平穩隨機過程的採樣定理

來自專欄劉梳子通原4 人贊了文章

我們都知道奈奎斯特低通採樣定理，如果一個確定信號的最高頻率是B，那麼採樣頻率大於等於2B的時候，採樣後的信號可以無失真的重建原來的信號，基本數學推導如下：

那麼拋出一個問題，對於平穩隨機過程X(t)，採樣定理是否還成立呢？

首先需要明確一個定義，什麼是隨機過程的最高頻率？確定信號是根據傅里葉變換確定頻譜，而隨機過程只能通過功率譜密度來確定頻譜。我們已經知道平穩隨機過程的自相關函數的傅里葉變換是功率譜密度，這裡假設功率譜的最高頻率是B，那麼自相關函數是最高頻率為B的確定信號，我們當然能針對此進行採樣（後面證明會用到這個結論）！

（高能預警，公式較多，我只能用圖片形式了，公眾號沒有公式功能，看來公眾號設計初衷不是用來傳播數學問題的！）

研究一個對象，要先澄清研究的問題是什麼：

接下來就是證明過程了，主要是利用上面加粗的結論。