如何理解量子糾纏里的貝爾不等式|No.20

感覺我們問答可以試著寫個大長篇

比暑假還要長

1Q

小時候有個猜想。假如地球上的所有人、動物，同時朝著同一個方向（如東方）行走，地球自轉的速度會不會被加快或減慢。

西西里

A

回答這個問題之前最好先對人類的總質量和地球的總質量有個感性認識。假設人類的平均質量是50kg，那麼大約每20人才有一噸，全世界加起來也不到四億噸。四億噸是什麼概念呢，還沒有一立方公里的海水的一半重。而地球的總質量是59.77萬億億噸。所以哪怕這些人都在赤道上一起往東走，對地球的自轉速度影響也是微乎其微的。（況且赤道自轉速度465m/s，遠大於人的移動速度。)

2Q

為什麼氫氧化鈣在水中的溶解度隨溫度升高而降低，大多數物質增大，為什麼？

Dr.Wells

A

這個問題分兩步說，我們先說為什麼大多數物質溶於水會放熱。物質溶於水時有兩個過程，先是物質內部的化學鍵或分子間力被拉開，這一步要吸收熱量。然後是被拉開的物質離子或分子與水或水離子重新結合，這一步要放出熱量。大多數溶於水的物質，第二步與水結合時釋放的能量要大於第一步拆散該物質原有結構吸收的能量。所以最終結果是系統總的化學能變低，因此溶化過程可以自發發生。系統放熱，溫度升高。

但有一小部分像氫氧化鈣這樣的物質，它們與水結合釋放的能量要小於拆散原有結構吸收的能量。但它們的溶化過程居然也能自發發生，即使溫度會降低。這是為什麼呢？

原因是氫氧化鈣溶液的狀態比固態的氫氧化鈣加上純水的狀態要雜亂得多，換句話說，氫氧化鈣溶液的熵高得多。因此雖然氫氧化鈣溶於水這個過程總的化學能是升高的，但由於熵增了，所以總的自由能還是減少的，使得這個過程也能自發發生，這是一個熵驅動的自發過程。

3Q

請問廣義相對論跟量子力學的根本矛盾是什麼，為什麼要統一呢？我認為根本沒必要統一啊，一個描述宏觀世界，一個描述微觀世界，以普朗克恆量為界限互不干擾

困擾的快樂

A

相對論和量子力學並不是一個描述宏觀世界一個描述微觀世界。準確的說應該是一個描述宏觀高速世界，一個描述微觀低速世界。而牛頓力學最弱，只能描述宏觀低速世界。那麼問題很自然就來了，什麼理論能夠描述微觀高速世界呢？比如原子核內的物理？

答案就是狹義相對論加上量子力學形成的量子場論。但量子場論還無法解釋引力，無法與廣義相對論統一，那麼我們又要問了，什麼理論能夠解釋微觀的引力世界呢？比如黑洞，比如宇宙大爆炸？答案就是量子引力理論，而這個東西現在還沒有建立起來。

4Q

什麼是宇宙學紅移？引力紅移？多普勒紅移？

圖靈一世

A

多普勒紅移是指，如果一個發光源一邊發著光一邊以一定速度遠離你，那麼你看到該發光源發出的光的頻率就會變小（程度取決於速度多接近光速），這叫紅移。

引力紅移是指，一個光源從一個有很大引力的天體往外發射光線，這個光線的頻率會變小，變小的幅度取決於引力的強弱。光線的頻率變小意味著光線的能量變小，能量變小的原因可以認為是一部分能量拿去克服引力了。（這個說法並不嚴格，因為在強引力場下引力勢能的定義並不是一件很簡單的事。）

宇宙學紅移是指，由於宇宙在膨脹，所以離我們越遠的天體就以越快的速度遠離我們，導致我們看到的它們發出的光的頻率變小了。

5Q

分析力學相較於牛頓體系的優勢何在？

咦邋兒

A

不需要畫圖，把頗具技巧性的受力分析換成了程式化的通過拉氏量哈密頓量求運動方程的過程。

能夠更清晰的看到守恆律與對稱性的關係，也就是諾特定理。

而且在這個體系下事實上已經不需要藉助人為定義的「力」這個概念了。只需要能量，動量，角動量等可以有守恆律的量。

極易推廣為相對論形式，量子形式，統計形式。

與辛幾何等嚴格深刻的數學關係密切。

（暫時想到的幾個，歡迎補充）

6Q

電阻到底是怎麼產生的?它的本質是什麼?

·?·?

