_{n}$ 對一切 $ninmathbb{N}^{*}$ 都成立

$0leq b-aleq b_{n}-a_{n}=left| I_{n} ight|$

又若 $I_{n}$ 的長度 $left| I_{n} ight|$ 滿足 $lim_{n ightarrow infty}{left| I_{n} ight|}=0$

即 $lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)} =0$

則必有 $a=b=xi$

$lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}=lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}=xi$

此時有 $a_{n}leq xileq b_{n}$ 對一切 $ninmathbb{N}^{*}$ 都成立，即 $xiin I_{n}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

則 $xiinigcap_{n=1}^{infty}I_{n}$

假設 $xi$ 不是唯一的，存在數 $xi$ 也滿足

$a_{n}leq xileq b_{n}$ 對一切 $ninmathbb{N}^{*}$ 都成立

則顯然 $left| xi-xi ight|leqleft| I_{n} ight|=b_{n}-a_{n}$

則 $left| xi-xi ight| leqlim_{n ightarrow infty}{left| I_{n} ight|} =lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)} =0$

或者

$a_{n}leq xileq b_{n}$

由極限的保序性

$xi=lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}<br>leq xileq lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}=xi$

顯然 $xi=xi$ ，這證明了 $xi$ 的唯一性

（二）使用Cauchy基本列收斂定理

定光桂《極限論與微分學新探》，P32——33

若 $left{ I_{n} ight}$ ， $I_{n}=left[ a_{n},b_{n} ight]$ 是一個閉區間套

並且 $lim_{n ightarrow infty}{left| I_{n} ight|}<br>=lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)} =0$

則顯然，對任意給定的 $varepsilon>0$ ，存在 $Ninmathbb{N}^{*}$ ，對一切 $n>N$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

$left| b_{n}-a_{n} ight|<varepsilon$

並且對一切 $mgeq n>N$ ， $ninmathbb{N}^{*}$

$a_{n}leq a_{m}leq b_{m}leq b_{n}$

則顯然

$left| a_{m}-a_{n} ight|<left| b_{n}-a_{n} ight|<varepsilon$

$left| b_{m}-b_{n} ight|<left| b_{n}-a_{n} ight|<varepsilon$

這說明數列 $left{ a_{n} ight}$ 和 $left{ b_{n} ight}$ 均為基本列

由Cauchy基本列收斂定理，顯然數列 $left{ a_{n} ight}$ 和 $left{ b_{n} ight}$ 均收斂

設數列 $left{ a_{n} ight}$ 存在極限 $a=lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}$

而數列 $left{ b_{n} ight}$ 存在極限 $b=lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}$

又 $lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)} =0$

則必有 $a=b=xi$

$lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}=lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}=xi$

此時有 $a_{n}leq xileq b_{n}$ 對一切 $ninmathbb{N}^{*}$ 都成立，即 $xiin I_{n}$ （ $ninmathbb{N}^{*}$ ）

則 $xiinigcap_{n=1}^{infty}I_{n}$

假設 $xi$ 不是唯一的，存在數 $xi$ 也滿足

$a_{n}leq xileq b_{n}$ 對一切 $ninmathbb{N}^{*}$ 都成立

則顯然 $left| xi-xi ight|leqleft| I_{n} ight|=b_{n}-a_{n}$

則 $left| xi-xi ight| leqlim_{n ightarrow infty}{left| I_{n} ight|} =lim_{n ightarrow infty}{left( b_{n}-a_{n} ight)} =0$

或者

$a_{n}leq xileq b_{n}$

由極限的保序性

$xi=lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}<br>leq xileq lim_{n ightarrow infty}{b_{n}}=xi$

顯然 $xi=xi$ ，這證明了 $xi$ 的唯一性