A

原子晶格散射了正在做定向運動的迅游電子，使得巡遊電子被電場加速得到的動能部分變成了原子晶格的振動能，也就是原子晶格的能量。

7Q

我目前在自學狹義相對論，對E=MC2的理解不是很透徹。請問對一個封閉系統來說，這個裡面的E包括勢能么？如果包括，那假設空間中有兩個帶不同電荷的粒子，在互相吸引加速的過程中，勢能減少，動能增加。在速度加快的過程中，整個系統的質量也會增加，按照E=MC2，整個系統的能量在增加。這不就違反了能量守恆？請問我這個想法錯在哪裡？

自學者

A沒有違背能量守恆。在相對論中，動能的定義是總能量減去靜止能量。所以增加的質量也算動能的。而且還有一個更有趣的結論。假設這兩個粒子最後撞在一起形成了一個整體。那麼這個整體的總動量為零，因此是靜止的。但這個整體的靜止質量卻大於兩個粒子的靜質量之和，而且多出來的部分質量乘上光速平方，剛好等於勢能差。因此進一步說明能量是嚴格守恆的。8Q

量子力學該怎麼學

物理

A

方法不唯一。一般推薦從矩陣力學入手，先理解量子力學的整體理論框架，然後再去解連續的薛定諤波動方程。把量子力學學成偏微分方程練習就錯了，把量子力學學成線性代數練習就對了。第一遍學遇到物理上無法理解違反直覺的東西，應該先接受，以能算出東西為主。學完一遍之後再去思考它那些違反直覺的物理意義。

9Q

在某個星球上，有個光子沿徑向逃逸，可惜能量不足以跳出勢阱(為考慮問題方便，假設遠遠不足)。該光子身上發生什麼變化，經歷了一個怎樣的過程？

空0

A

這個問題很好。表揚一下。我來重新闡述一下這個問題：剛剛說了，光子逃出大質量天體會紅移，一部分頻率要用來克服引力。那麼會不會出現這樣一種天體。高頻光子會克服引力逃逸出去，低頻光子升到一定高度就頻率為零無限紅移了？那麼這時候會發生什麼。

答案是不會有這種天體哦。原因是不同頻率的光子需要克服的引力並不一樣。光子沒有靜質量。引力只會作用於它的動能量上。即頻率乘上普朗克常數hv。而這個能量又恰好等於光子克服引力的能力。因此如果廣義相對論的等效原理是正確的話，那麼任何天體，要麼它什麼頻率的光子都束縛不住，要麼它表明逃逸速度超過光速，束縛住所有頻率的光子，變成黑洞。兩者只能取其一。

不會有隻能束縛一部分光子的天體存在。

10Q

如何理解貝爾不等式

非對稱破缺

A

上次說了要科普貝爾不等式~我的講法也許和大多數人的講法不一樣！

假如你去一個水族館玩，發現這裡的魚有三種屬性「紅色或藍色」「大或小」「有斑點和無斑點」，每條魚都是這三個二元屬性的隨機組合，比如紅色有斑點小魚，藍色有斑點大魚等等。那麼現在我要說一個很神奇很有意思的不等式了：

紅色的小魚的數量，加上有斑點的大魚的數量，總是大於等於紅色的有斑點的魚的數量。

這個不等式是嚴格正確的，你可以把三種屬性化成A，B，C。（比如紅色是A，那麼藍色就是非A）然後畫出下面的集合圖。

A∩非B+B∩非C>=A∩非C

或者直接把集合展開(比如A∩B展開成A∩B∩C+A∩B∩非C)，把相同項都抵消掉~很容易證明的小練習哦~（手機放下！拿起筆！）

而這個不等式其實就是大名鼎鼎的貝爾不等式的「小魚版本「啦。這個不等式對經典體系是嚴格成立的。那麼我們的問題是：什麼時候這個不等式不再成立呢？答案是：當小魚不再具有確定的紅色或藍色，而是處於一種即是紅色又是藍色的疊加態，或者即是大於又是小魚的疊加態，而且這即紅又藍疊加態和即大又小疊加態還相互糾纏時，貝爾不等式會被違背。

如果你按上面我說的推導了，你一定會同意，這個不等式居然會被違背！這是一件超級無法理解的事情誒。然而真實實驗是，在有糾纏的量子系統中，貝爾不等式的確被違背了。

當然，在真實實驗中的AB，BC，AC指的是相隔很遠的兩個糾纏態粒子的觀測結果，比如自旋朝向。當相隔很遠的兩個粒子具有糾纏時，貝爾不等式即會被違背。實驗中真實觀測到貝爾不等式被違背是一個里程碑，它表明量子糾纏是真實存在的，而且量子糾纏是非局域的，也就是它是一種不受光速限制的東西（如果受限的話貝爾不等式也不會被違背）。

違背的原理其實也可以推導，不過這個推導更複雜一些，有興趣物理系本科生可嘗試（將A，B，C視為概率因子，重寫成波函數的模方的形式，考慮波函數的干涉項，得到非正定的結果。）

11Q

如果時間是算符了，那麼量子力學在研究什麼？

第四維

A

量子力學骨子裡面依然是經典力學。在經典力學中，所謂的動力學，就是求解系統隨時間的變化，時間是被當作主動變數的。

量子力學動力學雖然與經典力學動力學形式不一樣，但還是求隨時間的演化，時間只好被當作主動變數，是個參數而不是算符。

在量子場論中，時間和空間都不是算符。有些讀者可能注意到了，若空間坐標也不是算符了，那還有什麼位置-動量uncertainty 嗎？

當然了，其實更深層的麻煩是， 時間是什麼？ 關於這個問題，很不幸物理學家還不知道答案。

特别致謝 Z. X. Cao 老師參與部分問題的討論和回答！

---

---

寫下您的問題，下周五同一時間哦~

推薦閱讀：